量子力学中的Keldysh形式
字数 2566 2025-12-09 08:01:13

量子力学中的Keldysh形式

我将循序渐进地为您讲解量子力学中的Keldysh形式，这是一个用于处理非平衡量子系统的强大数学框架。

第一步： 引入背景——为什么需要Keldysh形式？

在量子力学中，我们熟知的许多方法（如路径积分、微扰论）最初都是为平衡系统（如处于热平衡的晶体）设计的。这些系统可以用温度T等少数几个参数描述，其核心数学工具是配分函数：Z = Tr[ e^{-βH} ]，其中β=1/(k_B T)。

然而，许多物理问题涉及非平衡系统，例如：

  1. 被激光脉冲激发的材料。
  2. 施加电压后电流流过的导线。
  3. 系统被快速“淬火”后，从非平衡态向平衡态驰豫的过程。

对于这类随时间演化、能量不守恒的系统，传统的平衡态方法不再适用。我们需要一个能够系统处理实时演化和初始非平衡态的框架。这就是Keldysh形式被提出的动机。

第二步： 核心思想——闭合时间回路

Keldysh（有时拼作Kadanoff-Baym或Schwinger-Keldysh）形式的核心是一个巧妙的时间路径概念，称为“闭合时间回路”或“Keldysh回路”。

其基本思想是：

  1. 系统在初始时刻t=0处于某个给定的非平衡状态（如密度矩阵ρ_0）。
  2. 我们关注系统在两个时间点 t1 和 t2 的某个物理量（如两点关联函数）。
  3. 为了计算这个量，我们让时间从t=0开始，向前演化到某个未来最大时间 t_max（大于t1和t2），然后再向后演化回到t=0。这就形成了一条在时间轴上“前进-后退”的闭合回路。

数学上，这个路径C包含了两个分支：

  • 正向分支 (C_+): 从 t=0 到 t=+∞ (或一个很大的时间)。
  • 反向分支 (C_-): 从 t=+∞ 回到 t=0。
    路径上的时间顺序称为“回路时间序”。

为什么这么做？
这样构造的闭合路径有一个关键性质：在路径的终点（即返回t=0时），演化算符的乘积 U(0,0) = I（单位算符）。这巧妙地保留了初始密度矩阵ρ_0的迹，使得我们可以像处理平衡态配分函数一样，写出一个生成泛函（或路径积分）的框架来处理非平衡问题。

第三步： 数学构造——场变量的加倍

由于时间路径有两个分支，场变量（如电子算符ψ）也需要在每个分支上定义。因此，我们对每个物理场引入两个时间变量：

  • ψ_+(t): 位于正向分支C_+上的场。
  • ψ_-(t): 位于反向分支C_-上的场。

这相当于将场变量的数量加倍。所有物理量的计算最终都涉及这两个分支上场量的组合。

为了更方便地揭示物理，通常会从 (ψ_+, ψ_-) 基变换到所谓的 “经典-量子”基 或 “Keldysh”基：

  • ψ_cl(t) = (ψ_+(t) + ψ_-(t)) / √2 （“经典”分量）
  • ψ_q(t) = (ψ_+(t) - ψ_-(t)) / √2 （“量子”分量）

这种命名源于路径积分中“经典”场（满足运动方程）和“量子”涨落之间的对应关系。在这个新的基下，格林函数的矩阵表示（称为Keldysh矩阵）会变得非常简洁。

第四步： 核心对象——Keldysh格林函数

在平衡态中，核心对象是推迟、超前和时序格林函数。在Keldysh形式中，它们被统一到一个 2x2的矩阵格林函数 Ĝ 中（在“经典-量子”基下）：

    Ĝ(t, t‘) = [  G^K(t, t‘)    G^R(t, t‘)  ]
               [  G^A(t, t‘)       0        ]

其中：

  • 推迟格林函数 G^R(t, t‘): 描述系统对微扰的因果响应。当 t < t‘ 时，G^R = 0。
  • 超前格林函数 G^A(t, t‘): G^A(t, t‘) = [G^R(t‘, t)]^*，满足当 t > t‘ 时，G^A = 0。
  • Keldysh格林函数 G^K(t, t‘): 这是非平衡理论特有的核心部分！它包含了系统的分布信息（例如，电子如何填充能级）。在平衡态，它通过涨落耗散定理与G^R和G^A联系起来；在非平衡态，它是一个独立的函数，包含了粒子分布偏离平衡的全部信息。

这个矩阵结构是Keldysh形式的精髓。所有物理可观测量（如电流、密度、噪声谱）都可以通过组合G^R, G^A, G^K这三个函数来表达。

第五步： 关键方程——Keldysh作用量与动力学方程

系统的演化由Keldysh作用量 S[ψ_cl, ψ_q] 决定，它来源于将传统的哈密顿量H推广到闭合时间回路。作用量通常是“量子”场ψ_q的线性项（来自初始条件或外场）加上“经典”场ψ_cl和“量子”场ψ_q的相互作用项。

从这个作用量出发，通过路径积分和变分原理，可以得到两个基本方程：

  1. 运动方程： 令作用量对“量子”场ψ_q的变分为零 (δS/δψ_q=0)，可以得到ψ_cl满足的经典运动方程（可能是平均场方程）。
  2. 动力学方程（Kadanoff-Baym方程）： 对格林函数应用Dyson方程或运动方程技术，可以得到一组关于 G^R, G^A, G^K 的耦合积分-微分方程。这些方程是非平衡微观理论的基本动力学方程，描述了量子关联如何在相互作用和外场驱动下实时演化。

第六步： 应用与优势总结

Keldysh形式的主要优势和典型应用包括：

  • 统一框架： 平衡态理论是其特例（当系统达到稳定平衡时）。
  • 系统化的微扰论： 可以在闭合时间回路上定义费曼图规则，对相互作用进行微扰展开，且能自动保证结果的因果性。
  • 处理稳态输运： 这是其最著名的应用之一。当系统连接多个处于不同平衡态的粒子库（如左、右电极）并达到非平衡稳态时，Keldysh形式可以严格推导出Landauer-Büttiker公式和非平衡态格林函数方法，用于计算介观系统中的量子电导、电流和噪声。
  • 处理实时演化： 可以研究量子淬火、泵浦-探测实验等完全依赖于时间的动力学过程。

总结：Keldysh形式通过引入闭合时间回路和场变量加倍，将非平衡量子系统的实时演化问题，转化成了一个类似于平衡态路径积分的、可进行系统微扰计算的框架。其核心是由推迟、超前和Keldysh格林函数构成的矩阵，它们共同编码了系统的响应、因果性和非平衡分布信息，是研究从量子输运到量子动力学等诸多前沿领域的基石性数学方法。

量子力学中的Keldysh形式 我将循序渐进地为您讲解量子力学中的Keldysh形式，这是一个用于处理非平衡量子系统的强大数学框架。 第一步： 引入背景——为什么需要Keldysh形式？ 在量子力学中，我们熟知的许多方法（如路径积分、微扰论）最初都是为 平衡系统 （如处于热平衡的晶体）设计的。这些系统可以用温度T等少数几个参数描述，其核心数学工具是配分函数：Z = Tr[ e^{-βH} ]，其中β=1/(k_ B T)。 然而，许多物理问题涉及 非平衡系统 ，例如： 被激光脉冲激发的材料。 施加电压后电流流过的导线。 系统被快速“淬火”后，从非平衡态向平衡态驰豫的过程。 对于这类 随时间演化 、 能量不守恒 的系统，传统的平衡态方法不再适用。我们需要一个能够系统处理 实时演化 和 初始非平衡态 的框架。这就是Keldysh形式被提出的动机。 第二步： 核心思想——闭合时间回路 Keldysh（有时拼作Kadanoff-Baym或Schwinger-Keldysh）形式的核心是一个巧妙的 时间路径 概念，称为“闭合时间回路”或“Keldysh回路”。 其基本思想是： 系统在初始时刻t=0处于某个给定的 非平衡状态 （如密度矩阵ρ_ 0）。 我们关注系统在 两个时间点 t1 和 t2 的某个物理量（如两点关联函数）。 为了计算这个量，我们让时间从t=0开始， 向前演化 到某个未来最大时间 t_ max（大于t1和t2），然后再 向后演化 回到t=0。这就形成了一条在时间轴上“前进-后退”的闭合回路。 数学上，这个路径C包含了两个分支： 正向分支 (C_ +) : 从 t=0 到 t=+∞ (或一个很大的时间)。 反向分支 (C_ -) : 从 t=+∞ 回到 t=0。 路径上的时间顺序称为“回路时间序”。 为什么这么做？ 这样构造的闭合路径有一个关键性质：在路径的终点（即返回t=0时），演化算符的乘积 U(0,0) = I（单位算符）。这巧妙地保留了 初始密度矩阵ρ_ 0的迹 ，使得我们可以像处理平衡态配分函数一样，写出一个生成泛函（或路径积分）的框架来处理非平衡问题。 第三步： 数学构造——场变量的加倍 由于时间路径有两个分支，场变量（如电子算符ψ）也需要在每个分支上定义。因此，我们对每个物理场引入 两个时间变量 ： ψ_ +(t): 位于正向分支C_ +上的场。 ψ_ -(t): 位于反向分支C_ -上的场。 这相当于将场变量的数量 加倍 。所有物理量的计算最终都涉及这两个分支上场量的组合。 为了更方便地揭示物理，通常会从 (ψ_ +, ψ_ -) 基变换到所谓的 “经典-量子”基 或 “Keldysh”基 ： ψ_ cl(t) = (ψ_ +(t) + ψ_ -(t)) / √2 （“经典”分量） ψ_ q(t) = (ψ_ +(t) - ψ_ -(t)) / √2 （“量子”分量） 这种命名源于路径积分中“经典”场（满足运动方程）和“量子”涨落之间的对应关系。在这个新的基下，格林函数的矩阵表示（称为Keldysh矩阵）会变得非常简洁。 第四步： 核心对象——Keldysh格林函数 在平衡态中，核心对象是推迟、超前和时序格林函数。在Keldysh形式中，它们被统一到一个 2x2的矩阵格林函数 Ĝ 中（在“经典-量子”基下）： 其中： 推迟格林函数 G^R(t, t‘) : 描述系统对微扰的因果响应。当 t < t‘ 时，G^R = 0。 超前格林函数 G^A(t, t‘) : G^A(t, t‘) = [ G^R(t‘, t)]^* ，满足当 t > t‘ 时，G^A = 0。 Keldysh格林函数 G^K(t, t‘) : 这是非平衡理论特有的核心部分！它包含了系统的 分布信息 （例如，电子如何填充能级）。在平衡态，它通过涨落耗散定理与G^R和G^A联系起来；在非平衡态，它是一个独立的函数，包含了粒子分布偏离平衡的全部信息。 这个矩阵结构是Keldysh形式的精髓。所有物理可观测量（如电流、密度、噪声谱）都可以通过组合G^R, G^A, G^K这三个函数来表达。 第五步： 关键方程——Keldysh作用量与动力学方程 系统的演化由Keldysh作用量 S[ ψ_ cl, ψ_ q] 决定，它来源于将传统的哈密顿量H推广到闭合时间回路。作用量通常是“量子”场ψ_ q的线性项（来自初始条件或外场）加上“经典”场ψ_ cl和“量子”场ψ_ q的相互作用项。 从这个作用量出发，通过路径积分和变分原理，可以得到 两个基本方程 ： 运动方程 ： 令作用量对“量子”场ψ_ q的变分为零 (δS/δψ_ q=0)，可以得到ψ_ cl满足的 经典运动方程 （可能是平均场方程）。 动力学方程（Kadanoff-Baym方程） ： 对格林函数应用Dyson方程或运动方程技术，可以得到一组关于 G^R, G^A, G^K 的耦合积分-微分方程。这些方程是 非平衡微观理论的基本动力学方程 ，描述了量子关联如何在相互作用和外场驱动下实时演化。 第六步： 应用与优势总结 Keldysh形式的主要优势和典型应用包括： 统一框架 ： 平衡态理论是其特例（当系统达到稳定平衡时）。 系统化的微扰论 ： 可以在闭合时间回路上定义费曼图规则，对相互作用进行微扰展开，且能自动保证结果的因果性。 处理稳态输运 ： 这是其最著名的应用之一。当系统连接多个处于不同平衡态的粒子库（如左、右电极）并达到非平衡稳态时，Keldysh形式可以严格推导出 Landauer-Büttiker公式 和 非平衡态格林函数方法 ，用于计算介观系统中的量子电导、电流和噪声。 处理实时演化 ： 可以研究量子淬火、泵浦-探测实验等完全依赖于时间的动力学过程。 总结 ：Keldysh形式通过 引入闭合时间回路和场变量加倍 ，将非平衡量子系统的实时演化问题，转化成了一个类似于平衡态路径积分的、可进行系统微扰计算的框架。其核心是 由推迟、超前和Keldysh格林函数构成的矩阵 ，它们共同编码了系统的响应、因果性和非平衡分布信息，是研究从量子输运到量子动力学等诸多前沿领域的基石性数学方法。