代数基本定理 代数基本定理是代数学中的核心定理之一，其内容为： 任何复系数的非常数多项式方程至少有一个复数根 。等价地，这意味着 n 次复系数多项式恰好有 n 个复数根（重根按重数计算）。下面我们逐步展开讲解。 1. 多项式的定义与背景 多项式 ：形如 \[ P(x) = a_ n x^n + a_ {n-1} x^{n-1} + \cdots + a_ 1 x + a_ 0 \] 的表达式，其中 \(a_ n \neq 0\)，\(n\) 为多项式的次数，系数 \(a_ i\) 为复数。 根（解） ：若 \(P(r) = 0\)，则 \(r\) 是多项式 \(P(x)\) 的根。 在实数范围内，例如 \(x^2 + 1 = 0\) 无实数根，但在复数范围内有根 \(x = \pm i\)。代数基本定理断言： 复数域是代数封闭的 ，即多项式在复数域内总能找到所有根。 2. 定理的两种等价表述 弱形式 ：任意非常数复系数多项式至少有一个复数根。 强形式 ：\(n\) 次复系数多项式可完全分解为 \[ P(x) = a_ n (x - r_ 1)(x - r_ 2)\cdots(x - r_ n) \] 其中 \(r_ 1, \ldots, r_ n\) 为复数（可能重复）。 3. 定理的证明思路（非严格证明） 严格证明需要复分析工具，但核心思想可简述为： 若 \(P(z)\) 无零点（即无根），则函数 \(1/P(z)\) 在整个复平面上解析（全纯）。 通过分析 \(P(z)\) 在无穷远处的行为（当 \(|z| \to \infty\)，\(|P(z)| \to \infty\)），可推出 \(1/P(z)\) 有界。 刘维尔定理（复分析中的定理）指出：全纯且有界的函数必为常数。 矛盾表明 \(P(z)\) 必须有零点。 4. 例子与推论 例子 ： \(P(x) = x^3 - 1\) 的根为 \(1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\)，恰为三个复数根。 推论 ： 实系数多项式的非实根成共轭对出现。 实数域上不可约多项式至多为二次（如 \(x^2 + 1\)）。 5. 历史与应用 最早由高斯在1799年的博士论文中严格证明（此前达朗贝尔、欧拉等曾尝试）。 应用： 多项式因式分解的理论基础。 在控制论、信号处理中用于系统稳定性分析（根的位置决定系统行为）。 推动复分析、代数几何等领域的发展。 通过以上步骤，代数基本定理从定义到内涵、证明思路及意义均已覆盖。下一步可探讨其推广（如多元多项式）或相关概念（如代数闭域）。