复变函数的维尔斯特拉斯级数与椭圆函数
我们来系统性地探讨这个主题，我会从基础概念开始，层层递进，最终阐明维尔斯特拉斯级数与椭圆函数这一经典而深刻的联系。
第1步：从周期函数到双周期函数
复变函数中，最简单的周期函数是像指数函数 \(e^z\) 那样的单周期函数，其周期为 \(2\pi i\)。但更丰富的结构出现在具有两个线性无关的复周期的函数上。
- 定义：设 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 是两个非零复数，且 \(\text{Im}(\omega_2 / \omega_1) \neq 0\)（即它们不共线）。一个亚纯函数 \(f(z)\) 如果满足对所有的整数 \(m, n\) 和所有 \(z\) 在其定义域内有：
\[ f(z + m\omega_1 + n\omega_2) = f(z) \]
则称 \(f(z)\) 是以 \(\omega_1, \omega_2\) 为周期的双周期函数。所有形如 \(m\omega_1 + n\omega_2\) 的点构成一个格点 \(\Lambda\)。
- 关键难点：根据刘维尔定理，在整个复平面上全纯的双周期函数只能是常数。因此，任何非常数的双周期函数必然是亚纯的，即允许存在极点。这类函数被称为椭圆函数。
第2步：构造椭圆函数的动机与直接尝试
我们希望构造出非平凡的椭圆函数。一个自然的起点是类比单周期函数 \(\cot(\pi z)\)（其极点位于整数格点）的构造思路，即对格点 \(\Lambda\) 上所有点求和。
- 第一次尝试：考虑最简单的求和 \(\sum_{\omega \in \Lambda} \frac{1}{z - \omega}\)。但很遗憾，这个级数并不绝对收敛。原因在于对于大的 \(|\omega|\)，项 \(1/(z-\omega) \sim 1/\omega\)，而 \(\sum_{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}} 1/|\omega|\) 发散（类似于调和级数）。
第3步：维尔斯特拉斯级数的引入——强制收敛
为了获得收敛性，维尔斯特拉斯（Weierstrass）引入了更高负幂次的求和，这就是著名的维尔斯特拉斯 \(\wp\) 函数的构造。
- 定义：维尔斯特拉斯 \(\wp\) 函数定义为：
\[ \wp(z; \omega_1, \omega_2) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda^* } \left( \frac{1}{(z - \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right) \]
其中 \(\Lambda^* = \Lambda \setminus \{0\}\)，即去掉零点的格点。
- 为什么收敛？ 关键技巧在于减去 \(1/\omega^2\)。对大的 \(|\omega|\)，将项展开：
\[ \frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} = \frac{2z}{\omega^3} + O\left(\frac{1}{\omega^4}\right) \]
由于 \(\sum_{\omega \in \Lambda^*} 1/|\omega|^3\) 收敛，因此该级数在复平面上除去格点 \(\Lambda\) 外是绝对且局部一致收敛的。减去的 \(1/\omega^2\) 项消除了导致发散的主要部分，这被称为“收敛化求和”。
第4步：\(\wp\) 函数的性质
由上述构造，我们可以推导出 \(\wp\) 函数的核心性质：
- 奇偶性：\(\wp(z)\) 是偶函数，即 \(\wp(-z) = \wp(z)\)。这可以从求和定义中直接看出。
- 周期性：\(\wp(z)\) 是以 \(\omega_1, \omega_2\) 为周期的椭圆函数。证明需要利用其导数的周期性以及 \(\wp\) 函数是偶函数的事实。
- 极点：在每一个格点 \(\omega \in \Lambda\) 处，\(\wp(z)\) 有一个二阶极点，留数为0（因为 \(1/(z-\omega)^2\) 的展开无 \(1/(z-\omega)\) 项）。
- 导数：对定义式逐项求导（在收敛区域内允许）得到：
\[ \wp‘(z) = -2 \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{1}{(z - \omega)^3} \]
这是一个以 \(\Lambda\) 为周期的奇函数，且在每个格点有三阶极点。
第5步：椭圆函数的基本代数结构——微分方程
\(\wp\) 函数和它的导数满足一个非常重要的代数关系。考虑函数 \(\wp'(z)^2\) 和 \(\wp(z)^3\)，它们都是椭圆函数，在 \(z=0\) 附近进行洛朗展开：
在 \(z=0\) 附近：
\[\wp(z) = \frac{1}{z^2} + a_2 z^2 + a_4 z^4 + \cdots \quad (\text{无常数项和 } z^2 \text{项，因为减去了 } 1/\omega^2) \]
\[ \wp'(z) = -\frac{2}{z^3} + 2a_2 z + 4a_4 z^3 + \cdots \]
通过计算 \(\wp'(z)^2\) 和 \(\wp(z)^3\) 的展开式，并定义一个椭圆函数 \(F(z) = \wp'(z)^2 - 4\wp(z)^3 + g_2 \wp(z) + g_3\)，其中 \(g_2, g_3\) 是依赖于格 \(\Lambda\) 的常数（称为模不变量）：
\[g_2 = 60 \sum_{\omega \in \Lambda^*} \frac{1}{\omega^4}, \quad g_3 = 140 \sum_{\omega \in \Lambda^*} \frac{1}{\omega^6} \]
可以发现 \(F(z)\) 在 \(z=0\) 处是全纯的（所有负幂次项被精心选择的常数消去），并且由于它是椭圆函数，根据刘维尔定理，它必须是常数。又因为 \(F(0)=0\)，所以 \(F(z) \equiv 0\)。这就得到了维尔斯特拉斯微分方程：
\[\boxed{ \left( \frac{d\wp}{dz} \right)^2 = 4\wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3 } \]
这个方程揭示了椭圆函数与椭圆曲线 \(y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3\) 的深刻联系：点 \((\wp(z), \wp'(z))\) 随着 \(z\) 在复平面上变化（避开格点）而描出该曲线。
第6步：维尔斯特拉斯级数的推广与一般椭圆函数的表示
维尔斯特拉斯 \(\wp\) 函数是构造更一般椭圆函数的基石。
- 维尔斯特拉斯 ζ 函数：定义为 \(\wp(z)\) 的负原函数：
\[ \zeta(z) = \frac{1}{z} + \sum_{\omega \in \Lambda^*} \left( \frac{1}{z - \omega} + \frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2} \right) \]
注意，它不是椭圆函数！因为它满足 \(\zeta(z+\omega_i) = \zeta(z) + \eta_i\)，其中 \(\eta_i\) 是常数（与周期有关）。但它对于分解椭圆函数很有用。
- 维尔斯特拉斯 σ 函数：定义为 \(\zeta(z)\) 的原函数的指数：
\[ \sigma(z) = z \prod_{\omega \in \Lambda^*} \left(1 - \frac{z}{\omega}\right) e^{z/\omega + z^2/(2\omega^2)} \]
这是一个**整函数**，以格点为单零点，且满足准周期性质。
- 椭圆函数的因式分解定理（维尔斯特拉斯形式）：任何椭圆函数 \(f(z)\)（关于格 \(\Lambda\)）都可以用 \(\wp(z)\) 和 \(\wp'(z)\) 有理地表示，即存在有理函数 \(R\) 使得 \(f(z) = R(\wp(z), \wp'(z))\)。等价地，它也可以用 σ 函数表示为：
\[ f(z) = C \frac{\prod_{j=1}^n \sigma(z - a_j)}{\prod_{k=1}^n \sigma(z - b_k)} \]
其中 \(\{a_j\}\) 和 \(\{b_k\}\) 分别是 \(f\) 的零点和极点（计及重数），且满足椭圆函数的基本性质：\(\sum a_j \equiv \sum b_k \ (\text{mod } \Lambda)\)（零点与极点之和在格上相等）。
总结
复变函数的维尔斯特拉斯级数 的核心，是通过引入收敛化因子（如 \(-1/\omega^2\)）来构造出收敛的无穷级数，以此定义出最基本的椭圆函数——维尔斯特拉斯 \(\wp\) 函数。这一构造不仅解决了双周期亚纯函数的存在性问题，而且通过其满足的微分方程，将复分析、代数几何（椭圆曲线）和数论紧密联系在一起。维尔斯特拉斯 ζ 函数和 σ 函数则提供了分析椭圆函数零点/极点结构的强大工具，完善了椭圆函数的表示理论。因此，维尔斯特拉斯级数是理解和构建椭圆函数理论体系的基石。