广义函数空间上的傅里叶乘子
- 傅里叶变换回顾
在实分析中，函数 \(f \in L^1(\mathbb{R}^n)\) 的傅里叶变换定义为
\[ \hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i x \cdot \xi} \, dx. \]
它可延拓到更广的函数空间（如 \(L^2\) 或缓增分布空间 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\)），此时傅里叶变换成为线性同构，其逆变换由类似积分（符号调整）给出。
- 傅里叶乘子的直观描述
傅里叶乘子是一种“频域乘法算子”。给定函数 \(m: \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}\)，定义算子 \(T_m\) 为：对合适函数 \(f\)，
\[ T_m f := \mathcal{F}^{-1} \big( m \cdot \hat{f} \big), \]
即先对 \(f\) 作傅里叶变换，在频域乘以 \(m(\xi)\)，再逆变换回来。这种算子在线性偏微分方程、调和分析中极为常见（例如微分对应乘子 \(m(\xi)=|\xi|^2\)）。
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经典乘子定理
最基本的结果是 \(L^2\) 理论：若 \(m\) 是本性有界函数，则 \(T_m\) 是 \(L^2\) 到 \(L^2\) 的有界算子，且范数 \(\|T_m\| = \|m\|_{L^\infty}\)。这是因为傅里叶变换在 \(L^2\) 上是等距同构。 -
Mikhlin 乘子定理
在 \(L^p\) 空间（\(1
\[ |\partial^\alpha m(\xi)| \le C_\alpha |\xi|^{-|\alpha|} \quad \text{对 } |\alpha| \le \lfloor n/2 \rfloor + 1, \]
则 \(T_m\) 是 \(L^p(\mathbb{R}^n)\) 有界算子（对 \(1
- 在缓增分布空间上的定义
对广义函数（缓增分布）\(u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\)，其傅里叶变换已通过对偶性定义。对缓增函数 \(m \in \mathcal{O}_M\)（所有导数增长不超过多项式的光滑函数），乘子算子 \(T_m\) 可自然定义在 \(\mathcal{S}'\) 上：
\[ \langle T_m u, \varphi \rangle := \langle u, \check{m} * \varphi \rangle \quad (\varphi \in \mathcal{S}), \]
其中 \(\check{m}\) 是 \(m\) 的逆傅里叶变换。此时 \(T_m\) 是 \(\mathcal{S}'\) 上的连续线性算子，且限制在子空间（如 \(L^p\)）时与经典定义一致。
- 乘子空间 \(M_p\) 及其性质
对 \(1 \le p \le \infty\)，定义乘子空间
\[ M_p(\mathbb{R}^n) := \{ m \in \mathcal{S}' : T_m \text{ 是 } L^p \to L^p \text{ 有界算子} \}, \]
赋以算子范数。关键性质包括：
- \(M_2 = L^\infty\)（等距同构）。
- 若 \(1 \le p \le 2\)，则 \(M_p = M_{p'}\)（\(1/p + 1/p' = 1\)），且 \(M_1\) 严格大于 \(L^\infty\)。
- 对 \(1 \le p \le q \le 2\)，有 \(M_p \subset M_q\)。
研究 \(M_p\) 中函数的正则性、衰减性是调和分析的重要问题。
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与微分算子的联系
许多微分算子的频域表示是乘子。例如，拉普拉斯算子 \(-\Delta\) 对应 \(|\xi|^2\)；分数阶拉普拉斯 \((-\Delta)^s\) 对应 \(|\xi|^{2s}\)。当 \(m\) 是齐次函数且光滑性足够时，Mikhlin 定理保证相应算子在 \(L^p\) 上有界，这是研究椭圆方程正则性的基础。 -
向量值乘子与算子值乘子
在 Banach 空间值函数空间中，可定义算子值乘子。设 \(X, Y\) 是 Banach 空间，\(m: \mathbb{R}^n \to \mathcal{L}(X,Y)\) 是有界算子值函数，定义 \(T_m f = \mathcal{F}^{-1}(m \hat{f})\)。这类乘子的有界性（如 \(L^p(\mathbb{R}^n;X) \to L^p(\mathbb{R}^n;Y)\)）与 \(X, Y\) 的几何性质（如 UMD 性质）密切相关，这是现代调和分析的前沿方向之一。