达朗贝尔公式的推导与物理意义
我将从一维波动方程的基本模型出发，循序渐进地为你讲解达朗贝尔公式的完整推导过程，并深入阐释其物理意义。
第一步：问题模型——一维无界弦的自由振动
我们考虑一条无限长的理想弦，其横向的小振幅振动由一维齐次波动方程描述：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad -\infty < x < \infty, \quad t > 0 \]
其中：
- \(u(x, t)\) 表示在位置 \(x\) 和时间 \(t\) 时弦的横向位移。
- 常数 \(c = \sqrt{T/\rho} > 0\) 是波在弦上的传播速度，由弦的张力 \(T\) 和线密度 \(\rho\) 决定。
初始条件给出了弦在 \(t=0\) 时刻的形状和速度：
\[u(x, 0) = \varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x) \]
这里的 \(\varphi(x)\) 是初始位移，\(\psi(x)\) 是初始速度。
我们的目标是找到满足上述方程和初始条件的解 \(u(x, t)\) 的显式表达式，即达朗贝尔公式。
第二步：特征线变换（行波法）
波动方程与热传导或拉普拉斯方程的本质区别在于它是双曲型的，其解具有“行波”特性。为了揭示这一特性，我们引入特征线坐标变换：
\[\xi = x - ct, \quad \eta = x + ct \]
这个变换的物理意义在于：\(\xi = \text{常数}\) 代表一族以速度 \(c\) 向右传播的波（右行波）的波前，而 \(\eta = \text{常数}\) 代表一族以速度 \(c\) 向左传播的波（左行波）的波前。这两族直线称为波动方程的特征线。
接下来，我们将 \(u(x, t)\) 视为 \(\xi\) 和 \(\eta\) 的函数：\(u(x, t) = u(\xi(x,t), \eta(x,t))\)。通过链式法则计算偏导数：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} = u_{\xi} + u_{\eta} \]
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = (u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta}) + (u_{\eta\xi} + u_{\eta\eta}) = u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} \]
\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial t} = -c u_{\xi} + c u_{\eta} \]
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = (-c)(-c u_{\xi\xi} + c u_{\xi\eta}) + c(-c u_{\eta\xi} + c u_{\eta\eta}) = c^2(u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) \]
将 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\) 和 \(c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 代入原方程，得到：
\[c^2(u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) = c^2 (u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) \]
化简后，原波动方程奇迹般地简化为：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \]
这是一个极其简单的方程。
第三步：求解简化方程与通解形式
方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0\) 意味着 \(\frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} \right) = 0\)。这表明 \(\frac{\partial u}{\partial \xi}\) 不依赖于 \(\eta\)，而仅仅是 \(\xi\) 的函数，记作 \(f'(\xi)\)。
于是有：
\[\frac{\partial u}{\partial \xi} = f'(\xi) \]
对 \(\xi\) 积分一次（此时将 \(\eta\) 视为参数）：
\[u(\xi, \eta) = f(\xi) + g(\eta) \]
其中 \(g(\eta)\) 是积分“常数”，但因为它不依赖于 \(\xi\)，所以是 \(\eta\) 的任意函数。
换回原变量 \(x\) 和 \(t\)，我们得到一维波动方程的通解：
\[u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) \]
这个通解的物理意义至关重要：它表明波动方程的任意解，都可以表示为一个右行波 \(f(x - ct)\)（波形 \(f\) 以速度 \(c\) 向 \(x\) 轴正方向移动）和一个左行波 \(g(x + ct)\)（波形 \(g\) 以速度 \(c\) 向 \(x\) 轴负方向移动）的叠加。
第四步：利用初始条件确定特解——达朗贝尔公式的推导
现在，我们要用初始条件来确定未知函数 \(f\) 和 \(g\) 的具体形式。
由初始位移条件 \(u(x, 0) = \varphi(x)\)：
\[f(x) + g(x) = \varphi(x) \quad (1) \]
由初始速度条件 \(\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x)\)。先计算 \(u_t\)：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = -c f'(x - ct) + c g'(x + ct) \]
所以在 \(t=0\) 时：
\[-c f'(x) + c g'(x) = \psi(x) \quad (2) \]
对等式(2)两边关于 \(x\) 从某个固定点 \(x_0\) 积分到 \(x\)：
\[-c[f(x) - f(x_0)] + c[g(x) - g(x_0)] = \int_{x_0}^{x} \psi(s) \, ds \]
\[ g(x) - f(x) = \frac{1}{c} \int_{x_0}^{x} \psi(s) \, ds + K \quad (3) \]
其中 \(K = g(x_0) - f(x_0)\) 是一个常数。
现在我们有了关于 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的两个方程(1)和(3)。将它们联立求解：
由(1): \(g(x) = \varphi(x) - f(x)\)
代入(3): \(\varphi(x) - f(x) - f(x) = \frac{1}{c} \int_{x_0}^{x} \psi(s) \, ds + K\)
解得：
\[f(x) = \frac{1}{2} \varphi(x) - \frac{1}{2c} \int_{x_0}^{x} \psi(s) \, ds - \frac{K}{2} \]
\[ g(x) = \frac{1}{2} \varphi(x) + \frac{1}{2c} \int_{x_0}^{x} \psi(s) \, ds + \frac{K}{2} \]
第五步：得到最终解——达朗贝尔公式
将求得的 \(f\) 和 \(g\) 的表达式代入通解 \(u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)\) 中：
\[u(x, t) = \frac{1}{2} [\varphi(x - ct) + \varphi(x + ct)] + \frac{1}{2c} \left[ \int_{x_0}^{x+ct} \psi(s) \, ds - \int_{x_0}^{x-ct} \psi(s) \, ds \right] \]
注意到两个积分有共同的起点 \(x_0\)，它们的差可以合并为一个积分：
\[\int_{x_0}^{x+ct} \psi(s) \, ds - \int_{x_0}^{x-ct} \psi(s) \, ds = \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds \]
同时，常数 \(K\) 在相加时被抵消了。于是，我们得到了经典的达朗贝尔公式：
\[\boxed{u(x, t) = \frac{1}{2} [\varphi(x - ct) + \varphi(x + ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds} \]
第六步：达朗贝尔公式的物理意义剖析
这个简洁的公式蕴含了深刻的物理图像：
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解的依赖域：点 \((x, t)\) 处的解 \(u(x, t)\) 只依赖于初始函数 \(\varphi\) 在两点 \(x-ct\) 和 \(x+ct\) 的值，以及初始速度 \(\psi\) 在区间 \([x-ct, x+ct]\) 上的积分。这个区间称为点 \((x, t)\) 的依赖区间。它是由过点 \((x, t)\) 的两条特征线 \(x \pm ct = \text{常数}\) 与初始轴 \(t=0\) 相交所确定的。
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波的传播：
- 公式的第一项 \(\frac{1}{2} [\varphi(x - ct) + \varphi(x + ct)]\) 代表初始位移的传播。初始波形 \(\varphi(x)\) 被“一分为二”，一半以速度 \(c\) 向右传播（\(\varphi(x-ct)\)），另一半以速度 \(c\) 向左传播（\(\varphi(x+ct)\)），振幅都减半。
- 公式的第二项 \(\frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds\) 代表初始速度的累积效应。它表示初始速度在依赖区间上的净“冲量”，经过时间 \(t\) 后对点 \(x\) 处位移的贡献。
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因果性：扰动以有限速度 \(c\) 传播。在 \(t=0\) 时刻，位于 \(x_0\) 的初始扰动，在 \(t\) 时刻只能影响到区间 \([x_0 - ct, x_0 + ct]\) 内的点。区间外的点尚未感受到该扰动的影响。
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行波分解的显式验证：该公式完美印证了通解 \(f(x-ct) + g(x+ct)\) 的形式。其中，
\[ f(z) = \frac{1}{2} \varphi(z) - \frac{1}{2c} \int_{x_0}^{z} \psi(s) \, ds, \quad g(z) = \frac{1}{2} \varphi(z) + \frac{1}{2c} \int_{x_0}^{z} \psi(s) \, ds \]
总结：达朗贝尔公式通过巧妙的特征线变换，将偏微分方程（波动方程）转化为可逐次积分的简单形式，并利用初始条件得到了解的显式表达式。它不仅是一个强大的求解工具，更以极其直观的数学形式，揭示了一维波动现象的核心物理图景——叠加在一起的、以恒定速度向相反方向传播的行波。