维纳测度（Wiener Measure）
字数 3060 2025-12-09 07:39:24

维纳测度（Wiener Measure）

维纳测度是概率论与泛函分析交汇的核心概念，它为连续时间随机过程——特别是布朗运动——提供了一个严格的测度论框架。以下将循序渐进地阐述其核心思想与数学结构。

第一步：理解核心动机——为“路径空间”赋予概率

直观上，布朗运动描述一个粒子在连续时间中无规则运动。其样本路径是一条连续的、但几乎处处不可微的函数 \(t \mapsto B_t(\omega)\)。要研究所有可能路径的统计性质，我们需要：

  1. 一个合适的“路径空间”\(\Omega\)，例如连续函数空间 \(C[0, T]\)。
  2. 在该空间上定义一个概率测度，使得随机过程 \(B_t(\omega) = \omega(t)\) 的有限维分布（即任意有限个时间点的联合分布）符合布朗运动的特性。这个测度就是维纳测度。

第二步：有限维分布与相容性条件

布朗运动的定义要求：

  • \(B_0 = 0\) 几乎必然。
  • 增量独立：对于 \(0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，增量 \(B_{t_2} - B_{t_1}, \ldots, B_{t_n} - B_{t_{n-1}}\) 相互独立。
  • 增量服从正态分布：\(B_t - B_s \sim N(0, t-s)\)，均值为0，方差为时间差。

由此可推出任意有限时间点 \((t_1, \ldots, t_n)\) 的联合分布密度（设 \(t_0=0, B_0=0\)）：

\[p_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n) = \prod_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_k - t_{k-1})}} \exp\left( -\frac{(x_k - x_{k-1})^2}{2(t_k - t_{k-1})} \right) \]

其中 \(x_0 = 0\)。这些有限维分布族满足科尔莫戈罗夫相容性条件：当减少时间点（边际化）时，分布一致。例如，对 \((t_1, t_3)\) 的边际密度等于对 \((t_1, t_2, t_3)\) 的联合密度关于 \(x_2\) 积分的结果。这保证了测度扩张的可能性。

第三步：路径空间与柱集

取路径空间为从0出发的连续函数空间：

\[\Omega = C_0[0,T] := \{ \omega \in C[0,T] : \omega(0) = 0 \} \]

赋予一致收敛拓扑（对应范数 \(\|\omega\|_\infty = \sup_{t \in [0,T]} |\omega(t)|\)），它是一个可分完备度量空间（波兰空间）。

在 \(\Omega\) 上，最基本的可观测事件是“路径在有限个时间点落在指定区间内”。这引出了柱集的定义：对于时间点 \(0 < t_1 < \cdots < t_n \leq T\) 和博雷尔集 \(A_1, \ldots, A_n \subset \mathbb{R}\)，

\[C(t_1,\ldots,t_n; A_1,\ldots,A_n) := \{ \omega \in \Omega : \omega(t_1) \in A_1, \ldots, \omega(t_n) \in A_n \} \]

这些柱集生成 \(\Omega\) 上的博雷尔 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}(\Omega)\)。

第四步：维纳测度的构造——科尔莫戈罗夫扩张定理的应用

利用有限维分布，我们可以先定义柱集上的测度。对上述柱集，设定：

\[\mu_W( C(t_1,\ldots,t_n; A_1,\ldots,A_n) ) = \int_{A_1 \times \cdots \times A_n} p_{t_1,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n) \, dx_1 \cdots dx_n \]

由于相容性条件，该定义在柱集代数上一致且满足可加性。关键步骤是：证明该预测度在 \(\sigma\)-代数上可唯一扩张为概率测度。但此处有一个技术难点：柱集代数生成的 \(\sigma\)-代数是所有博雷尔集，但连续路径空间有特殊结构——并非所有柱集都能直接描述连续路径的全体。

第五步：克服技术难点——连续性的实现

布朗运动的有限维分布定义在全体函数空间 \(\mathbb{R}^{[0,T]}\) 上，但该空间太大且其上的柱集测度无法保证连续路径集合的概率为1。解决方案是科尔莫戈罗夫连续性定理：若随机过程 \(X_t\) 满足矩条件

\[\mathbb{E}[|X_t - X_s|^\alpha] \leq C |t-s|^{1+\beta}, \quad \alpha, \beta > 0, \]

则存在一个连续修正。布朗运动满足此条件（取 \(\alpha=4\)），因此可在连续路径空间 \(C_0[0,T]\) 上定义一个概率测度，使得坐标过程 \(B_t(\omega) = \omega(t)\) 是布朗运动。这个测度就是维纳测度 \(\mu_W\)。

第六步：维纳测度的基本性质

  1. 平移不变性缺失：与勒贝格测度不同，维纳测度在平移下不是不变的，因为路径必须从0出发。
  2. 标度不变性：对 \(c > 0\)，定义缩放映射 \((S_c \omega)(t) = \frac{1}{\sqrt{c}} \omega(ct)\)，则 \(\mu_W\) 在 \(S_c\) 下不变。这反映了布朗运动的自相似性。
  3. 时间反转不变性：过程 \(\tilde{B}_t = B_{T-t} - B_T\) 在 \([0,T]\) 上也是布朗运动。
  4. 拟不变性：对足够光滑的漂移 \(h \in H^1_0\)（绝对连续且导数平方可积），测度 \(\mu_W(\cdot - h)\) 与 \(\mu_W\) 等价（拉东-尼科迪姆导数由吉尔萨诺夫定理给出）。

第七步：与泛函积分的联系——维纳积分

对“泛函” \(F: \Omega \to \mathbb{R}\)（例如 \(F(\omega) = \int_0^T f(\omega(t)) dt\)），其期望可写为：

\[\mathbb{E}[F] = \int_{\Omega} F(\omega) \, d\mu_W(\omega) \]

这称为维纳泛函积分，是路径积分数学严格化的基石之一。特别地，对于有界连续泛函，可通过有限维逼近（如取时间分割）用高斯积分计算。

第八步：推广与意义

维纳测度可推广到多维（\(\mathbb{R}^d\)-值布朗运动）和无限时间区间 \(C[0,\infty)\)。它是随机分析的基础，也是研究扩散过程、随机微分方程和量子场论中路径积分形式化的重要工具。在实变函数与测度论层面，它展示了如何在无穷维空间上构造具有特定性质的测度，并处理连续性等拓扑约束。

维纳测度（Wiener Measure） 维纳测度是概率论与泛函分析交汇的核心概念，它为连续时间随机过程——特别是布朗运动——提供了一个严格的测度论框架。以下将循序渐进地阐述其核心思想与数学结构。 第一步：理解核心动机——为“路径空间”赋予概率 直观上，布朗运动描述一个粒子在连续时间中无规则运动。其样本路径是一条连续的、但几乎处处不可微的函数 \( t \mapsto B_ t(\omega) \)。要研究所有可能路径的统计性质，我们需要： 一个合适的“路径空间”\( \Omega \)，例如连续函数空间 \( C[ 0, T ] \)。 在该空间上定义一个概率测度，使得随机过程 \( B_ t(\omega) = \omega(t) \) 的有限维分布（即任意有限个时间点的联合分布）符合布朗运动的特性。这个测度就是维纳测度。 第二步：有限维分布与相容性条件 布朗运动的定义要求： \( B_ 0 = 0 \) 几乎必然。 增量独立：对于 \( 0 \leq t_ 1 < t_ 2 < \cdots < t_ n \)，增量 \( B_ {t_ 2} - B_ {t_ 1}, \ldots, B_ {t_ n} - B_ {t_ {n-1}} \) 相互独立。 增量服从正态分布：\( B_ t - B_ s \sim N(0, t-s) \)，均值为0，方差为时间差。 由此可推出任意有限时间点 \( (t_ 1, \ldots, t_ n) \) 的联合分布密度（设 \( t_ 0=0, B_ 0=0 \)）： \[ p_ {t_ 1,\ldots,t_ n}(x_ 1,\ldots,x_ n) = \prod_ {k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi (t_ k - t_ {k-1})}} \exp\left( -\frac{(x_ k - x_ {k-1})^2}{2(t_ k - t_ {k-1})} \right) \] 其中 \( x_ 0 = 0 \)。这些有限维分布族满足 科尔莫戈罗夫相容性条件 ：当减少时间点（边际化）时，分布一致。例如，对 \( (t_ 1, t_ 3) \) 的边际密度等于对 \( (t_ 1, t_ 2, t_ 3) \) 的联合密度关于 \( x_ 2 \) 积分的结果。这保证了测度扩张的可能性。 第三步：路径空间与柱集 取路径空间为从0出发的连续函数空间： \[ \Omega = C_ 0[ 0,T] := \{ \omega \in C[ 0,T ] : \omega(0) = 0 \} \] 赋予一致收敛拓扑（对应范数 \(\|\omega\| \infty = \sup {t \in [ 0,T ]} |\omega(t)|\)），它是一个可分完备度量空间（波兰空间）。 在 \( \Omega \) 上，最基本的可观测事件是“路径在有限个时间点落在指定区间内”。这引出了 柱集 的定义：对于时间点 \( 0 < t_ 1 < \cdots < t_ n \leq T \) 和博雷尔集 \( A_ 1, \ldots, A_ n \subset \mathbb{R} \)， \[ C(t_ 1,\ldots,t_ n; A_ 1,\ldots,A_ n) := \{ \omega \in \Omega : \omega(t_ 1) \in A_ 1, \ldots, \omega(t_ n) \in A_ n \} \] 这些柱集生成 \( \Omega \) 上的博雷尔 \( \sigma \)-代数 \( \mathcal{B}(\Omega) \)。 第四步：维纳测度的构造——科尔莫戈罗夫扩张定理的应用 利用有限维分布，我们可以先定义柱集上的测度。对上述柱集，设定： \[ \mu_ W( C(t_ 1,\ldots,t_ n; A_ 1,\ldots,A_ n) ) = \int_ {A_ 1 \times \cdots \times A_ n} p_ {t_ 1,\ldots,t_ n}(x_ 1,\ldots,x_ n) \, dx_ 1 \cdots dx_ n \] 由于相容性条件，该定义在柱集代数上一致且满足可加性。关键步骤是： 证明该预测度在 \( \sigma \)-代数上可唯一扩张为概率测度 。但此处有一个技术难点：柱集代数生成的 \( \sigma \)-代数是所有博雷尔集，但连续路径空间有特殊结构——并非所有柱集都能直接描述连续路径的全体。 第五步：克服技术难点——连续性的实现 布朗运动的有限维分布定义在全体函数空间 \( \mathbb{R}^{[ 0,T]} \) 上，但该空间太大且其上的柱集测度无法保证连续路径集合的概率为1。解决方案是 科尔莫戈罗夫连续性定理 ：若随机过程 \( X_ t \) 满足矩条件 \[ \mathbb{E}[ |X_ t - X_ s|^\alpha ] \leq C |t-s|^{1+\beta}, \quad \alpha, \beta > 0, \] 则存在一个连续修正。布朗运动满足此条件（取 \( \alpha=4 \)），因此可在连续路径空间 \( C_ 0[ 0,T] \) 上定义一个概率测度，使得坐标过程 \( B_ t(\omega) = \omega(t) \) 是布朗运动。这个测度就是维纳测度 \( \mu_ W \)。 第六步：维纳测度的基本性质 平移不变性缺失 ：与勒贝格测度不同，维纳测度在平移下不是不变的，因为路径必须从0出发。 标度不变性 ：对 \( c > 0 \)，定义缩放映射 \( (S_ c \omega)(t) = \frac{1}{\sqrt{c}} \omega(ct) \)，则 \( \mu_ W \) 在 \( S_ c \) 下不变。这反映了布朗运动的自相似性。 时间反转不变性 ：过程 \( \tilde{B} t = B {T-t} - B_ T \) 在 \( [ 0,T ] \) 上也是布朗运动。 拟不变性 ：对足够光滑的漂移 \( h \in H^1_ 0 \)（绝对连续且导数平方可积），测度 \( \mu_ W(\cdot - h) \) 与 \( \mu_ W \) 等价（拉东-尼科迪姆导数由 吉尔萨诺夫定理 给出）。 第七步：与泛函积分的联系——维纳积分 对“泛函” \( F: \Omega \to \mathbb{R} \)（例如 \( F(\omega) = \int_ 0^T f(\omega(t)) dt \)），其期望可写为： \[ \mathbb{E}[ F] = \int_ {\Omega} F(\omega) \, d\mu_ W(\omega) \] 这称为 维纳泛函积分 ，是路径积分数学严格化的基石之一。特别地，对于有界连续泛函，可通过有限维逼近（如取时间分割）用高斯积分计算。 第八步：推广与意义 维纳测度可推广到多维（\( \mathbb{R}^d \)-值布朗运动）和无限时间区间 \( C [ 0,\infty) \)。它是随机分析的基础，也是研究扩散过程、随机微分方程和量子场论中路径积分形式化的重要工具。在实变函数与测度论层面，它展示了如何在无穷维空间上构造具有特定性质的测度，并处理连续性等拓扑约束。