抛物型偏微分方程的极值原理（续）：比较原理、上下解方法及应用
字数 3714 2025-12-09 16:01:41

抛物型偏微分方程的极值原理（续）：比较原理、上下解方法及应用

在已讲解的“抛物型偏微分方程的极值原理”基础上，我们现在深入探讨其关键推论——比较原理，以及由此发展出的重要方法——上下解方法，并介绍其在非线性问题中的应用。

第一步：回顾极值原理的基本结论
对于经典的热传导方程 \(u_t = \Delta u\) 在有界区域 \(\Omega_T = \Omega \times (0, T]\) 上（其中 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 有界），极值原理指出：

  1. 弱极值原理：解的最大值与最小值必在抛物边界 \(\Gamma_T = (\partial \Omega \times [0, T]) \cup (\Omega \times \{t=0\})\) 上达到。
  2. 强极值原理：若解在区域内部某点达到最大值（或最小值），则该解在整个区域 \(\Omega \times (0, T]\) 上为常数。

这个结论依赖于方程的线性齐次主部。对于更一般的线性抛物算子 \(Lu = u_t - \sum_{i,j} a_{ij}(x,t) u_{x_i x_j} + \sum_i b_i(x,t) u_{x_i} + c(x,t)u\)，其中系数满足一致抛物性（即矩阵 \((a_{ij})\) 正定）和有界性，若 \(c(x,t) \geq 0\)，则弱极值原理仍然成立。若 \(c(x,t) \equiv 0\)，强极值原理成立。

第二步：比较原理的推导
比较原理是极值原理的直接推论，用于比较两个函数的大小。
假设 \(u\) 和 \(v\) 是方程 \(Lu = 0\) 的两个经典解（或满足 \(Lu \leq Lv\)）。考虑函数 \(w = u - v\)。

  • 若在抛物边界 \(\Gamma_T\) 上有 \(u \leq v\)，即 \(w|_{\Gamma_T} \leq 0\)。
  • 由于 \(Lw = Lu - Lv \leq 0\)，且通常假设 \(c \geq 0\)，我们可以应用极值原理的推广形式（有时需引入一个辅助函数进行变换，以处理 \(c\) 项的影响）。
  • 结论是：在整个区域 \(\overline{\Omega}_T\) 上，有 \(w \leq 0\)，即 \(u \leq v\)。

更精确的表述为：设 \(u, v \in C^{2,1}(\Omega_T) \cap C(\overline{\Omega}_T)\) 满足 \(Lu \leq Lv \ 于\ \Omega_T\)，且 \(u \leq v \ 于\ \Gamma_T\)。若 \(c(x,t) \geq 0\)，则在 \(\overline{\Omega}_T\) 上恒有 \(u \leq v\)。 若 \(c \equiv 0\)，结论不变。若 \(c\) 可负，结论需修正（通常结论在短时间或小区域内仍成立）。

比较原理是抛物方程理论中的核心工具，它确保了方程解对边界条件和初始条件的连续依赖性（从而与唯一性相关），并为估计解的大小提供了直接手段。

第三步：上下解方法（Sub-solution and Super-solution Method）
对于非线性抛物方程，例如 \(u_t = \Delta u + f(x,t,u)\)，极值原理的经典形式不直接适用。上下解方法是将比较原理推广到非线性情形的重要桥梁。

定义：考虑方程 \(u_t - \Delta u = f(x,t,u)\)，其中 \(f\) 关于 \(u\) 是局部利普希茨连续的。

  • 一个函数 \(\underline{u} \in C^{2,1}(\Omega_T) \cap C(\overline{\Omega}_T)\) 称为下解，如果它满足：

\[ \underline{u}_t - \Delta \underline{u} \leq f(x,t,\underline{u}) \quad \text{于 } \Omega_T, \quad 且 \quad \underline{u} \leq g \quad \text{于 } \Gamma_T, \]

这里 \(g\) 是给定的边界条件。

  • 类似地，\(\overline{u}\) 称为上解，如果满足：

\[ \overline{u}_t - \Delta \overline{u} \geq f(x,t,\overline{u}) \quad \text{于 } \Omega_T, \quad 且 \quad \overline{u} \geq g \quad \text{于 } \Gamma_T. \]

上下解可以直观理解为从“下方”和“上方”逼近真实解的函数。

第四步：上下解方法的基本定理与迭代过程
核心定理：若存在一对上下解满足 \(\underline{u} \leq \overline{u}\)，则在 \(\overline{\Omega}_T\) 上，存在经典解 \(u(x,t)\) 满足方程和给定的边界条件，且满足 \(\underline{u} \leq u \leq \overline{u}\)。

解的构造通常通过单调迭代序列完成：

  1. 从下解 \(u_0 = \underline{u}\) 开始，迭代求解线性问题：

\[ (u_{k})_t - \Delta u_{k} + M u_{k} = f(x,t,u_{k-1}) + M u_{k-1}, \quad \text{给定边界条件}, \]

其中 \(M > 0\) 是常数，使得函数 \(f(x,t,u) + Mu\) 关于 \(u\) 单调不减（这总是可以通过取 \(M\) 大于 \(f\) 对 \(u\) 的利普希茨常数来实现）。
2. 利用比较原理（应用于线性方程），可以证明序列 \(\{u_k\}\) 是单调不减的，且有上界 \(\overline{u}\)。因此序列收敛到某个极限函数 \(u\)。
3. 再通过正则性理论证明 \(u\) 确实是原非线性方程的光滑解。

类似地，从上解开始可以构造一个单调不增的序列收敛到同一个解。这就得到了解的存在性，并且将解“夹”在上下解之间。

第五步：应用示例：反应扩散方程与爆破现象
考虑一个典型模型：\(u_t = \Delta u + u^p\)，在区域 \(\Omega \times (0, T)\) 上，具有零边界条件 \(u|_{\partial \Omega} = 0\) 和正初值 \(u_0(x)\)。这里 \(p > 1\)。

  • 上解的构造：寻找一个形如 \(\overline{u}(x,t) = \lambda(t) \phi(x)\) 的函数，其中 \(\phi(x)\) 是 \(-\Delta\) 在 \(\Omega\) 上满足零边条件的第一个特征函数（\(\phi > 0\)），对应特征值 \(\lambda_1\)。代入方程，要求：

\[ \lambda'(t) \phi \geq \lambda(t) (-\lambda_1 \phi) + (\lambda(t)\phi)^p. \]

这引导我们考虑常微分方程 \(\lambda'(t) = -\lambda_1 \lambda + \lambda^p \|\phi\|_{\infty}^{p-1}\)。如果初值 \(\lambda(0)\) 足够大，这个ODE的解 \(\lambda(t)\) 会在有限时间 \(T^*\) 内趋向无穷大（爆破）。由此构造的 \(\overline{u}\) 是原方程的上解，且其爆破预示着原方程的解也可能在有限时间爆破。

  • 下解的构造：可以取一个小的常数函数或与时间无关的次解作为下解，证明解在初始时刻是正的。
  • 结论：通过上下解方法，我们可以证明，如果初值 \(u_0(x)\) 足够大（大于某个与 \(\phi(x)\) 成正比的函数），那么方程的解会在有限时间内趋向无穷大（即发生爆破）。这展示了上下解方法在定性研究（如爆破、熄灭、稳态解存在性）中的强大功能。

总结：抛物型方程的极值原理不仅给出了解的先验估计，其衍生的比较原理和上下解方法，更是处理非线性抛物方程（如反应扩散方程、多孔介质方程）的基石。它们将非线性问题转化为一系列线性问题的迭代，并利用线性理论的极值原理进行控制，是证明解的存在性、唯一性、稳定性和进行定性分析的有效框架。

抛物型偏微分方程的极值原理（续）：比较原理、上下解方法及应用 在已讲解的“抛物型偏微分方程的极值原理”基础上，我们现在深入探讨其关键推论——比较原理，以及由此发展出的重要方法——上下解方法，并介绍其在非线性问题中的应用。 第一步：回顾极值原理的基本结论 对于经典的热传导方程 \( u_ t = \Delta u \) 在有界区域 \( \Omega_ T = \Omega \times (0, T ] \) 上（其中 \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) 有界），极值原理指出： 弱极值原理 ：解的最大值与最小值必在抛物边界 \( \Gamma_ T = (\partial \Omega \times [ 0, T ]) \cup (\Omega \times \{t=0\}) \) 上达到。 强极值原理 ：若解在区域内部某点达到最大值（或最小值），则该解在整个区域 \( \Omega \times (0, T ] \) 上为常数。 这个结论依赖于方程的线性齐次主部。对于更一般的线性抛物算子 \( Lu = u_ t - \sum_ {i,j} a_ {ij}(x,t) u_ {x_ i x_ j} + \sum_ i b_ i(x,t) u_ {x_ i} + c(x,t)u \)，其中系数满足一致抛物性（即矩阵 \( (a_ {ij}) \) 正定）和有界性，若 \( c(x,t) \geq 0 \)，则弱极值原理仍然成立。若 \( c(x,t) \equiv 0 \)，强极值原理成立。 第二步：比较原理的推导 比较原理是极值原理的直接推论，用于比较两个函数的大小。 假设 \( u \) 和 \( v \) 是方程 \( Lu = 0 \) 的两个经典解（或满足 \( Lu \leq Lv \)）。考虑函数 \( w = u - v \)。 若在抛物边界 \( \Gamma_ T \) 上有 \( u \leq v \)，即 \( w|_ {\Gamma_ T} \leq 0 \)。 由于 \( Lw = Lu - Lv \leq 0 \)，且通常假设 \( c \geq 0 \)，我们可以应用极值原理的推广形式（有时需引入一个辅助函数进行变换，以处理 \( c \) 项的影响）。 结论是：在整个区域 \( \overline{\Omega}_ T \) 上，有 \( w \leq 0 \)，即 \( u \leq v \)。 更精确的表述为： 设 \( u, v \in C^{2,1}(\Omega_ T) \cap C(\overline{\Omega}_ T) \) 满足 \( Lu \leq Lv \ 于\ \Omega_ T \)，且 \( u \leq v \ 于\ \Gamma_ T \)。若 \( c(x,t) \geq 0 \)，则在 \( \overline{\Omega}_ T \) 上恒有 \( u \leq v \)。 若 \( c \equiv 0 \)，结论不变。若 \( c \) 可负，结论需修正（通常结论在短时间或小区域内仍成立）。 比较原理是抛物方程理论中的核心工具，它确保了方程解对边界条件和初始条件的连续依赖性（从而与唯一性相关），并为估计解的大小提供了直接手段。 第三步：上下解方法（Sub-solution and Super-solution Method） 对于 非线性 抛物方程，例如 \( u_ t = \Delta u + f(x,t,u) \)，极值原理的经典形式不直接适用。上下解方法是将比较原理推广到非线性情形的重要桥梁。 定义：考虑方程 \( u_ t - \Delta u = f(x,t,u) \)，其中 \( f \) 关于 \( u \) 是局部利普希茨连续的。 一个函数 \( \underline{u} \in C^{2,1}(\Omega_ T) \cap C(\overline{\Omega}_ T) \) 称为 下解 ，如果它满足： \[ \underline{u}_ t - \Delta \underline{u} \leq f(x,t,\underline{u}) \quad \text{于 } \Omega_ T, \quad 且 \quad \underline{u} \leq g \quad \text{于 } \Gamma_ T, \] 这里 \( g \) 是给定的边界条件。 类似地，\( \overline{u} \) 称为 上解 ，如果满足： \[ \overline{u}_ t - \Delta \overline{u} \geq f(x,t,\overline{u}) \quad \text{于 } \Omega_ T, \quad 且 \quad \overline{u} \geq g \quad \text{于 } \Gamma_ T. \] 上下解可以直观理解为从“下方”和“上方”逼近真实解的函数。 第四步：上下解方法的基本定理与迭代过程 核心定理：若存在一对上下解满足 \( \underline{u} \leq \overline{u} \)，则在 \( \overline{\Omega}_ T \) 上，存在经典解 \( u(x,t) \) 满足方程和给定的边界条件，且满足 \( \underline{u} \leq u \leq \overline{u} \)。 解的构造通常通过单调迭代序列完成： 从下解 \( u_ 0 = \underline{u} \) 开始，迭代求解线性问题： \[ (u_ {k}) t - \Delta u {k} + M u_ {k} = f(x,t,u_ {k-1}) + M u_ {k-1}, \quad \text{给定边界条件}, \] 其中 \( M > 0 \) 是常数，使得函数 \( f(x,t,u) + Mu \) 关于 \( u \) 单调不减（这总是可以通过取 \( M \) 大于 \( f \) 对 \( u \) 的利普希茨常数来实现）。 利用比较原理（应用于线性方程），可以证明序列 \( \{u_ k\} \) 是单调不减的，且有上界 \( \overline{u} \)。因此序列收敛到某个极限函数 \( u \)。 再通过正则性理论证明 \( u \) 确实是原非线性方程的光滑解。 类似地，从上解开始可以构造一个单调不增的序列收敛到同一个解。这就得到了解的存在性，并且将解“夹”在上下解之间。 第五步：应用示例：反应扩散方程与爆破现象 考虑一个典型模型：\( u_ t = \Delta u + u^p \)，在区域 \( \Omega \times (0, T) \) 上，具有零边界条件 \( u|_ {\partial \Omega} = 0 \) 和正初值 \( u_ 0(x) \)。这里 \( p > 1 \)。 上解的构造 ：寻找一个形如 \( \overline{u}(x,t) = \lambda(t) \phi(x) \) 的函数，其中 \( \phi(x) \) 是 \( -\Delta \) 在 \( \Omega \) 上满足零边条件的第一个特征函数（\( \phi > 0 \)），对应特征值 \( \lambda_ 1 \)。代入方程，要求： \[ \lambda'(t) \phi \geq \lambda(t) (-\lambda_ 1 \phi) + (\lambda(t)\phi)^p. \] 这引导我们考虑常微分方程 \( \lambda'(t) = -\lambda_ 1 \lambda + \lambda^p \|\phi\|_ {\infty}^{p-1} \)。如果初值 \( \lambda(0) \) 足够大，这个ODE的解 \( \lambda(t) \) 会在有限时间 \( T^* \) 内趋向无穷大（爆破）。由此构造的 \( \overline{u} \) 是原方程的上解，且其爆破预示着原方程的解也可能在有限时间爆破。 下解的构造 ：可以取一个小的常数函数或与时间无关的次解作为下解，证明解在初始时刻是正的。 结论 ：通过上下解方法，我们可以证明，如果初值 \( u_ 0(x) \) 足够大（大于某个与 \( \phi(x) \) 成正比的函数），那么方程的解会在有限时间内趋向无穷大（即发生爆破）。这展示了上下解方法在定性研究（如爆破、熄灭、稳态解存在性）中的强大功能。 总结 ：抛物型方程的极值原理不仅给出了解的先验估计，其衍生的比较原理和上下解方法，更是处理非线性抛物方程（如反应扩散方程、多孔介质方程）的基石。它们将非线性问题转化为一系列线性问题的迭代，并利用线性理论的极值原理进行控制，是证明解的存在性、唯一性、稳定性和进行定性分析的有效框架。