复变函数的伯格曼度量与凯勒流形
好的，我们开始讲解这个在复几何中极为重要的概念。为了避免与已讲词条重复，我将特别侧重于“度量”与“流形”的几何结构，而非孤立地讨论“伯格曼度量”。我们将从最基础的部分，一步步构建起理解这个主题所需的整个知识框架。
第一步：从“内蕴”度量到“凯勒”条件的引入
我们先明确一个核心思想：在一个复流形（可以粗略理解为局部像复欧氏空间 \(\mathbb{C}^n\) 的几何空间）上，我们希望有一种方式来测量其上的“距离”和“角度”，这种工具就是“黎曼度量”。在复流形上，我们更关注与复结构相容的度量。
- 埃尔米特度量： 在一个复流形 \(M\) 上，一个埃尔米特度量 \(h\) 是在每一点 \(p \in M\) 的复切空间 \(T_p^{(1,0)}M\) 上定义的一个正定埃尔米特内积。它可以局部地写成：
\[ ds^2 = \sum_{i,j} h_{i\bar{j}}(z) dz_i \otimes d\bar{z}_j \]
其中 \((h_{i\bar{j}})\) 是一个正定埃尔米特矩阵。这个 \(ds^2\) 给出了切向量的长度和夹角。
- 相伴的黎曼度量和凯勒形式：
- 黎曼度量： 每一个埃尔米特度量 \(h\) 都自然地对应一个通常的黎曼度量 \(g = \text{Re}(h)\)，它作用在实的切向量上。
- 凯勒形式： 更重要的是，我们可以从 \(h\) 构造一个实 (1,1)-型微分形式 \(\omega\)：
\[ \omega = \frac{i}{2} \sum_{i,j} h_{i\bar{j}} dz_i \wedge d\bar{z}_j \]
这个 \(\omega\) 被称为凯勒形式。它不仅是闭的（\(d\omega = 0\)），还是实、正定的 (1,1)-形式。
- 凯勒流形的定义： 一个复流形 \(M\) 如果配备了一个埃尔米特度量 \(h\)，使得其对应的凯勒形式 \(\omega\) 是闭的（即 \(d\omega = 0\)），那么就称 \((M, h)\) 是一个凯勒流形，\(h\) 称为凯勒度量。条件 \(d\omega = 0\) 被称为“凯勒条件”，它等价于度量在局部上可以写成一个实值函数 \(\phi\)（称为凯勒势）的二阶导数：\(h_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z_i \partial \bar{z}_j}\)。这个条件保证了流形的几何具有极好的调和性质，是复几何研究的核心对象。
第二步：函数空间的度量——再生核希尔伯特空间
在进入“伯格曼度量”之前，我们需要理解它来自哪个函数空间。
- 平方可积全纯函数空间： 考虑一个有界域（例如单位圆盘）\(D \subset \mathbb{C}^n\)。我们考察其上全体平方可积的全纯函数，即：
\[ A^2(D) = \{ f: D \to \mathbb{C} \text{ 全纯} \mid \int_D |f(z)|^2 dV(z) < \infty \} \]
这里 \(dV\) 是通常的欧氏体积元。这个空间 \(A^2(D)\) 是一个希尔伯特空间，其内积定义为：
\[ \langle f, g \rangle = \int_D f(z) \overline{g(z)} dV(z) \]
- 再生核： 对于一个希尔伯特空间 \(H\)，如果对所有点 \(w \in D\)，点赋值泛函 \(f \mapsto f(w)\) 都是连续的（这在 \(A^2(D)\) 中成立，因为有柯西积分公式的约束），那么根据里斯表示定理，存在一个唯一的函数 \(K(z, w) \in H\)，使得：
\[ f(w) = \langle f, K(\cdot, w) \rangle = \int_D f(z) \overline{K(z, w)} dV(z) \]
这个 \(K(z, w)\) 就称为伯格曼核函数。它具有性质 \(K(z, w) = \overline{K(w, z)}\)，并且在定义域内是全纯的。简单说，核函数“再生”了函数在每一点的值。
第三步：从核函数到内蕴度量——伯格曼度量的构造
现在，我们结合前两步，在复流形上构造一个“内蕴的”、由全纯函数决定的凯勒度量。
- 伯格曼核与正交基： 在 \(A^2(D)\) 中选取一组标准正交基 \(\{\phi_j(z)\}_{j=0}^{\infty}\)，则伯格曼核可以显式地表示为：
\[ K(z, w) = \sum_{j=0}^{\infty} \phi_j(z) \overline{\phi_j(w)} \]
这个和是局部一致收敛的。特别地，在 \(z=w\) 处，\(K(z, z)\) 是正的实数。
- 伯格曼度量的定义： 我们定义一个新的度量，其凯勒形式 \(\omega_B\) 由对数核函数给出：
\[ \omega_B = \frac{i}{2} \partial \bar{\partial} \log K(z, z) \]
也就是说，度量张量 \((g_{i\bar{j}}^B)\) 的分量是：
\[ g_{i\bar{j}}^B(z) = \frac{\partial^2}{\partial z_i \partial \bar{z}_j} \log K(z, z) \]
这个度量 \(g^B\) 就称为伯格曼度量。由于 \(\partial \bar{\partial} d = 0\)，所以 \(d\omega_B = 0\)，它自动满足凯勒条件。因此，装备了伯格曼度量的复流形（若 \(K(z,z) > 0\)）自然成为一个凯勒流形。
- 内蕴性与变换规律：
- 内蕴性： 伯格曼度量完全由流形本身的全纯结构（即其上的全纯函数空间）决定，不需要额外指定任何几何数据。它是一个“典范的”度量。
- 全纯自同构下的不变性： 如果 \(F: D_1 \to D_2\) 是一个双全纯映射（全纯自同构），那么它保持伯格曼核和伯格曼度量，即 \(F^* \omega_{B}^{(2)} = \omega_{B}^{(1)}\)。这意味着伯格曼度量反映了流形的全刚性对称。
第四步：例子、性质与几何意义
- 基本例子：
- 单位圆盘 \(\mathbb{D}\)： 其伯格曼核是 \(K(z, w) = \frac{1}{\pi (1 - z\bar{w})^2}\)。计算可得伯格曼度量为：
\[ ds^2 = \frac{2}{(1 - |z|^2)^2} |dz|^2 \]
这恰好是单位圆盘上的**庞加莱度量**，是常负曲率（-1）的双曲度量。
- 多圆柱与单位球： 在多复变中，不同区域的伯格曼度量不同。例如，单位球 \(B^n\) 的度量与多圆柱 \(\mathbb{D}^n\) 的度量不等价，这反映了多复变函数的丰富几何结构。
- 几何与拓扑意义：
- 完备性： 对于许多性质良好的域（如有界强伪凸域），其伯格曼度量是完备的，即其上的测地线可以无限延伸。这为在流形上做整体几何分析提供了基础。
- 曲率： 伯格曼度量的全纯截面曲率通常是负的或有下界的，这为研究流形的几何和分析性质（如刘维尔定理、施瓦茨引理的推广）提供了强有力的工具。
- 比较与刚性： 伯格曼度量的曲率性质可以用来区分不同的复流形，并证明刚性定理（例如，伯格曼度量平坦的强伪凸域必为全纯等价于一个单位球）。
总结： 复变函数的伯格曼度量是一个从函数空间（平方可积全纯函数空间）的内积结构，通过其再生核函数，以一种典范（内蕴）的方式诱导出的一个凯勒度量。它使得所研究的复流形成为一个凯勒流形。这个度量不仅是连接多复变函数论与复微分几何的桥梁，其丰富的几何性质（如曲率、完备性）也为深入理解复流形的全纯结构和整体几何提供了根本的工具。