群论

群论是研究代数结构"群"的数学分支。我们先从最基础的概念开始。

1. 代数运算
   在一个集合中，如果有一种规则，使得集合中任意两个元素按照这个规则组合，结果仍然在这个集合中，这种规则称为该集合的一个代数运算。例如，整数的加法就是整数集的一个代数运算。

2. 群的定义
   一个群是一个集合G，连同其上的一个代数运算"·"（通常称为"乘法"，但可以代表加法、乘法或其他运算），满足以下四条公理：

• 封闭性：对于G中任意两个元素a和b，运算结果a·b仍然在G中。
• 结合律：对于G中任意三个元素a, b, c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
• 单位元存在性：G中存在一个特殊的元素e，使得对于G中任意元素a，都有e·a = a·e = a。元素e称为群的单位元。
• 逆元存在性：对于G中任意元素a，都存在一个元素b在G中，使得a·b = b·a = e。元素b称为a的逆元，通常记为a⁻¹。

3. 群的例子

• 整数加法群：所有整数构成的集合，运算为普通的加法。单位元是0，任意整数a的逆元是-a。
• 非零实数乘法群：所有非零实数构成的集合，运算为普通的乘法。单位元是1，任意非零实数a的逆元是1/a。

4. 阿贝尔群
   如果一个群G的运算还满足交换律，即对于G中任意元素a和b，都有a·b = b·a，那么这个群就称为阿贝尔群（或交换群）。上面提到的整数加法群和非零实数乘法群都是阿贝尔群。

5. 子群
   如果一个群G的非空子集H，本身对于G的运算也构成一个群，那么H就称为G的子群。例如，所有偶数构成的集合是整数加法群的一个子群。

6. 群的阶与元素的阶

• 群的阶：一个群包含的元素的个数称为群的阶。如果群包含无限个元素，则称为无限群。
• 元素的阶：对于一个群元素a，使得aⁿ = e（e是单位元）的最小正整数n称为元素a的阶。如果不存在这样的n，则称a的阶是无限的。

7. 群同态与群同构
   这是比较两个群结构的重要概念。

• 群同态：设有两个群(G, ·)和(H, )。如果一个映射f: G → H能保持群运算，即对G中任意a, b，有f(a·b) = f(a) f(b)，则f称为从G到H的一个群同态。
• 群同构：如果群同态f还是一个双射（既单射又满射），则称f是一个群同构。此时称群G和群H是同构的，意味着它们具有完全相同的代数结构。

群论是现代数学的基石之一，它在物理学（如晶体学、粒子物理）、化学、密码学等多个领域有极其广泛的应用。