同余 同余是数论中的一个基本概念，它描述了两个整数在除以同一个正整数时，余数相同的特殊关系。这个概念极大地简化了许多与整除性相关的问题。 第一步：从整除到余数 要理解同余，我们先从更基础的除法概念开始。当我们用一个正整数 m 去除一个整数 a 时，我们可以得到一个商和一个余数。例如，用 5 去除 17 ： 17 ÷ 5 = 3 ... 2 这里，商是 3 ，余数是 2 。我们也可以写成： 17 = 5 * 3 + 2 。 这个余数 2 有一个重要的性质：它总是大于等于 0 并且小于除数 5 。 第二步：定义同余关系 现在，我们考虑两个整数 a 和 b ，以及一个固定的正整数 m （我们称之为“模”）。如果 a 和 b 除以 m 所得的余数相同，那么我们就说 a 和 b 在模 m 下是同余的。 用数学符号表示就是： a ≡ b (mod m) 这个符号 ≡ 读作“同余于”。 让我们看一个例子：判断 17 和 32 在模 5 下是否同余。 17 除以 5 的余数是 2 （因为 17 = 5*3 + 2 ）。 32 除以 5 的余数是 2 （因为 32 = 5*6 + 2 ）。 由于它们的余数都是 2 ，所以我们说 17 ≡ 32 (mod 5) 。 第三步：一个等价的、更强大的定义 “余数相同”这个定义很直观，但在数学证明和推导中，一个等价的定义更为常用和强大： a ≡ b (mod m) 当且仅当 m 能够整除 (a - b) 。也就是说， (a - b) 是 m 的整数倍。 用数学式子表示就是： a ≡ b (mod m) 等价于 m | (a - b) （符号 | 表示“整除”）。 我们用刚才的例子验证一下： 17 和 32 。 计算 a - b = 17 - 32 = -15 。 5 能整除 -15 吗？能，因为 -15 ÷ 5 = -3 ，是一个整数。 所以， 5 | (17 - 32) ，这再次证明了 17 ≡ 32 (mod 5) 。 这个定义非常强大，因为它让我们摆脱了具体余数的计算，直接从整数的差值来判断同余关系。 第四步：同余的基本性质 同余关系和等号（=）有许多相似的性质，这些性质使得我们可以对同余式进行类似方程的运算。 如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m) ，那么以下性质成立： 加法/减法性质 ： a ± c ≡ b ± d (mod m) 乘法性质 ： a * c ≡ b * d (mod m) 幂的性质 ： aⁿ ≡ bⁿ (mod m) （其中 n 是任意正整数） 举例说明加法性质 ： 我们知道 17 ≡ 2 (mod 5) （因为余数都是2）， 8 ≡ 3 (mod 5) （因为余数都是3）。 根据性质， 17 + 8 ≡ 2 + 3 (mod 5) ，即 25 ≡ 5 (mod 5) 。 验证： 25 ÷ 5 = 5 ... 0 ， 5 ÷ 5 = 1 ... 0 ，余数确实相同（都是0）。 第五步：一个简单的应用——求余数 同余可以帮助我们快速计算大数的余数，而无需完成整个除法。 问题 ： 123 * 456 除以 7 的余数是多少？ 传统方法 ：先计算 123 * 456 = 56088 ，再用 56088 除以 7 ，计算比较复杂。 同余方法 ： 先分别找出 123 和 456 除以 7 的余数。 123 ÷ 7 = 17 ... 4 ，所以 123 ≡ 4 (mod 7) 。 456 ÷ 7 = 65 ... 1 ，所以 456 ≡ 1 (mod 7) 。 利用乘法性质： 123 * 456 ≡ 4 * 1 (mod 7) ，即 123 * 456 ≡ 4 (mod 7) 。 所以， 123 * 456 除以 7 的余数就是 4 。 这个方法的核心思想是，在模运算中，我们可以用更小的、同余的数来替换大数，从而简化计算。同余是现代密码学、计算机科学和许多数学分支的基石。