勒贝格控制收敛定理
字数 2336 2025-12-09 16:24:04

勒贝格控制收敛定理

  1. 背景与动机
    在微积分中，我们学习黎曼积分时，函数序列极限与积分交换顺序需要很强的条件（如一致收敛）。但在实际分析（如傅里叶分析、概率论）中，我们常处理更复杂的函数序列，需要更强大、更灵活的理论。勒贝格控制收敛定理提供了在勒贝格积分理论下，极限与积分可交换的一个非常实用且广泛满足的充分条件。

  2. 准备工作：逐点收敛与勒贝格积分

  • 逐点收敛：设 \(\{f_n\}\) 是定义在可测集 \(E \subseteq \mathbb{R}^d\) 上的一列可测函数。如果存在函数 \(f\)，使得对于几乎所有（almost everywhere, a.e.）的 \(x \in E\)，都有 \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\)，则称 \(\{f_n\}\) 逐点收敛于 \(f\)（a.e.）。
    • 勒贝格积分：回顾勒贝格积分是对可测函数定义的，它比黎曼积分更具一般性（例如，可处理无界函数集和不连续函数）。定理中涉及的积分均为勒贝格积分。

  1. 控制函数的概念
    定理的核心是存在一个共同的“控制函数”。设 \(g\) 是定义在 \(E\) 上的一个可积函数（即 \(\int_E |g| < \infty\)）。如果对每个 \(n\) 和几乎处处的 \(x \in E\)，都有 \(|f_n(x)| \le g(x)\)，则称函数序列 \(\{f_n\}\) 被 \(g\) 控制（或称 \(g\) 为其可积控制函数）。这意味着序列中所有函数的绝对值都被一个共同的、积分有限的函数“压倒”。

  2. 定理的完整表述
    勒贝格控制收敛定理：设 \(\{f_n\}\) 是定义在可测集 \(E\) 上的一列可测函数。如果：
    (1) （逐点收敛） \(f_n\) 几乎处处收敛于一个函数 \(f\)，即 \(f_n \to f\) a.e. on \(E\)。
    (2) （可积控制） 存在一个在 \(E\) 上的可积函数 \(g\)（即 \(g \in L^1(E)\)），使得对所有 \(n\) 和几乎处处的 \(x \in E\)，有 \(|f_n(x)| \le g(x)\)。
    那么，以下结论成立：

  • \(f\) 是可积的（即 \(f \in L^1(E)\)）。
  • \(\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n - f| = 0\)。这意味着 \(f_n\) 在 \(L^1\) 范数下收敛于 \(f\)。
  • （积分与极限可交换） \(\lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E f\)。这就是定理最常用的形式。
  1. 定理的直观理解与重要性
  • 直观：控制函数 \(g\) 防止了函数序列 \(f_n\) 在积分区域上“无限堆积”质量（正或负），从而保证了当函数值变化时，其“总面积”的变化是可控的，使得极限函数的积分等于函数积分的极限。
  • 重要性：它极大地简化了极限运算。我们无需验证 \(f_n\) 的一致收敛性（这通常很强），只需找到一个共同的、可积的“上界” \(g\)，并验证逐点收敛，即可放心交换极限与积分。这是证明许多其他定理（如积分号下求导）的基础工具。
  1. 一个简单例子
    考虑 \(E = [0, 1]\)， \(f_n(x) = \frac{n}{n+1} x^n\)。
  • 逐点收敛：对任意固定的 \(x \in [0, 1)\)， \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\)；在 \(x=1\) 处， \(f_n(1)=\frac{n}{n+1} \to 1\)。所以 \(f_n\) 逐点收敛于函数 \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ 1, & x=1 \end{cases}\)。由于单点集测度为零，可以说 \(f_n \to 0\) a.e.。
  • 寻找控制函数：注意在 \([0,1]\) 上， \(|f_n(x)| = \frac{n}{n+1}x^n \le x^n \le 1\)。令 \(g(x) = 1\)，它是 \([0,1]\) 上的可积函数（\(\int_0^1 1\,dx = 1 < \infty\)），且对所有 \(n\) 和 \(x\) 满足 \(|f_n(x)| \le g(x)\)。
    • 应用定理：由勒贝格控制收敛定理，有

\[ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x)\,dx = \int_0^1 0\,dx = 0. \]

我们也可以直接计算验证：\(\int_0^1 f_n(x)\,dx = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n}{(n+1)^2} \to 0\)，与定理结论一致。

  1. 与其他收敛定理的关系
    • 单调收敛定理：是控制收敛定理的前驱，它要求序列非负且单调递增。它可以视为一个特例（控制函数就是极限函数本身，但需其可积）。
  • 法图引理：处理非负函数序列的下极限与积分的不等式，结论较弱（\(\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n\)），但不需要可积控制函数的条件。控制收敛定理的证明常会用到法图引理。
    • 依测度收敛版本：定理条件中的“逐点收敛 a.e.” 可以弱化为“依测度收敛”，结论仍然成立，这使得定理应用范围更广。
勒贝格控制收敛定理 背景与动机 在微积分中，我们学习黎曼积分时，函数序列极限与积分交换顺序需要很强的条件（如一致收敛）。但在实际分析（如傅里叶分析、概率论）中，我们常处理更复杂的函数序列，需要更强大、更灵活的理论。勒贝格控制收敛定理提供了在勒贝格积分理论下，极限与积分可交换的一个非常实用且广泛满足的充分条件。 准备工作：逐点收敛与勒贝格积分 逐点收敛 ：设 \(\{f_ n\}\) 是定义在可测集 \(E \subseteq \mathbb{R}^d\) 上的一列可测函数。如果存在函数 \(f\)，使得对于几乎所有（almost everywhere, a.e.）的 \(x \in E\)，都有 \(\lim_ {n \to \infty} f_ n(x) = f(x)\)，则称 \(\{f_ n\}\) 逐点收敛 于 \(f\)（a.e.）。 勒贝格积分 ：回顾勒贝格积分是对可测函数定义的，它比黎曼积分更具一般性（例如，可处理无界函数集和不连续函数）。定理中涉及的积分均为勒贝格积分。 控制函数的概念 定理的核心是存在一个共同的“控制函数”。设 \(g\) 是定义在 \(E\) 上的一个 可积函数 （即 \(\int_ E |g| < \infty\)）。如果对每个 \(n\) 和几乎处处的 \(x \in E\)，都有 \(|f_ n(x)| \le g(x)\)，则称函数序列 \(\{f_ n\}\) 被 \(g\) 控制 （或称 \(g\) 为其可积控制函数）。这意味着序列中所有函数的绝对值都被一个共同的、积分有限的函数“压倒”。 定理的完整表述 勒贝格控制收敛定理 ：设 \(\{f_ n\}\) 是定义在可测集 \(E\) 上的一列可测函数。如果： (1) （逐点收敛） \(f_ n\) 几乎处处收敛于一个函数 \(f\)，即 \(f_ n \to f\) a.e. on \(E\)。 (2) （可积控制） 存在一个在 \(E\) 上的可积函数 \(g\)（即 \(g \in L^1(E)\)），使得对所有 \(n\) 和几乎处处的 \(x \in E\)，有 \(|f_ n(x)| \le g(x)\)。 那么，以下结论成立： \(f\) 是可积的（即 \(f \in L^1(E)\)）。 \(\lim_ {n \to \infty} \int_ E |f_ n - f| = 0\)。这意味着 \(f_ n\) 在 \(L^1\) 范数下收敛于 \(f\)。 （积分与极限可交换） \(\lim_ {n \to \infty} \int_ E f_ n = \int_ E f\)。这就是定理最常用的形式。 定理的直观理解与重要性 直观 ：控制函数 \(g\) 防止了函数序列 \(f_ n\) 在积分区域上“无限堆积”质量（正或负），从而保证了当函数值变化时，其“总面积”的变化是可控的，使得极限函数的积分等于函数积分的极限。 重要性 ：它极大地简化了极限运算。我们无需验证 \(f_ n\) 的一致收敛性（这通常很强），只需找到一个共同的、可积的“上界” \(g\)，并验证逐点收敛，即可放心交换极限与积分。这是证明许多其他定理（如积分号下求导）的基础工具。 一个简单例子 考虑 \(E = [ 0, 1]\)， \(f_ n(x) = \frac{n}{n+1} x^n\)。 逐点收敛 ：对任意固定的 \(x \in [ 0, 1)\)， \(\lim_ {n \to \infty} f_ n(x) = 0\)；在 \(x=1\) 处， \(f_ n(1)=\frac{n}{n+1} \to 1\)。所以 \(f_ n\) 逐点收敛于函数 \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [ 0,1) \\ 1, & x=1 \end{cases}\)。由于单点集测度为零，可以说 \(f_ n \to 0\) a.e.。 寻找控制函数 ：注意在 \([ 0,1]\) 上， \(|f_ n(x)| = \frac{n}{n+1}x^n \le x^n \le 1\)。令 \(g(x) = 1\)，它是 \([ 0,1]\) 上的可积函数（\(\int_ 0^1 1\,dx = 1 < \infty\)），且对所有 \(n\) 和 \(x\) 满足 \(|f_ n(x)| \le g(x)\)。 应用定理 ：由勒贝格控制收敛定理，有 \[ \lim_ {n \to \infty} \int_ 0^1 f_ n(x)\,dx = \int_ 0^1 \lim_ {n \to \infty} f_ n(x)\,dx = \int_ 0^1 0\,dx = 0. \] 我们也可以直接计算验证：\(\int_ 0^1 f_ n(x)\,dx = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n}{(n+1)^2} \to 0\)，与定理结论一致。 与其他收敛定理的关系 单调收敛定理 ：是控制收敛定理的前驱，它要求序列非负且单调递增。它可以视为一个特例（控制函数就是极限函数本身，但需其可积）。 法图引理 ：处理非负函数序列的下极限与积分的不等式，结论较弱（\(\int \liminf f_ n \le \liminf \int f_ n\)），但不需要可积控制函数的条件。控制收敛定理的证明常会用到法图引理。 依测度收敛版本 ：定理条件中的“逐点收敛 a.e.” 可以弱化为“依测度收敛”，结论仍然成立，这使得定理应用范围更广。