量子力学中的Gutzwiller变分法

字数 3361 2025-12-09 00:53:46

量子力学中的Gutzwiller变分法

我们先从一个直观的物理问题开始，然后逐步引入所需的数学工具，最终阐释这个方法的核心思想、方程和意义。

第一步：问题的起源——强关联电子系统
在凝聚态物理中，有一类重要问题：当材料中的电子间库仑排斥力非常强时，会表现出奇特的物理性质，比如莫特绝缘体、高温超导等。传统的能带理论（认为电子独立运动）在此完全失效。如何描述这种“强关联”电子系统，是一个根本性挑战。一种重要的模型是哈伯德模型，其哈密顿量为：

\[\hat{H} = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} (c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_i n_{i\uparrow} n_{i\downarrow} \]

其中 \(t\) 是电子跳跃能，\(U\) 是同一格点（位点 \(i\)）上自旋相反的两个电子的排斥能。当 \(U/t \gg 1\) 时，系统成为莫特绝缘体：每个格点倾向于占据一个电子，强烈的排斥使得电子难以移动，从而绝缘。处理这个巨大的 \(U\) 项是理论上的核心困难。

第二步：Gutzwiller的物理直觉（1963-1965）
物理学家马丁·古茨维勒提出一个简洁而深刻的变分思路。在强关联极限下，双占据（一个格点有两个电子）是能量上极为不利的构型。那么，一个自然的尝试是：从无关联的基态出发，通过一个“投影算符”来压制这些高能的双占据构型，从而得到一个强关联下的试探波函数。

起点：取无相互作用 (\(U=0\)) 时的基态 \(|\Psi_0\rangle\)，即布洛赫电子填充的费米海。这个态包含大量的双占据格点。
核心构造：引入古茨维勒试探波函数：

\[ |\Psi_G\rangle = \hat{P}_G |\Psi_0\rangle \]

其中投影算符 \(\hat{P}_G\) 的形式为：

\[ \hat{P}_G = \prod_i \hat{P}_i = \prod_i [1 - (1-\eta) \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}] \]

这里，\(\eta\) 是一个介于0和1之间的变分参数。\(\hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}\) 是双占据数算符。

第三步：深入理解投影算符
让我们拆解这个算符的作用：

\(\hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow} | \text{态} \rangle\)：只有当格点 \(i\) 被自旋向上和向下电子同时占据时，结果为1，否则为0。
因此，\(\hat{P}_i = 1 - (1-\eta) \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}\) 作用于一个量子态时：

如果格点 \(i\) 是双占据，算符作用结果为 \(\eta\) 乘以原态。
如果格点 \(i\) 是单占据或空占据，算符作用结果为1，即不改变原态。

所以，变分参数 \(\eta\) 的物理意义是“双占据振幅的压制因子”。当 \(\eta = 1\) 时，\(\hat{P}_G = 1\)，没有投影，回到无相互作用态。当 \(\eta = 0\) 时，\(\hat{P}_G\) 将任何双占据构型的振幅设为零，即完全禁止双占据。通过优化 \(\eta\)，我们可以在动能降低（允许一些电子跳跃）和势能升高（避免双占据）之间取得最佳平衡。

第四步：变分原理与计算挑战
根据量子力学变分原理，系统基态能量的上界由试探波函数的期望值给出：

\[E_G = \frac{\langle \Psi_G | \hat{H} | \Psi_G \rangle}{\langle \Psi_G | \Psi_G \rangle} \ge E_{\text{true}} \]

我们需要计算 \(E_G\) 并将其关于 \(\eta\) 最小化。然而，直接计算这个期望值极其困难，因为投影算符 \(\hat{P}_G\) 作用于多体波函数后，态之间的相关性变得非常复杂。

第五步：核心近似——古茨维勒近似
为了进行解析计算，古茨维勒引入了一个关键近似。这个近似基于无约束的、平均场的统计考虑，其核心思想是：在计算 \(|\Psi_G\rangle\) 中各种构型（电子数分布）的权重时，假设不同格点上的占据事件是统计独立的。这实质上是一种“平均场”处理，忽略了格点间占据数涨落的关联。

在此近似下，物理量的期望值（如动能、势能、电子密度）可以表达为变分参数 \(\eta\) 和 \(|\Psi_0\rangle\) 中对应平均值（称为“无关联量”）的函数。例如：

双占据数期望：\(\langle \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow} \rangle_G \approx \eta^2 \, d_0\)，其中 \(d_0 = \langle \hat{n}_{i\uparrow} \rangle_0 \langle \hat{n}_{i\downarrow} \rangle_0\) 是无关联态中的双占据概率。
动能项期望：\(\langle c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} \rangle_G \approx g_t \, \langle c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} \rangle_0\)，其中 \(g_t\) 是一个依赖于 \(\eta\) 和电子密度的“权重因子”或“跳跃重正化因子”，其表达式 \(g_t\) 是近似计算的核心结果之一，它反映了由于投影导致的电子跳跃振幅的有效减小。

第六步：变分能量与物理图像
在古茨维勒近似下，哈伯德模型的变分能量可以写成：

\[E_G \approx g_t (\eta) \, E_{\text{kin}}^0 + U \, D(\eta) \]

这里 \(E_{\text{kin}}^0\) 是无关联基态 \(|\Psi_0\rangle\) 的动能，\(D(\eta)\) 是双占据数的期望值（正比于 \(\eta^2\)）。函数 \(g_t(\eta)\) 是单调递增的，\(\eta\) 越小（投影越强），\(g_t\) 越小。因此：

第一项（重正化动能）随 \(\eta\) 减小而减小（能量不利）。
第二项（排斥势能）随 \(\eta\) 减小而减小（能量有利）。
通过对总能量 \(E_G(\eta)\) 求极小，可以得到最优的 \(\eta^*\)。

第七步：结果与意义

金属-绝缘体转变：当 \(U\) 较小时，最优的 \(\eta^*\) 接近1，系统表现为重正化质量增强的金属（关联金属）。当 \(U\) 超过某个临界值 \(U_c\) 时，优化会导致 \(\eta^* \to 0\)，同时跳跃重正化因子 \(g_t \to 0\)。这意味着电子的有效质量发散，准粒子权重为零，系统变为莫特绝缘体。这一图像定性地描述了布林克曼-赖斯转变。
方法的地位：古茨维勒变分法是一种基于变分波函数的平均场理论。它物理图像清晰，率先为强关联电子的金属-绝缘体转变提供了一个自洽的微观描述框架。它后来被更精确的动力学平均场理论所发展和包含，但其变分波函数思想仍然是处理强关联问题的基石之一，并被广泛用于数值计算（如变分蒙特卡洛方法）的试探波函数构造中。

总结：量子力学中的Gutzwiller变分法，是一种通过引入含变分参数的投影算符来构造强关联多体系统试探波函数，并辅以统计独立近似（古茨维勒近似）来估算能量、进而研究系统基态性质的解析变分方法。它成功刻画了强关联电子系统中动能与排斥能的竞争，以及由此产生的金属-绝缘体转变。

量子力学中的Gutzwiller变分法我们先从一个直观的物理问题开始，然后逐步引入所需的数学工具，最终阐释这个方法的核心思想、方程和意义。第一步：问题的起源——强关联电子系统在凝聚态物理中，有一类重要问题：当材料中的电子间库仑排斥力非常强时，会表现出奇特的物理性质，比如莫特绝缘体、高温超导等。传统的能带理论（认为电子独立运动）在此完全失效。如何描述这种“强关联”电子系统，是一个根本性挑战。一种重要的模型是哈伯德模型，其哈密顿量为： \[ \hat{H} = -t \sum_ {\langle i,j \rangle, \sigma} (c_ {i\sigma}^\dagger c_ {j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_ i n_ {i\uparrow} n_ {i\downarrow} \] 其中 \(t\) 是电子跳跃能，\(U\) 是同一格点（位点 \(i\)）上自旋相反的两个电子的排斥能。当 \(U/t \gg 1\) 时，系统成为莫特绝缘体：每个格点倾向于占据一个电子，强烈的排斥使得电子难以移动，从而绝缘。处理这个巨大的 \(U\) 项是理论上的核心困难。第二步：Gutzwiller的物理直觉（1963-1965）物理学家马丁·古茨维勒提出一个简洁而深刻的变分思路。在强关联极限下，双占据（一个格点有两个电子）是能量上极为不利的构型。那么，一个自然的尝试是：从无关联的基态出发，通过一个“投影算符”来压制这些高能的双占据构型，从而得到一个强关联下的试探波函数。起点：取无相互作用 (\(U=0\)) 时的基态 \(|\Psi_ 0\rangle\)，即布洛赫电子填充的费米海。这个态包含大量的双占据格点。核心构造：引入古茨维勒试探波函数： \[ |\Psi_ G\rangle = \hat{P} G |\Psi_ 0\rangle \] 其中投影算符 \(\hat{P} G\) 的形式为： \[ \hat{P} G = \prod_ i \hat{P} i = \prod_ i [ 1 - (1-\eta) \hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} ] \] 这里，\(\eta\) 是一个介于0和1之间的变分参数。\(\hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow}\) 是双占据数算符。第三步：深入理解投影算符让我们拆解这个算符的作用： \(\hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} | \text{态} \rangle\)：只有当格点 \(i\) 被自旋向上和向下电子同时占据时，结果为1，否则为0。因此，\(\hat{P} i = 1 - (1-\eta) \hat{n} {i\uparrow} \hat{n}_ {i\downarrow}\) 作用于一个量子态时：如果格点 \(i\) 是双占据，算符作用结果为 \(\eta\) 乘以原态。如果格点 \(i\) 是单占据或空占据，算符作用结果为1，即不改变原态。所以，变分参数 \(\eta\) 的物理意义是“双占据振幅的压制因子” 。当 \(\eta = 1\) 时，\(\hat{P}_ G = 1\)，没有投影，回到无相互作用态。当 \(\eta = 0\) 时，\(\hat{P}_ G\) 将任何双占据构型的振幅设为零，即完全禁止双占据。通过优化 \(\eta\)，我们可以在动能降低（允许一些电子跳跃）和势能升高（避免双占据）之间取得最佳平衡。第四步：变分原理与计算挑战根据量子力学变分原理，系统基态能量的上界由试探波函数的期望值给出： \[ E_ G = \frac{\langle \Psi_ G | \hat{H} | \Psi_ G \rangle}{\langle \Psi_ G | \Psi_ G \rangle} \ge E_ {\text{true}} \] 我们需要计算 \(E_ G\) 并将其关于 \(\eta\) 最小化。然而，直接计算这个期望值极其困难，因为投影算符 \(\hat{P}_ G\) 作用于多体波函数后，态之间的相关性变得非常复杂。第五步：核心近似——古茨维勒近似为了进行解析计算，古茨维勒引入了一个关键近似。这个近似基于无约束的、平均场的统计考虑，其核心思想是：在计算 \(|\Psi_ G\rangle\) 中各种构型（电子数分布）的权重时，假设不同格点上的占据事件是统计独立的。这实质上是一种“平均场”处理，忽略了格点间占据数涨落的关联。在此近似下，物理量的期望值（如动能、势能、电子密度）可以表达为变分参数 \(\eta\) 和 \(|\Psi_ 0\rangle\) 中对应平均值（称为“无关联量”）的函数。例如：双占据数期望：\(\langle \hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} \rangle_ G \approx \eta^2 \, d_ 0\)，其中 \(d_ 0 = \langle \hat{n} {i\uparrow} \rangle_ 0 \langle \hat{n} {i\downarrow} \rangle_ 0\) 是无关联态中的双占据概率。动能项期望：\(\langle c_ {i\sigma}^\dagger c_ {j\sigma} \rangle_ G \approx g_ t \, \langle c_ {i\sigma}^\dagger c_ {j\sigma} \rangle_ 0\)，其中 \(g_ t\) 是一个依赖于 \(\eta\) 和电子密度的“权重因子”或“跳跃重正化因子”，其表达式 \(g_ t\) 是近似计算的核心结果之一，它反映了由于投影导致的电子跳跃振幅的有效减小。第六步：变分能量与物理图像在古茨维勒近似下，哈伯德模型的变分能量可以写成： \[ E_ G \approx g_ t (\eta) \, E_ {\text{kin}}^0 + U \, D(\eta) \] 这里 \(E_ {\text{kin}}^0\) 是无关联基态 \(|\Psi_ 0\rangle\) 的动能，\(D(\eta)\) 是双占据数的期望值（正比于 \(\eta^2\)）。函数 \(g_ t(\eta)\) 是单调递增的，\(\eta\) 越小（投影越强），\(g_ t\) 越小。因此：第一项（重正化动能）随 \(\eta\) 减小而减小（能量不利）。第二项（排斥势能）随 \(\eta\) 减小而减小（能量有利）。通过对总能量 \(E_ G(\eta)\) 求极小，可以得到最优的 \(\eta^* \)。第七步：结果与意义金属-绝缘体转变：当 \(U\) 较小时，最优的 \(\eta^ \) 接近1，系统表现为重正化质量增强的金属（关联金属）。当 \(U\) 超过某个临界值 \(U_ c\) 时，优化会导致 \(\eta^ \to 0\)，同时跳跃重正化因子 \(g_ t \to 0\)。这意味着电子的有效质量发散，准粒子权重为零，系统变为莫特绝缘体。这一图像定性地描述了布林克曼-赖斯转变。方法的地位：古茨维勒变分法是一种基于变分波函数的平均场理论。它物理图像清晰，率先为强关联电子的金属-绝缘体转变提供了一个自洽的微观描述框架。它后来被更精确的动力学平均场理论所发展和包含，但其变分波函数思想仍然是处理强关联问题的基石之一，并被广泛用于数值计算（如变分蒙特卡洛方法）的试探波函数构造中。总结：量子力学中的 Gutzwiller变分法，是一种通过引入含变分参数的投影算符来构造强关联多体系统试探波函数，并辅以统计独立近似（古茨维勒近似）来估算能量、进而研究系统基态性质的解析变分方法。它成功刻画了强关联电子系统中动能与排斥能的竞争，以及由此产生的金属-绝缘体转变。