图的距离支配集
字数 2453 2025-12-09 09:11:41

图的距离支配集

我们从最基本的概念开始。您应该已经理解了“图”、“顶点”、“边”和“距离”这些核心概念。一个图中，两个顶点之间的距离是指它们之间最短路径的边数。

现在，我们引入“支配”的思想。在图论中，一个顶点支配它的所有邻居（即与它直接相连的顶点）以及它自身。因此，一个支配集 是一个顶点的集合，使得图中的每个顶点要么在这个集合中，要么至少与这个集合中的一个顶点相邻。

这是一个“距离为1”的支配概念。我们可以将这个思想推广。对于一个给定的整数 \(k \ge 1\)，我们说一个顶点 \(v\) k-支配 所有与它的距离不超过 \(k\) 的顶点。也就是说，\(v\) 可以“影响”或“覆盖”其周围 \(k\) 步以内的所有顶点。

基于此，图的距离支配集 的定义就清晰了：
对于一个给定的图 \(G = (V, E)\) 和一个正整数 \(k\)，一个子集 \(D \subseteq V\) 被称为 \(G\) 的一个 k-距离支配集，如果对于图中的每一个顶点 \(u \in V\)，都存在至少一个顶点 \(v \in D\)，使得 \(u\) 和 \(v\) 之间的距离不超过 \(k\)。

换句话说，集合 \(D\) 中的顶点，通过最多 \(k\) 步的距离，可以“覆盖”或“触及”图中的所有顶点。

例子与直观理解
让我们考虑一个简单的路径图，顶点按顺序标记为 1-2-3-4-5-6-7。

  • 当 \(k=1\) 时，一个1-距离支配集就是经典支配集。例如，选择顶点 {2, 5}，可以发现每个顶点要么是2或5，要么与它们相邻。顶点1被2支配，顶点3被2支配，顶点4被5支配（距离为1），顶点6被5支配，顶点7被5支配（距离为1）。
  • 当 \(k=2\) 时，一个顶点可以支配距离它两步以内的所有顶点。此时，集合 {3, 5} 就是一个2-距离支配集吗？我们检查：顶点1与3距离为2，被支配；顶点2与3距离为1；顶点3在集合中；顶点4与5距离为1；顶点5在集合中；顶点6与5距离为1；顶点7与5距离为2。所以是的。实际上，对于这个7个顶点的路径，单个顶点 {4} 就能2-支配所有顶点（最远的顶点1和7与4的距离均为3，超过了2），所以 {4} 不是2-距离支配集。但 {4} 是3-距离支配集。可以看到，\(k\) 越大，单个顶点能覆盖的范围越广，所需的支配顶点就越少。

核心参数：距离支配数
对于给定的 \(k\)，我们通常关心最小的 \(k\)-距离支配集的大小。这个最小值被称为图的 k-距离支配数，记作 \(\gamma_k(G)\)。

  • \(\gamma_1(G)\) 就是经典的支配数 \(\gamma(G)\)。
  • 显然，当 \(k\) 增大时，\(\gamma_k(G)\) 是单调不增的。因为一个 \(k\)-距离支配集自动也是一个 \((k+1)\)-距离支配集（能覆盖k步的肯定能覆盖k+1步），但可能不是最小的。
  • 当 \(k\) 大于或等于图的直径（任意两点间最大距离）时，\(\gamma_k(G) = 1\)，因为任何一个顶点都可以支配整个图。

与已学概念的联系与区别
这个概念与您学过的“支配集问题”是直接推广关系。与“图的距离”参数相关，因为它利用距离来定义支配范围。与“图的半径/直径”有关，因为当 \(k\) 足够大时，问题变得平凡。与“图的覆盖问题”在思想上有相似之处，但支配是顶点覆盖顶点，而覆盖通常是边覆盖顶点或顶点覆盖边。与“图的燃烧数”在形式上有些相对，燃烧数是寻找一个有序顶点序列来“点燃”图，而距离支配集是寻找一个无序集合来“覆盖”图。

计算复杂性与算法
寻找一个图的最小 \(k\)-距离支配集是一个经典的NP难问题，即使对于 \(k=1\)（经典支配集）和像二分图、平面图这样的特殊图也是如此。因此，研究主要集中在：

  1. 近似算法： 设计在多项式时间内能找到接近最优解的算法。
  2. 精确算法： 使用分支定界、动态规划等方法，对于规模有限的图精确求解。
  3. 参数复杂性： 研究当图的结构参数（如树宽）有界时，问题是否能在多项式时间内求解。
  4. 特殊图类： 对于树、网格图、区间图等结构良好的图，通常存在多项式时间的精确算法。例如，在树上，可以用动态规划自底向上计算出 \(\gamma_k\)。

扩展与变体
这个概念有几个自然的变体：

  • 连通距离支配集： 要求支配集 \(D\) 在图中导出的子图是连通的。这在需要支配节点间能直接通信的网络设计中很重要。
  • 独立距离支配集： 要求支配集 \(D\) 是一个独立集，即其中任意两点都不相邻。这相当于要求覆盖顶点时，覆盖点之间不能太“拥挤”。
  • 全距离支配集： 要求不仅每个不在 \(D\) 中的顶点被 \(D\) 支配，而且 \(D\) 中的每个顶点也必须被 \(D\) 中的另一个顶点支配（距离不超过 \(k\)）。这增加了集合内部的冗余性。

应用背景
距离支配集的概念在网络设计、传感器网络、社会网络分析和设施选址等问题中有直接应用。

  • 无线传感器网络： 假设每个传感器节点的有效通信或监测半径为 \(k\) 跳。为了监控整个网络区域，需要部署最少的传感器作为“集结点”或“簇头”，使得任何一个节点都在某个集结点 \(k\) 跳范围内。这些集结点就构成了一个 \(k\)-距离支配集。
  • 设施选址： 在城市中设立急救中心，假设急救车能有效服务的距离范围是 \(k\) 公里（对应图中的距离）。为了使任何地点都能被覆盖，需要确定最少设立多少个急救中心，这就是一个距离支配集问题在加权的现实路网图上的建模。

总而言之，图的距离支配集是经典支配集概念基于图距离的自然推广，它通过引入“影响范围”参数 \(k\)，使得模型能更灵活地描述现实世界中基于距离的覆盖与控制问题，其理论核心在于研究 \(\gamma_k(G)\) 的性质、计算边界以及高效（近似）算法。

图的距离支配集 我们从最基本的概念开始。您应该已经理解了“图”、“顶点”、“边”和“距离”这些核心概念。一个图中，两个顶点之间的距离是指它们之间最短路径的边数。 现在，我们引入“支配”的思想。在图论中，一个顶点支配它的所有邻居（即与它直接相连的顶点）以及它自身。因此，一个 支配集 是一个顶点的集合，使得图中的每个顶点要么在这个集合中，要么至少与这个集合中的一个顶点相邻。 这是一个“距离为1”的支配概念。我们可以将这个思想推广。对于一个给定的整数 \( k \ge 1 \)，我们说一个顶点 \(v\) k-支配 所有与它的距离不超过 \(k\) 的顶点。也就是说，\(v\) 可以“影响”或“覆盖”其周围 \(k\) 步以内的所有顶点。 基于此， 图的距离支配集 的定义就清晰了： 对于一个给定的图 \(G = (V, E)\) 和一个正整数 \(k\)，一个子集 \(D \subseteq V\) 被称为 \(G\) 的一个 k-距离支配集 ，如果对于图中的每一个顶点 \(u \in V\)，都存在至少一个顶点 \(v \in D\)，使得 \(u\) 和 \(v\) 之间的距离不超过 \(k\)。 换句话说，集合 \(D\) 中的顶点，通过最多 \(k\) 步的距离，可以“覆盖”或“触及”图中的所有顶点。 例子与直观理解 让我们考虑一个简单的路径图，顶点按顺序标记为 1-2-3-4-5-6-7。 当 \(k=1\) 时，一个1-距离支配集就是经典支配集。例如，选择顶点 {2, 5}，可以发现每个顶点要么是2或5，要么与它们相邻。顶点1被2支配，顶点3被2支配，顶点4被5支配（距离为1），顶点6被5支配，顶点7被5支配（距离为1）。 当 \(k=2\) 时，一个顶点可以支配距离它两步以内的所有顶点。此时，集合 {3, 5} 就是一个2-距离支配集吗？我们检查：顶点1与3距离为2，被支配；顶点2与3距离为1；顶点3在集合中；顶点4与5距离为1；顶点5在集合中；顶点6与5距离为1；顶点7与5距离为2。所以是的。实际上，对于这个7个顶点的路径，单个顶点 {4} 就能2-支配所有顶点（最远的顶点1和7与4的距离均为3，超过了2），所以 {4} 不是2-距离支配集。但 {4} 是3-距离支配集。可以看到，\(k\) 越大，单个顶点能覆盖的范围越广，所需的支配顶点就越少。 核心参数：距离支配数 对于给定的 \(k\)，我们通常关心最小的 \(k\)-距离支配集的大小。这个最小值被称为图的 k-距离支配数 ，记作 \(\gamma_ k(G)\)。 \(\gamma_ 1(G)\) 就是经典的支配数 \(\gamma(G)\)。 显然，当 \(k\) 增大时，\(\gamma_ k(G)\) 是单调不增的。因为一个 \(k\)-距离支配集自动也是一个 \((k+1)\)-距离支配集（能覆盖k步的肯定能覆盖k+1步），但可能不是最小的。 当 \(k\) 大于或等于图的直径（任意两点间最大距离）时，\(\gamma_ k(G) = 1\)，因为任何一个顶点都可以支配整个图。 与已学概念的联系与区别 这个概念与您学过的“支配集问题”是直接推广关系。与“图的距离”参数相关，因为它利用距离来定义支配范围。与“图的半径/直径”有关，因为当 \(k\) 足够大时，问题变得平凡。与“图的覆盖问题”在思想上有相似之处，但支配是顶点覆盖顶点，而覆盖通常是边覆盖顶点或顶点覆盖边。与“图的燃烧数”在形式上有些相对，燃烧数是寻找一个有序顶点序列来“点燃”图，而距离支配集是寻找一个无序集合来“覆盖”图。 计算复杂性与算法 寻找一个图的最小 \(k\)-距离支配集是一个经典的NP难问题，即使对于 \(k=1\)（经典支配集）和像二分图、平面图这样的特殊图也是如此。因此，研究主要集中在： 近似算法 ： 设计在多项式时间内能找到接近最优解的算法。 精确算法 ： 使用分支定界、动态规划等方法，对于规模有限的图精确求解。 参数复杂性 ： 研究当图的结构参数（如树宽）有界时，问题是否能在多项式时间内求解。 特殊图类 ： 对于树、网格图、区间图等结构良好的图，通常存在多项式时间的精确算法。例如，在树上，可以用动态规划自底向上计算出 \(\gamma_ k\)。 扩展与变体 这个概念有几个自然的变体： 连通距离支配集 ： 要求支配集 \(D\) 在图中导出的子图是连通的。这在需要支配节点间能直接通信的网络设计中很重要。 独立距离支配集 ： 要求支配集 \(D\) 是一个独立集，即其中任意两点都不相邻。这相当于要求覆盖顶点时，覆盖点之间不能太“拥挤”。 全距离支配集 ： 要求不仅每个不在 \(D\) 中的顶点被 \(D\) 支配，而且 \(D\) 中的每个顶点也必须被 \(D\) 中的另一个顶点支配（距离不超过 \(k\)）。这增加了集合内部的冗余性。 应用背景 距离支配集的概念在网络设计、传感器网络、社会网络分析和设施选址等问题中有直接应用。 无线传感器网络 ： 假设每个传感器节点的有效通信或监测半径为 \(k\) 跳。为了监控整个网络区域，需要部署最少的传感器作为“集结点”或“簇头”，使得任何一个节点都在某个集结点 \(k\) 跳范围内。这些集结点就构成了一个 \(k\)-距离支配集。 设施选址 ： 在城市中设立急救中心，假设急救车能有效服务的距离范围是 \(k\) 公里（对应图中的距离）。为了使任何地点都能被覆盖，需要确定最少设立多少个急救中心，这就是一个距离支配集问题在加权的现实路网图上的建模。 总而言之，图的距离支配集是经典支配集概念基于图距离的自然推广，它通过引入“影响范围”参数 \(k\)，使得模型能更灵活地描述现实世界中基于距离的覆盖与控制问题，其理论核心在于研究 \(\gamma_ k(G)\) 的性质、计算边界以及高效（近似）算法。