图论中的匹配问题（Matching Problems in Graph Theory） 第一步：图与匹配的基本定义 图论中，一个 图（Graph） 由顶点集合 \(V\) 和边集合 \(E\) 组成，边连接两个顶点。 匹配（Matching） 是指边集的一个子集 \(M \subseteq E\)，其中任意两条边没有公共顶点。若顶点 \(v\) 与匹配 \(M\) 中的某条边关联，则称 \(v\) 被匹配覆盖；否则称为未覆盖顶点。匹配的大小即其包含的边数。 第二步：匹配的分类与性质 最大匹配（Maximum Matching） ：边数最多的匹配。 极大匹配（Maximal Matching） ：无法通过添加任何边来扩展的匹配（不一定最大）。 完美匹配（Perfect Matching） ：覆盖图中所有顶点的匹配（要求顶点数为偶数）。 最大权匹配（Maximum Weight Matching） ：在边带权图中，总权值最大的匹配。 匹配问题通常分为两类： 二分图匹配 （顶点分为两个不相交集合，边只在集合间连接）和 一般图匹配 。 第三步：二分图匹配与匈牙利算法 二分图匹配可通过 匈牙利算法 （Hungarian Algorithm）求解最大匹配，步骤如下： 从任意未匹配点出发，寻找 增广路径 （交替经过匹配边和非匹配边，起点终点均为未匹配点）。 若找到增广路径，则将路径上的边状态取反（匹配边变非匹配边，反之亦然），匹配数增加1。 重复直到不存在增广路径。时间复杂度为 \(O(|V| \cdot |E|)\)。 第四步：一般图匹配与Blossom算法 一般图中存在奇环，增广路径可能被破坏。 Blossom算法 （由Jack Edmonds提出）通过以下步骤处理： 寻找增广路径时，若遇到奇环（称为“花”），将其收缩为一个 伪顶点 ，继续搜索。 找到增广路径后，展开伪顶点并调整匹配。 该算法复杂度为 \(O(|V|^3)\)，是求解一般图最大匹配的多项式时间算法。 第五步：匹配问题的扩展与应用 稳定婚姻问题 ：二分图匹配的变体，要求匹配满足稳定性（不存在未配对双方更偏好彼此）。 指派问题 ：二分图最大权匹配的特例，可用匈牙利算法的扩展（如Kuhn-Munkres算法）求解。 网络流建模 ：二分图最大匹配可转化为最大流问题（增加源点和汇点，边容量设为1）。 实际应用 ：包括任务分配、医疗资源调度、电路设计等。 第六步：匹配的优化与复杂性 最大基数匹配 ：上述算法已解决。 最大权匹配 ：一般图可用 带权Blossom算法 （复杂度 \(O(|V|^3)\)）。 近似算法 ：对于大规模问题，贪心算法可快速得到近似极大匹配（最多为最大匹配的一半）。 并行计算 ：存在基于路径搜索的并行化算法，加速大规模图匹配。