高斯曲率在共形变换下的不变性
字数 2474 2025-12-09 15:28:02

高斯曲率在共形变换下的不变性

我们先从基础概念入手。

1. 曲面的高斯曲率
对于一个光滑曲面 \(S\)，在给定点 \(p\) 处，高斯曲率 \(K\) 定义为两个主曲率 \(k_1, k_2\) 的乘积：

\[K = k_1 k_2 . \]

直观上，它描述了曲面在该点的局部弯曲程度与“鼓包”或“鞍形”特性。当 \(K > 0\) 时曲面如椭圆点（类似球面），\(K < 0\) 时如双曲点（类似马鞍），\(K = 0\) 时如抛物点（类似柱面）。

2. 共形变换（保角变换）的定义
设 \(f: S \to \tilde{S}\) 是两个曲面之间的光滑映射。如果 \(f\) 保持任意两条曲线的夹角（大小和方向），则称 \(f\) 是共形映射。

更技术性的描述是：
设曲面 \(S\) 在局部坐标下有第一基本形式

\[ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 , \]

而经过映射 \(f\) 后，\(\tilde{S}\) 在对应点的第一基本形式为

\[d\tilde{s}^2 = \tilde{E}\,du^2 + 2\tilde{F}\,du\,dv + \tilde{G}\,dv^2 . \]

如果存在一个处处为正的函数 \(\lambda(u,v)\)（称为共形因子），使得

\[d\tilde{s}^2 = \lambda^2\, ds^2 , \]

则 \(f\) 是共形的。这意味着在每一点，度量只差一个标量缩放，不改变角度。

3. 高斯曲率在等距变换下不变
等距变换是特殊的共形变换，其中 \(\lambda \equiv 1\)，即第一基本形式完全一样。等距变换下高斯曲率显然不变，因为高斯曲率由第一基本形式完全决定（高斯绝妙定理）。

4. 共形变换对高斯曲率的影响公式
现在考虑一般共形变换 \(d\tilde{s}^2 = e^{2\rho} ds^2\)，这里记 \(\lambda = e^{\rho}\)，\(\rho\) 是光滑函数。

已知一个经典公式（在微分几何教材中可推导）：
如果 \(\tilde{g} = e^{2\rho} g\)，其中 \(g\) 是原曲面的黎曼度量，则变换后的高斯曲率 \(\tilde{K}\) 与原高斯曲率 \(K\) 满足：

\[\tilde{K} = e^{-2\rho} \big( K - \Delta_g \rho \big) , \]

其中 \(\Delta_g\) 是关于度量 \(g\) 的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。在局部等温坐标下（\(ds^2 = e^{2\sigma}(du^2+dv^2)\)），此公式有更简洁的表达，但核心是：高斯曲率数值不是简单不变的，而是按上述规律变化。

5. “高斯曲率在共形变换下的不变性”是什么意思？
在某些语境下，“不变性”不是指数值不变，而是指某种等价类中的不变量。

更准确的重要事实是：

  • 高斯曲率作为一个函数，在一般共形变换下数值会变（如上公式）。
  • 但高斯曲率的符号（正、负、零）在共形变换下保持不变。因为 \(e^{-2\rho} > 0\)，而 \(K - \Delta_g \rho\) 的符号可以与 \(K\) 不同吗？实际上，给定一点 \(p\)，可以找到共形变换使该点 \(\tilde{K}(p)\) 变成任意实数，所以数值完全可变，符号也可变吗？注意：对于紧致无边曲面，根据 Gauss–Bonnet 定理，总曲率 \(\int_S K\,dA\) 是拓扑不变量，在共形变换下，面积变化但总曲率不变，这意味着曲率函数必须调整分布。对任意一点，我们可以用共形变换局部改变高斯曲率的数值甚至符号，只要整体积分约束满足。

但有一个关键的不变量是：在二维中，高斯曲率是共形不变量的常见说法是针对共形结构而言的一个整体不变量：即如果两个度量共形等价，那么它们的高斯曲率函数通过上述公式联系，这个公式本身确定了曲率如何变换，因此我们可以从其中一个度量的曲率和共形因子算出另一个的曲率。在这种意义下，我们说高斯曲率由共形结构和一个特定度量决定，但“共形变换下不变”常常被初学者误解。

6. 一个特例：常数曲率曲面之间的共形映射
如果 \(S\) 有常数高斯曲率 \(K\)，并且与 \(\tilde{S}\) 共形等价，那么可以选择一个共形因子使得 \(\tilde{S}\) 也是常数曲率，并且在适当归一化后，常数值与 \(K\) 有确定的比例关系，但符号相同。例如：

  • 球面（\(K>0\)）与平面（\(K=0\)）不能建立整体共形微分同胚（但局部可以，比如球极投影，此时曲率从正变成零，说明局部点的曲率数值和符号都能变）。
  • 平面与双曲圆盘（\(K<0\)）之间有著名的庞加莱圆盘模型，它是共形映射（在欧氏角度意义下保角），但将平直度量变成弯曲的双曲度量，曲率从 0 变成负常数。

这说明：在整体共形类中，我们可以通过选择代表度量来得到不同的常数值高斯曲率（包括不同符号），只要该常数符合整体拓扑约束（Gauss–Bonnet）。

7. 总结核心要点

  1. 一般共形变换会改变高斯曲率的数值，甚至改变符号（局部看）。
  2. 高斯曲率在共形变换下的变换公式是 \(\tilde{K} = e^{-2\rho}(K - \Delta_g \rho)\)。
  3. 高斯曲率作为一个函数并非数值不变量，但其变换规律完全由共形因子决定，因此它是共形几何中的一个已知数据。
  4. 在共形几何中常说“高斯曲率是共形不变量”的准确含义是：在二维中，给定一个共形结构和一个度量，高斯曲率函数可以通过共形因子从参考度量计算出来，并且曲率的积分（总曲率）是拓扑不变量。
高斯曲率在共形变换下的不变性 我们先从基础概念入手。 1. 曲面的高斯曲率 对于一个光滑曲面 \( S \)，在给定点 \( p \) 处，高斯曲率 \( K \) 定义为两个主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) 的乘积： \[ K = k_ 1 k_ 2 . \] 直观上，它描述了曲面在该点的局部弯曲程度与“鼓包”或“鞍形”特性。当 \( K > 0 \) 时曲面如椭圆点（类似球面），\( K < 0 \) 时如双曲点（类似马鞍），\( K = 0 \) 时如抛物点（类似柱面）。 2. 共形变换（保角变换）的定义 设 \( f: S \to \tilde{S} \) 是两个曲面之间的光滑映射。如果 \( f \) 保持任意两条曲线的夹角（大小和方向），则称 \( f \) 是 共形映射 。 更技术性的描述是： 设曲面 \( S \) 在局部坐标下有第一基本形式 \[ ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 , \] 而经过映射 \( f \) 后，\( \tilde{S} \) 在对应点的第一基本形式为 \[ d\tilde{s}^2 = \tilde{E}\,du^2 + 2\tilde{F}\,du\,dv + \tilde{G}\,dv^2 . \] 如果存在一个处处为正的函数 \( \lambda(u,v) \)（称为 共形因子 ），使得 \[ d\tilde{s}^2 = \lambda^2\, ds^2 , \] 则 \( f \) 是共形的。这意味着在每一点，度量只差一个标量缩放，不改变角度。 3. 高斯曲率在等距变换下不变 等距变换是特殊的共形变换，其中 \( \lambda \equiv 1 \)，即第一基本形式完全一样。等距变换下高斯曲率显然不变，因为高斯曲率由第一基本形式完全决定（高斯绝妙定理）。 4. 共形变换对高斯曲率的影响公式 现在考虑一般共形变换 \( d\tilde{s}^2 = e^{2\rho} ds^2 \)，这里记 \( \lambda = e^{\rho} \)，\(\rho\) 是光滑函数。 已知一个经典公式（在微分几何教材中可推导）： 如果 \( \tilde{g} = e^{2\rho} g \)，其中 \( g \) 是原曲面的黎曼度量，则变换后的高斯曲率 \( \tilde{K} \) 与原高斯曲率 \( K \) 满足： \[ \tilde{K} = e^{-2\rho} \big( K - \Delta_ g \rho \big) , \] 其中 \( \Delta_ g \) 是关于度量 \( g \) 的 拉普拉斯-贝尔特拉米算子 。在局部等温坐标下（\( ds^2 = e^{2\sigma}(du^2+dv^2) \)），此公式有更简洁的表达，但核心是：高斯曲率数值 不是 简单不变的，而是按上述规律变化。 5. “高斯曲率在共形变换下的不变性”是什么意思？ 在某些语境下，“不变性”不是指数值不变，而是指 某种等价类中的不变量 。 更准确的重要事实是： 高斯曲率作为一个函数，在一般共形变换下数值会变（如上公式）。 但高斯曲率的 符号 （正、负、零）在共形变换下保持不变。因为 \( e^{-2\rho} > 0 \)，而 \( K - \Delta_ g \rho \) 的符号可以与 \( K \) 不同吗？实际上，给定一点 \( p \)，可以找到共形变换使该点 \( \tilde{K}(p) \) 变成任意实数，所以 数值完全可变，符号也可变吗 ？注意：对于 紧致无边曲面 ，根据 Gauss–Bonnet 定理，总曲率 \( \int_ S K\,dA \) 是拓扑不变量，在共形变换下，面积变化但总曲率不变，这意味着曲率函数必须调整分布。对任意一点，我们可以用共形变换局部改变高斯曲率的数值甚至符号，只要整体积分约束满足。 但有一个关键的不变量是：在二维中， 高斯曲率是共形不变量 的常见说法是针对 共形结构 而言的一个整体不变量：即如果两个度量共形等价，那么它们的高斯曲率函数通过上述公式联系，这个公式本身确定了曲率如何变换，因此我们可以从其中一个度量的曲率和共形因子算出另一个的曲率。在这种意义下，我们说高斯曲率由共形结构和一个特定度量决定，但“共形变换下不变”常常被初学者误解。 6. 一个特例：常数曲率曲面之间的共形映射 如果 \( S \) 有常数高斯曲率 \( K \)，并且与 \( \tilde{S} \) 共形等价，那么可以选择一个共形因子使得 \( \tilde{S} \) 也是常数曲率，并且 在适当归一化后 ，常数值与 \( K \) 有确定的比例关系，但符号相同。例如： 球面（\(K>0\)）与平面（\(K=0\)） 不能 建立整体共形微分同胚（但局部可以，比如球极投影，此时曲率从正变成零，说明局部点的曲率数值和符号都能变）。 平面与双曲圆盘（\(K<0\)）之间有著名的 庞加莱圆盘模型 ，它是共形映射（在欧氏角度意义下保角），但将平直度量变成弯曲的双曲度量，曲率从 0 变成负常数。 这说明：在整体共形类中，我们可以通过选择代表度量来得到不同的常数值高斯曲率（包括不同符号），只要该常数符合整体拓扑约束（Gauss–Bonnet）。 7. 总结核心要点 一般共形变换会改变高斯曲率的数值，甚至改变符号（局部看）。 高斯曲率在共形变换下的变换公式是 \( \tilde{K} = e^{-2\rho}(K - \Delta_ g \rho) \)。 高斯曲率作为一个函数并非数值不变量，但其变换规律完全由共形因子决定，因此它是 共形几何 中的一个已知数据。 在共形几何中常说“高斯曲率是共形不变量”的准确含义是： 在二维中，给定一个共形结构和一个度量，高斯曲率函数可以通过共形因子从参考度量计算出来，并且曲率的积分（总曲率）是拓扑不变量 。