模的Bass数

字数 3123 2025-12-09 05:33:15

模的Bass数

我们先从一个最基础的情形开始。假设你有一个环 \(R\) 和一个 \(R\)-模 \(M\)。我们知道，研究模的结构时，一个强有力的工具是给它构造一个内射分解。回忆一下，一个内射分解是一个正合序列：

\[0 \to M \to E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} E^2 \to \cdots \]

其中每个 \(E^i\) 都是内射模。

现在，固定 \(R\) 的一个素理想 \(\mathfrak{p}\)。我们知道，对于一个模 \(N\)，可以构造它的局部化 \(N_{\mathfrak{p}}\)，这是一个在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处局部化的模，也是一个 \(R_{\mathfrak{p}}\)-模。同时，局部环 \(R_{\mathfrak{p}}\) 有唯一的极大理想 \(\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}\)，其剩余域是 \(k(\mathfrak{p}) = R_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}\)。

第一步：定义
给定模 \(M\) 和整数 \(i \ge 0\)，我们定义 \(M\) 在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处的第 \(i\) 个 Bass 数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 为：

\[\mu^i(\mathfrak{p}, M) = \dim_{k(\mathfrak{p})} \operatorname{Ext}^i_{R_{\mathfrak{p}}}(k(\mathfrak{p}), M_{\mathfrak{p}}). \]

这里，\(\operatorname{Ext}^i_{R_{\mathfrak{p}}}(-,-)\) 是在局部环 \(R_{\mathfrak{p}}\) 上的 Ext 函子。这个定义可以解读为：将 \(M\) 在 \(\mathfrak{p}\) 处局部化得到 \(M_{\mathfrak{p}}\)，然后计算 \(R_{\mathfrak{p}}\)-模 \(k(\mathfrak{p})\) 与 \(M_{\mathfrak{p}}\) 之间的第 \(i\) 个 Ext 模的向量空间维数（在域 \(k(\mathfrak{p})\) 上）。

第二步：为什么它被称为“数”？
因为 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 是一个非负整数（或无穷，但常见于有限生成模时它为有限数）。它不依赖于所选取的内射分解的具体形式，是 \(M\) 和 \(\mathfrak{p}\) 的一个不变量。直观上，它度量了在“点” \(\mathfrak{p}\) 处，模 \(M\) 的“内射复杂性”在第 \(i\) 个层次的某种“秩”或“重数”。

第三步：与极小内射分解的联系
这是 Bass 数的核心解释。一个极小内射分解是一种特殊的内射分解，其中每个内射模 \(E^i\) 都分解为不可分解内射模的直和。在诺特环上，不可分解内射模与素理想一一对应：具体来说，对于每个素理想 \(\mathfrak{p}\)，存在一个唯一的（在同构意义下）不可分解内射模 \(E(R/\mathfrak{p})\)，它在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处是“支撑”的。更重要的是，在极小内射分解

\[0 \to M \to E^0 \to E^1 \to E^2 \to \cdots \]

中，每个 \(E^i\) 可以唯一地（在同构意义下）分解为：

\[E^i \cong \bigoplus_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R)} E(R/\mathfrak{p})^{\left(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\right)}. \]

这里，指数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 表示直和项的个数（即重数）。换句话说，Bass 数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 精确地告诉我们，在 \(M\) 的极小内射分解的第 \(i\) 项 \(E^i\) 中，与素理想 \(\mathfrak{p}\) 对应的不可分解内射模 \(E(R/\mathfrak{p})\) 出现了多少次。因此，Bass 数完全刻画了模的极小内射分解的结构。

第四步：基本性质与计算

非负性：\(\mu^i(\mathfrak{p}, M) \ge 0\)。
局部性：\(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = \mu^i(\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}, M_{\mathfrak{p}})\)。这表明它是一个局部不变量，计算时通常可以在局部环 \(R_{\mathfrak{p}}\) 中进行。
与深度和维数的关系：对于一个有限生成模 \(M\) 和包含其零化子的素理想 \(\mathfrak{p}\)，有重要的联系：

深度：深度 \(\operatorname{depth}(M_{\mathfrak{p}})\) 是满足 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = 0\) 的最小整数 \(i\)。也就是说，在极小内射分解中，直到深度减一项，都没有 \(E(R/\mathfrak{p})\) 出现。
维数：当 \(i > \dim(M_{\mathfrak{p}})\) 时，通常有 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = 0\)，但更精细的关系与Cohen-Macaulay 性有关。

计算示例：考虑最简单的环——域 \(k\)。此时只有唯一的素理想 \((0)\)。一个 \(k\)-模就是一个 \(k\)-向量空间 \(V\)。它的极小内射分解就是 \(0 \to V \to V \to 0\)。因为 \(k\) 作为 \(k\)-模是内射的（事实上是 \(R/\mathfrak{p}\)），所以 \(\mu^0((0), V) = \dim_k V\)，而其他 \(\mu^i((0), V)=0\)。

第五步：与Gorenstein环和Gorenstein模的联系
Bass 数在现代同调代数中扮演着关键角色，特别是在研究 Gorenstein 环 和 Gorenstein 模 时。一个重要的定理是：一个诺特局部环 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 是 Gorenstein 环，当且仅当它的余分次模（canonical module）存在，并且其 Bass 数满足特别简单的性质：\(\mu^i(\mathfrak{m}, R)\) 在 \(i = \dim R\) 时为 1，否则为 0。更一般地，对于 Gorenstein 投射模或 Gorenstein 内射模，其 Bass 数也满足特定的有限性或对偶性质，这反映了它们具有“有限”同调复杂性的本质。

总结：Bass 数是同调代数中一组重要的数值不变量，它们编码了一个模的极小内射分解的“组成成分”（即不可分解内射模）在各个同调度数上、在各个素理想处的“重数”。它们从内射分解的角度深刻揭示了模的局部结构，并与深度、维数、Cohen-Macaulay 性、Gorenstein 性等核心理论紧密相连。

模的Bass数我们先从一个最基础的情形开始。假设你有一个环 \(R\) 和一个 \(R\)-模 \(M\)。我们知道，研究模的结构时，一个强有力的工具是给它构造一个内射分解。回忆一下，一个内射分解是一个正合序列： \[ 0 \to M \to E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} E^2 \to \cdots \] 其中每个 \(E^i\) 都是内射模。现在，固定 \(R\) 的一个素理想 \(\mathfrak{p}\)。我们知道，对于一个模 \(N\)，可以构造它的局部化 \(N_ {\mathfrak{p}}\)，这是一个在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处局部化的模，也是一个 \(R_ {\mathfrak{p}}\)-模。同时，局部环 \(R_ {\mathfrak{p}}\) 有唯一的极大理想 \(\mathfrak{p}R_ {\mathfrak{p}}\)，其剩余域是 \(k(\mathfrak{p}) = R_ {\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}R_ {\mathfrak{p}}\)。第一步：定义给定模 \(M\) 和整数 \(i \ge 0\)，我们定义 \(M\) 在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处的第 \(i\) 个 Bass 数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 为： \[ \mu^i(\mathfrak{p}, M) = \dim_ {k(\mathfrak{p})} \operatorname{Ext}^i_ {R_ {\mathfrak{p}}}(k(\mathfrak{p}), M_ {\mathfrak{p}}). \] 这里，\(\operatorname{Ext}^i_ {R_ {\mathfrak{p}}}(-,-)\) 是在局部环 \(R_ {\mathfrak{p}}\) 上的 Ext 函子。这个定义可以解读为：将 \(M\) 在 \(\mathfrak{p}\) 处局部化得到 \(M_ {\mathfrak{p}}\)，然后计算 \(R_ {\mathfrak{p}}\)-模 \(k(\mathfrak{p})\) 与 \(M_ {\mathfrak{p}}\) 之间的第 \(i\) 个 Ext 模的向量空间维数（在域 \(k(\mathfrak{p})\) 上）。第二步：为什么它被称为“数”？因为 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 是一个非负整数（或无穷，但常见于有限生成模时它为有限数）。它不依赖于所选取的内射分解的具体形式，是 \(M\) 和 \(\mathfrak{p}\) 的一个不变量。直观上，它度量了在“点” \(\mathfrak{p}\) 处，模 \(M\) 的“内射复杂性”在第 \(i\) 个层次的某种“秩”或“重数”。第三步：与极小内射分解的联系这是 Bass 数的核心解释。一个极小内射分解是一种特殊的内射分解，其中每个内射模 \(E^i\) 都分解为不可分解内射模的直和。在诺特环上，不可分解内射模与素理想一一对应：具体来说，对于每个素理想 \(\mathfrak{p}\)，存在一个唯一的（在同构意义下）不可分解内射模 \(E(R/\mathfrak{p})\)，它在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处是“支撑”的。更重要的是，在极小内射分解 \[ 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to E^2 \to \cdots \] 中，每个 \(E^i\) 可以唯一地（在同构意义下）分解为： \[ E^i \cong \bigoplus_ {\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R)} E(R/\mathfrak{p})^{\left(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\right)}. \] 这里，指数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 表示直和项的个数（即重数）。换句话说，Bass 数 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M)\) 精确地告诉我们，在 \(M\) 的极小内射分解的第 \(i\) 项 \(E^i\) 中，与素理想 \(\mathfrak{p}\) 对应的不可分解内射模 \(E(R/\mathfrak{p})\) 出现了多少次。因此，Bass 数完全刻画了模的极小内射分解的结构。第四步：基本性质与计算非负性：\(\mu^i(\mathfrak{p}, M) \ge 0\)。局部性：\(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = \mu^i(\mathfrak{p}R_ {\mathfrak{p}}, M_ {\mathfrak{p}})\)。这表明它是一个局部不变量，计算时通常可以在局部环 \(R_ {\mathfrak{p}}\) 中进行。与深度和维数的关系：对于一个有限生成模 \(M\) 和包含其零化子的素理想 \(\mathfrak{p}\)，有重要的联系：深度：深度 \(\operatorname{depth}(M_ {\mathfrak{p}})\) 是满足 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = 0\) 的最小整数 \(i\)。也就是说，在极小内射分解中，直到深度减一项，都没有 \(E(R/\mathfrak{p})\) 出现。维数：当 \(i > \dim(M_ {\mathfrak{p}})\) 时，通常有 \(\mu^i(\mathfrak{p}, M) = 0\)，但更精细的关系与 Cohen-Macaulay 性有关。计算示例：考虑最简单的环——域 \(k\)。此时只有唯一的素理想 \((0)\)。一个 \(k\)-模就是一个 \(k\)-向量空间 \(V\)。它的极小内射分解就是 \(0 \to V \to V \to 0\)。因为 \(k\) 作为 \(k\)-模是内射的（事实上是 \(R/\mathfrak{p}\)），所以 \(\mu^0((0), V) = \dim_ k V\)，而其他 \(\mu^i((0), V)=0\)。第五步：与Gorenstein环和Gorenstein模的联系 Bass 数在现代同调代数中扮演着关键角色，特别是在研究 Gorenstein 环和 Gorenstein 模时。一个重要的定理是：一个诺特局部环 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 是 Gorenstein 环，当且仅当它的余分次模（canonical module）存在，并且其 Bass 数满足特别简单的性质：\(\mu^i(\mathfrak{m}, R)\) 在 \(i = \dim R\) 时为 1，否则为 0。更一般地，对于 Gorenstein 投射模或 Gorenstein 内射模，其 Bass 数也满足特定的有限性或对偶性质，这反映了它们具有“有限”同调复杂性的本质。总结：Bass 数是同调代数中一组重要的数值不变量，它们编码了一个模的极小内射分解的“组成成分”（即不可分解内射模）在各个同调度数上、在各个素理想处的“重数”。它们从内射分解的角度深刻揭示了模的局部结构，并与深度、维数、Cohen-Macaulay 性、Gorenstein 性等核心理论紧密相连。