哈尔测度的存在性证明概要
字数 2452 2025-12-09 00:13:43

哈尔测度的存在性证明概要

下面我将循序渐进地讲解哈尔测度存在性证明的核心思路与关键步骤。哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的、在群作用下不变的（左不变或右不变）正则博雷尔测度。其存在性证明是调和分析与拓扑群理论中的基石。

第一步：从问题表述到基本框架

  1. 设 \(G\) 是一个局部紧豪斯多夫拓扑群。我们的目标是构造一个非零的、左不变的、正则的博雷尔测度 \(\lambda\)，即对任意 \(g \in G\) 和任意博雷尔集 \(B\)，满足 \(\lambda(gB) = \lambda(B)\)，并且 \(\lambda\) 在紧集上取有限值。
  2. 证明的核心思想是：先在“足够多”的集合上定义一个满足不变性的“容度”或“拟测度”，再通过扩展定理将其变为测度。常用方法是利用“线性泛函”的构造。

第二步：在连续紧支集函数空间上构造不变正线性泛函

  1. 令 \(C_c(G)\) 表示 \(G\) 上所有实值连续函数且具有紧支集的函数构成的向量空间。我们希望在 \(C_c(G)\) 上定义一个左不变的正线性泛函 \(I\)，即对任意 \(f \in C_c(G)\) 和 \(g \in G\)，满足 \(I(f) = I( {}_g f )\)，其中 \({}_g f(x) := f(g^{-1}x)\) 是左平移。
  2. 证明的关键工具是“覆盖引理”和“逼近论证”。常见方法始于 Cartan-Dieudonné-Weil 的近似单位元法 或 Kakutani 的固定点定理法。这里概述一种基于函数“容度”的构造：
    • 先固定一个非零的参考函数 \(f_0 \in C_c(G)\)，且 \(f_0 \geq 0\)。
    • 对任意 \(f, \phi \in C_c(G)\) 且 \(\phi \geq 0\)，考虑所有有限覆盖 \(\{ (c_i, g_i) \}\) 使得 \(f(x) \leq \sum_i c_i \, \phi(g_i^{-1}x)\) 对一切 \(x\) 成立。定义比值 \((f:\phi)\) 为所有这样的和 \(\sum_i c_i\) 的下确界。
    • 可以证明 \((f:\phi)\) 具有次可加性和正齐次性，并且左不变性自动满足： \(({}_g f : \phi) = (f:\phi)\)。
  3. 通过比较两个参考函数，证明当 \(\phi_1, \phi_2\) 都非零时，比值 \((f:\phi_1) / (f_0:\phi_1)\) 和 \((f:\phi_2) / (f_0:\phi_2)\) 的差异可以被控制。这允许我们取极限（沿某种滤子）或通过取上确界/下确界来得到一个不依赖于 \(\phi\) 的量。

第三步：构造不变积分

  1. 对每个固定的非零 \(\phi \geq 0\)，考虑泛函 \(f \mapsto (f:\phi)\)。通过标准化（除以 \((f_0:\phi)\) 并取极限或上下确界），可以证明存在一个正线性泛函 \(I\) 满足：
    • \(I(f) = \lim_{\phi} (f:\phi)/(f_0:\phi)\)（在某种意义下）。
    • 左不变性： \(I({}_g f) = I(f)\)。
    • 正性：若 \(f \geq 0\) 则 \(I(f) \geq 0\)，且 \(I(f_0)=1\)。
  2. 具体构造的一种经典方法（见于 Weil 或 Hewitt & Ross 的著作）是定义：

\[ I(f) = \sup_{\phi \neq 0} \frac{ (f:\phi) }{ (f_0:\phi) } \]

或利用上下极限的某种平均。需要验证线性，这依赖于对 \((f:\phi)\) 的次可加性和齐次性的精细估计。

第四步：从线性泛函到测度

  1. 根据 里斯表示定理（其局部紧豪斯多夫空间版本），在 \(C_c(G)\) 上的任何正线性泛函 \(I\) 对应一个唯一的正则博雷尔测度 \(\lambda\)，使得

\[ I(f) = \int_G f \, d\lambda, \quad \forall f \in C_c(G). \]

  1. 由于 \(I\) 是左不变的，对任意 \(g \in G\) 和任意 \(f \in C_c(G)\)，有

\[ \int_G f(g^{-1}x) \, d\lambda(x) = \int_G f(x) \, d\lambda(x). \]

由里斯表示定理的唯一性，这推出对任意博雷尔集 \(B\)，\(\lambda(gB) = \lambda(B)\)，即 \(\lambda\) 是左不变的哈尔测度。
3. 正则性（内正则于紧集、外正则于开集）由里斯表示定理直接保证。

第五步：唯一性（至多差一个正数因子）

  1. 哈尔测度的唯一性（在正数倍意义下）是证明的另一部分，但常与存在性分开讨论。简要思路：若 \(\lambda\) 和 \(\lambda'\) 是两个左不变正则博雷尔测度，则通过证明对任意 \(f \in C_c(G)\)，比值 \(\int f \, d\lambda / \int f \, d\lambda'\) 是常数（不依赖于 \(f\)），可推出 \(\lambda = c \lambda'\) 对某个常数 \(c>0\)。这通常利用“卷积”或对偶性论证。

总结：
哈尔测度存在性证明的核心是：在连续紧支集函数空间上，通过函数间的覆盖和比值构造出一个左不变的正线性泛函，再利用里斯表示定理将其转换为测度。这个构造非初等，但揭示了拓扑群的对称性如何“刚性”地确定了一种积分。

哈尔测度的存在性证明概要 下面我将循序渐进地讲解哈尔测度存在性证明的核心思路与关键步骤。哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的、在群作用下不变的（左不变或右不变）正则博雷尔测度。其存在性证明是调和分析与拓扑群理论中的基石。 第一步：从问题表述到基本框架 设 \( G \) 是一个局部紧豪斯多夫拓扑群。我们的目标是构造一个非零的、左不变的、正则的博雷尔测度 \( \lambda \)，即对任意 \( g \in G \) 和任意博雷尔集 \( B \)，满足 \( \lambda(gB) = \lambda(B) \)，并且 \( \lambda \) 在紧集上取有限值。 证明的核心思想是：先在“足够多”的集合上定义一个满足不变性的“容度”或“拟测度”，再通过扩展定理将其变为测度。常用方法是利用“线性泛函”的构造。 第二步：在连续紧支集函数空间上构造不变正线性泛函 令 \( C_ c(G) \) 表示 \( G \) 上所有实值连续函数且具有紧支集的函数构成的向量空间。我们希望在 \( C_ c(G) \) 上定义一个左不变的正线性泛函 \( I \)，即对任意 \( f \in C_ c(G) \) 和 \( g \in G \)，满足 \( I(f) = I( {}_ g f ) \)，其中 \( {}_ g f(x) := f(g^{-1}x) \) 是左平移。 证明的关键工具是“覆盖引理”和“逼近论证”。常见方法始于 Cartan-Dieudonné-Weil 的近似单位元法 或 Kakutani 的固定点定理法 。这里概述一种基于函数“容度”的构造： 先固定一个非零的参考函数 \( f_ 0 \in C_ c(G) \)，且 \( f_ 0 \geq 0 \)。 对任意 \( f, \phi \in C_ c(G) \) 且 \( \phi \geq 0 \)，考虑所有有限覆盖 \(\{ (c_ i, g_ i) \}\) 使得 \( f(x) \leq \sum_ i c_ i \, \phi(g_ i^{-1}x) \) 对一切 \( x \) 成立。定义比值 \( (f:\phi) \) 为所有这样的和 \( \sum_ i c_ i \) 的下确界。 可以证明 \( (f:\phi) \) 具有次可加性和正齐次性，并且左不变性自动满足： \( ({}_ g f : \phi) = (f:\phi) \)。 通过比较两个参考函数，证明当 \( \phi_ 1, \phi_ 2 \) 都非零时，比值 \( (f:\phi_ 1) / (f_ 0:\phi_ 1) \) 和 \( (f:\phi_ 2) / (f_ 0:\phi_ 2) \) 的差异可以被控制。这允许我们取极限（沿某种滤子）或通过取上确界/下确界来得到一个不依赖于 \( \phi \) 的量。 第三步：构造不变积分 对每个固定的非零 \( \phi \geq 0 \)，考虑泛函 \( f \mapsto (f:\phi) \)。通过标准化（除以 \( (f_ 0:\phi) \) 并取极限或上下确界），可以证明存在一个正线性泛函 \( I \) 满足： \( I(f) = \lim_ {\phi} (f:\phi)/(f_ 0:\phi) \)（在某种意义下）。 左不变性： \( I({}_ g f) = I(f) \)。 正性：若 \( f \geq 0 \) 则 \( I(f) \geq 0 \)，且 \( I(f_ 0)=1 \)。 具体构造的一种经典方法（见于 Weil 或 Hewitt & Ross 的著作）是定义： \[ I(f) = \sup_ {\phi \neq 0} \frac{ (f:\phi) }{ (f_ 0:\phi) } \] 或利用上下极限的某种平均。需要验证线性，这依赖于对 \( (f:\phi) \) 的次可加性和齐次性的精细估计。 第四步：从线性泛函到测度 根据 里斯表示定理 （其局部紧豪斯多夫空间版本），在 \( C_ c(G) \) 上的任何正线性泛函 \( I \) 对应一个唯一的正则博雷尔测度 \( \lambda \)，使得 \[ I(f) = \int_ G f \, d\lambda, \quad \forall f \in C_ c(G). \] 由于 \( I \) 是左不变的，对任意 \( g \in G \) 和任意 \( f \in C_ c(G) \)，有 \[ \int_ G f(g^{-1}x) \, d\lambda(x) = \int_ G f(x) \, d\lambda(x). \] 由里斯表示定理的唯一性，这推出对任意博雷尔集 \( B \)，\( \lambda(gB) = \lambda(B) \)，即 \( \lambda \) 是左不变的哈尔测度。 正则性（内正则于紧集、外正则于开集）由里斯表示定理直接保证。 第五步：唯一性（至多差一个正数因子） 哈尔测度的唯一性（在正数倍意义下）是证明的另一部分，但常与存在性分开讨论。简要思路：若 \( \lambda \) 和 \( \lambda' \) 是两个左不变正则博雷尔测度，则通过证明对任意 \( f \in C_ c(G) \)，比值 \( \int f \, d\lambda / \int f \, d\lambda' \) 是常数（不依赖于 \( f \)），可推出 \( \lambda = c \lambda' \) 对某个常数 \( c>0 \)。这通常利用“卷积”或对偶性论证。 总结： 哈尔测度存在性证明的核心是：在连续紧支集函数空间上，通过函数间的覆盖和比值构造出一个左不变的正线性泛函，再利用里斯表示定理将其转换为测度。这个构造非初等，但揭示了拓扑群的对称性如何“刚性”地确定了一种积分。