这个定义非常一般化。在实际应用中，有一个更常用且等价的判别方法，它只关心一种特殊类型的集合的原像：

可测函数 我们先从实变函数论中最基本的一个概念开始： 可测函数 。为了理解它，我们需要先了解它的“舞台”—— 可测空间 。 基础：σ-代数 想象一下，我们有一个非空集合 \( X \)（比如实数集 \( \mathbb{R} \)）。我们关心的是 \( X \) 中哪些子集是“可测量”的。所有这些“可测量”的子集放在一起，构成一个集合族（即集合的集合），记作 \( \Sigma \)。为了让这个“可测量”的概念在数学上严谨且有用，\( \Sigma \) 必须满足以下三个条件： \( X \) 本身是可测的，即 \( X \in \Sigma \)。 如果一个集合是可测的，那么它的补集也是可测的。即，如果 \( A \in \Sigma \)，则 \( A^c = X \setminus A \in \Sigma \)。 可数个可测集合的并集也是可测的。即，如果 \( A_ 1, A_ 2, A_ 3, ... \in \Sigma \)，则 \( \bigcup_ {n=1}^{\infty} A_ n \in \Sigma \)。 一个满足以上条件的集合族 \( \Sigma \) 就称为 \( X \) 上的一个 σ-代数 。而二元组 \( (X, \Sigma) \) 就构成了一个 可测空间 。可测空间中的集合 \( A \in \Sigma \) 就称为 可测集 。 核心定义：可测函数 现在，我们引入函数。设 \( (X, \Sigma) \) 是一个可测空间，\( E \) 是 \( X \) 中的一个可测子集（即 \( E \in \Sigma \)），\( f \) 是定义在 \( E \) 上的扩展实值函数（函数值可以取 \( +\infty \) 或 \( -\infty \)）。 我们称函数 \( f \) 是 可测函数 ，如果对于实数轴 \( \mathbb{R} \) 上的任意一个博雷尔集 \( B \)（你可以先简单理解为任意一个开区间、闭区间，或者由它们经过可数次并、交、补运算得到的集合），它的原像 \( f^{-1}(B) \) 都是 \( E \) 中的可测集。即： \[ \forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \quad f^{-1}(B) = \{ x \in E : f(x) \in B \} \in \Sigma \] 这个定义非常一般化。在实际应用中，有一个更常用且等价的判别方法，它只关心一种特殊类型的集合的原像： 实用的判别准则 函数 \( f \) 是可测的， 当且仅当 ，对于任意实数 \( c \)，集合 \( \{ x \in E : f(x) > c \} \) 是一个可测集。 也就是说，你不需要检查所有博雷尔集的原像，只需要检查所有形如 \( (c, +\infty) \) 的区间的原像是否可测即可。这是判断函数可测性最常用的工具。 一个具体的例子：勒贝格可测函数 在实分析中，最常遇到的可测空间是配备了 勒贝格σ-代数 的实数集 \( \mathbb{R} \)。 \( X = \mathbb{R} \)。 \( \Sigma = \mathcal{L} \)，即所有勒贝格可测集构成的σ-代数（它包含了所有的开集、闭集、可数集，以及更多复杂的集合，但排除了像维塔利集那样的不可测集）。 在这个背景下，定义在可测集 \( E \subset \mathbb{R} \) 上的函数 \( f \) 如果满足上述可测函数的定义，就称为 勒贝格可测函数 。例如： 连续函数 都是勒贝格可测的。因为对于任意 \( c \)，\( \{ x : f(x) > c \} \) 是一个开集，而开集都是勒贝格可测的。 单调函数 都是勒贝格可测的。因为 \( \{ x : f(x) > c \} \) 会是一个区间（可能开、可能闭、可能半开半闭），而区间都是可测的。 狄利克雷函数 （在有理点取值为1，无理点取值为0）也是勒贝格可测的。因为 \( \{ x : f(x) > c \} \) 根据 \( c \) 的取值，要么是空集，要么是有理数集，要么是整个定义域。而有理数集是可数的，因而是零测集，属于勒贝格可测集。 可测函数的重要性 可测函数是实变函数论的基石。它的核心重要性在于： 可测函数是进行勒贝格积分的前提 。我们只能对可测函数定义勒贝格积分。可测性保证了函数在分割值域时，定义域被分割成的那些集合都是“有良好定义”的（即可测的），从而我们可以安全地谈论它们的“测度”（长度、面积、体积的推广），进而构造积分和。不可测的函数无法进行勒贝格积分。