图的收缩与可去边/可去顶点

字数 2827 2025-12-09 10:22:00

图的收缩与可去边/可去顶点

好的，我们开始讲解“图的收缩与可去边/可去顶点”这一词条。这个主题结合了图的结构操作与特定元素的移除，是研究图的结构性质和参数（如图的连通性、平面性、染色性等）的重要工具。我们将从最基础的定义开始，逐步深入到它们的性质和应用。

第一步：回顾基础概念“图的收缩”

“收缩”是一种图的操作，在你已学过的“图的收缩与可平面性”中已经介绍过。为了确保连贯性，我们在此简要、精确地复述其核心定义：
给定一个图 \(G\) 和它的一条边 \(e = uv\)，收缩边 \(e\) 是指将边 \(e\) 的两个端点 \(u\) 和 \(v\) 合并成一个新的顶点 \(w\)，原来与 \(u\) 或 \(v\) 相关联的边（除了边 \(e\) 本身被移除）都变为与 \(w\) 相关联。如果合并后产生多条平行边（连接同一对顶点），我们通常保留一条（在简单图讨论中）或全部保留（在多图讨论中）。收缩操作得到的图记为 \(G / e\)。

这个操作是理解后续“可去”概念的基础。

第二步：引入“可去边”的概念

有了收缩的概念，我们可以定义一种特殊的边。
在图 \(G\) 中，一条边 \(e\) 被称为可去边，如果图 \(G\) 的某个重要性质 \(P\) 在收缩 \(e\) 后得到的图 \(G/e\) 中得以保持。
这里“重要性质 \(P\)”是依赖于我们研究的具体问题的。最常见的性质包括：

k-连通性：对于一个 \(k\)-连通图（顶点连通度至少为 \(k\)），如果一条边 \(e\) 满足 \(G/e\) 仍然是 \(k\)-连通的，则称 \(e\) 为 \(k\)-可去边。这在研究极小 \(k\)-连通图（即删去任意一条边都会破坏 \(k\)-连通性）的结构时非常关键。
可平面性：如果 \(G\) 是可平面图，且 \(G/e\) 也是可平面图，则 \(e\) 相对于可平面性是可去的。事实上，根据你已学过的知识，收缩一条边不会破坏可平面性，所以可平面图中的所有边在这个意义上都是“可去”的。但反过来，如果 \(G\) 不可平面，但 \(G/e\) 可平面，则 \(e\) 是“使得图变得可平面”的关键边。
染色性：如果 \(\chi(G)\) 表示图 \(G\) 的色数，且满足 \(\chi(G/e) = \chi(G)\)，则 \(e\) 可被视为相对于色数的可去边。临界图（删去任意顶点或边都会降低色数的图）的研究就与这类可去性密切相关。

可去边的核心思想是：通过收缩这条边来简化图，同时不破坏我们所关心的图的性质。

第三步：深入研究“可去顶点”的概念

与可去边类似，我们定义可去顶点。但注意，对顶点的操作通常不是“收缩”，而是“删除”。
在图 \(G\) 中，一个顶点 \(v\) 被称为可去顶点（通常也被称为“可删顶点”），如果从 \(G\) 中删除 \(v\) 及其关联的所有边后得到的图 \(G - v\)，仍然保持原图 \(G\) 的某个重要性质 \(P\)。

常见的应用场景包括：

k-连通性：在 \(k\)-连通图中，如果一个顶点 \(v\) 满足 \(G - v\) 仍然是 \(k\)-连通的，则 \(v\) 是 \(k\)-可去顶点。但需要注意的是，删除一个顶点通常会降低连通度，所以在 \(k\)-连通图中寻找 \(k\)-可去顶点比寻找可去边更具挑战性，通常需要额外的条件（如图的规模足够大）。
完美图与弦图：在弦图中，存在一种称为“完美消除序”的顶点排序。在这种排序中，每个顶点及其在后续顶点中的邻居构成一个团。这意味着，按此顺序从图中移除顶点时，每个被移除的顶点都是“可去的”——它的移除不会破坏“当前子图是弦图”这一性质。这是你已学过的“图的弦图与完美消除序”的核心内容。
平面性：根据你学过的“图的收缩与可平面性”，收缩边保持平面性，但删除顶点显然也保持平面性（子图一定是平面图），所以平面图中的所有顶点在这个意义上都是“可去”的。

可去顶点的核心思想是：通过删除这个顶点来简化图，同时不破坏我们所关心的图的性质。

第四步：可去边/顶点与“临界性”和“极小性”的关系

“可去”的概念与“临界”或“极小”的概念是紧密对偶的。

临界图：对于一个性质 \(P\)，如果图 \(G\) 具有性质 \(P\)，但删除任何一条边（或任何一个顶点）都会导致性质 \(P\) 丢失，则称 \(G\) 是边临界的（或顶点临界的）。
与可去性的关系：在边临界图中，不存在相对于性质 \(P\) 的可去边。反之，如果一个具有性质 \(P\) 的图存在可去边，那么它就不是边临界的，我们可以通过收缩这条边得到一个更小但仍具有性质 \(P\) 的图。
例如，在着色理论中，色临界图是指色数为 \(k\)，但删除任意边或顶点后色数小于 \(k\) 的图。在这种图中，没有任何边或顶点是“可去”的（相对于保持色数不变）。

因此，研究哪些边或顶点是可去的，帮助我们识别非临界或非极小的部分，从而可以将复杂的图逐步简化（通过收缩可去边或删除可去顶点）为更小的核心结构进行研究。

第五步：一个具体应用实例——哈德维格猜想与收缩临界图

你已学过“图的收缩临界图与Hadwiger猜想”。现在我们可以用“可去边”的概念来重新审视它。

Hadwiger猜想：一个图如果不能被 \(k\) 种颜色正常着色（即色数 \(\chi(G) \ge k+1\)），那么它一定包含 \(K_{k+1}\) 作为其收缩子图（或称子式）。
收缩临界图：对于这个猜想，我们关注那些极小反例。一个图 \(G\) 如果色数至少为 \(k+1\)，但不包含 \(K_{k+1}\) 子式，且收缩任何一条边得到的图 \(G/e\) 的色数都严格小于 \(G\) 的色数，那么 \(G\) 就称为收缩临界的。
与可去边的联系：在收缩临界图中，没有一条边是“可去”的，因为收缩任何边都会降低我们关心的性质——色数。这与我们之前定义的“可去边”（收缩后保持性质）正好相反。收缩临界图正是那些“没有可去边（相对于高色数）”的图。研究这类图的结构（比如其顶点的最小度必须很高）是试图证明哈德维格猜想的关键途径。

这个例子展示了“可去性”概念如何被用来刻画和研究那些极端的、难以简化的图结构。

总结：

图的收缩与可去边/可去顶点这一概念，建立在你已掌握的“收缩”操作基础上，定义了一类特殊的边或顶点——它们在特定的图性质下可以被安全地移除（通过收缩或删除），而不会破坏该性质。这一概念是图简化、寻找极小反例、分析图的结构（如连通图、平面图、染色临界图）的强有力工具。它与“临界性”互为对偶，帮助我们区分图中哪些部分是“必要”的，哪些是“冗余”或可通过简化移除的。

图的收缩与可去边/可去顶点好的，我们开始讲解“图的收缩与可去边/可去顶点”这一词条。这个主题结合了图的结构操作与特定元素的移除，是研究图的结构性质和参数（如图的连通性、平面性、染色性等）的重要工具。我们将从最基础的定义开始，逐步深入到它们的性质和应用。第一步：回顾基础概念“图的收缩” “收缩”是一种图的操作，在你已学过的“图的收缩与可平面性”中已经介绍过。为了确保连贯性，我们在此简要、精确地复述其核心定义：给定一个图 \(G\) 和它的一条边 \(e = uv\)，收缩边 \(e\) 是指将边 \(e\) 的两个端点 \(u\) 和 \(v\) 合并成一个新的顶点 \(w\)，原来与 \(u\) 或 \(v\) 相关联的边（除了边 \(e\) 本身被移除）都变为与 \(w\) 相关联。如果合并后产生多条平行边（连接同一对顶点），我们通常保留一条（在简单图讨论中）或全部保留（在多图讨论中）。收缩操作得到的图记为 \(G / e\)。这个操作是理解后续“可去”概念的基础。第二步：引入“可去边”的概念有了收缩的概念，我们可以定义一种特殊的边。在图 \(G\) 中，一条边 \(e\) 被称为可去边，如果图 \(G\) 的某个重要性质 \(P\) 在收缩 \(e\) 后得到的图 \(G/e\) 中得以保持。这里“重要性质 \(P\)”是依赖于我们研究的具体问题的。最常见的性质包括： k-连通性：对于一个 \(k\)-连通图（顶点连通度至少为 \(k\)），如果一条边 \(e\) 满足 \(G/e\) 仍然是 \(k\)-连通的，则称 \(e\) 为 \(k\)-可去边。这在研究极小 \(k\)-连通图（即删去任意一条边都会破坏 \(k\)-连通性）的结构时非常关键。可平面性：如果 \(G\) 是可平面图，且 \(G/e\) 也是可平面图，则 \(e\) 相对于可平面性是可去的。事实上，根据你已学过的知识，收缩一条边不会破坏可平面性，所以可平面图中的所有边在这个意义上都是“可去”的。但反过来，如果 \(G\) 不可平面，但 \(G/e\) 可平面，则 \(e\) 是“使得图变得可平面”的关键边。染色性：如果 \(\chi(G)\) 表示图 \(G\) 的色数，且满足 \(\chi(G/e) = \chi(G)\)，则 \(e\) 可被视为相对于色数的可去边。临界图（删去任意顶点或边都会降低色数的图）的研究就与这类可去性密切相关。可去边的核心思想是：通过收缩这条边来简化图，同时不破坏我们所关心的图的性质。第三步：深入研究“可去顶点”的概念与可去边类似，我们定义可去顶点。但注意，对顶点的操作通常不是“收缩”，而是“删除”。在图 \(G\) 中，一个顶点 \(v\) 被称为可去顶点（通常也被称为“可删顶点”），如果从 \(G\) 中删除 \(v\) 及其关联的所有边后得到的图 \(G - v\)，仍然保持原图 \(G\) 的某个重要性质 \(P\)。常见的应用场景包括： k-连通性：在 \(k\)-连通图中，如果一个顶点 \(v\) 满足 \(G - v\) 仍然是 \(k\)-连通的，则 \(v\) 是 \(k\)-可去顶点。但需要注意的是，删除一个顶点通常会降低连通度，所以在 \(k\)-连通图中寻找 \(k\)-可去顶点比寻找可去边更具挑战性，通常需要额外的条件（如图的规模足够大）。完美图与弦图：在弦图中，存在一种称为“完美消除序”的顶点排序。在这种排序中，每个顶点及其在后续顶点中的邻居构成一个团。这意味着，按此顺序从图中移除顶点时，每个被移除的顶点都是“可去的”——它的移除不会破坏“当前子图是弦图”这一性质。这是你已学过的“图的弦图与完美消除序”的核心内容。平面性：根据你学过的“图的收缩与可平面性”，收缩边保持平面性，但删除顶点显然也保持平面性（子图一定是平面图），所以平面图中的所有顶点在这个意义上都是“可去”的。可去顶点的核心思想是：通过删除这个顶点来简化图，同时不破坏我们所关心的图的性质。第四步：可去边/顶点与“临界性”和“极小性”的关系 “可去”的概念与“临界”或“极小”的概念是紧密对偶的。临界图：对于一个性质 \(P\)，如果图 \(G\) 具有性质 \(P\)，但删除任何一条边（或任何一个顶点）都会导致性质 \(P\) 丢失，则称 \(G\) 是边临界的（或顶点临界的）。与可去性的关系：在边临界图中，不存在相对于性质 \(P\) 的可去边。反之，如果一个具有性质 \(P\) 的图存在可去边，那么它就不是边临界的，我们可以通过收缩这条边得到一个更小但仍具有性质 \(P\) 的图。例如，在着色理论中，色临界图是指色数为 \(k\)，但删除任意边或顶点后色数小于 \(k\) 的图。在这种图中，没有任何边或顶点是“可去”的（相对于保持色数不变）。因此，研究哪些边或顶点是可去的，帮助我们识别非临界或非极小的部分，从而可以将复杂的图逐步简化（通过收缩可去边或删除可去顶点）为更小的核心结构进行研究。第五步：一个具体应用实例——哈德维格猜想与收缩临界图你已学过“图的收缩临界图与Hadwiger猜想”。现在我们可以用“可去边”的概念来重新审视它。 Hadwiger猜想：一个图如果不能被 \(k\) 种颜色正常着色（即色数 \(\chi(G) \ge k+1\)），那么它一定包含 \(K_ {k+1}\) 作为其收缩子图（或称子式）。收缩临界图：对于这个猜想，我们关注那些极小反例。一个图 \(G\) 如果色数至少为 \(k+1\)，但不包含 \(K_ {k+1}\) 子式，且收缩任何一条边得到的图 \(G/e\) 的色数都严格小于 \(G\) 的色数，那么 \(G\) 就称为收缩临界的。与可去边的联系：在收缩临界图中，没有一条边是“可去”的，因为收缩任何边都会降低我们关心的性质——色数。这与我们之前定义的“可去边”（收缩后保持性质）正好相反。收缩临界图正是那些“没有可去边（相对于高色数）”的图。研究这类图的结构（比如其顶点的最小度必须很高）是试图证明哈德维格猜想的关键途径。这个例子展示了“可去性”概念如何被用来刻画和研究那些极端的、难以简化的图结构。总结：图的收缩与可去边/可去顶点这一概念，建立在你已掌握的“收缩”操作基础上，定义了一类特殊的边或顶点——它们在特定的图性质下可以被安全地移除（通过收缩或删除），而不会破坏该性质。这一概念是图简化、寻找极小反例、分析图的结构（如连通图、平面图、染色临界图）的强有力工具。它与“临界性”互为对偶，帮助我们区分图中哪些部分是“必要”的，哪些是“冗余”或可通过简化移除的。