二次无理数的连分数展开与周期
字数 3579 2025-12-08 22:15:30

二次无理数的连分数展开与周期

我将为你循序渐进地讲解“二次无理数的连分数展开与周期”这一数论词条。这是一个将代数与分析紧密结合的经典领域。

第一步：基本定义与回顾

首先，让我们明确核心对象。

  • 二次无理数： 是形如 \(\alpha = \frac{a + b\sqrt{d}}{c}\) 的实数，其中 \(a, b, c, d\) 是整数，\(d > 1\) 且不是完全平方数，\(c \neq 0\)，并且 \(\alpha\) 是某个整数系数二次方程（即 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)， \(A \neq 0\)）的根。例如，\(\sqrt{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)（黄金比例）都是二次无理数。
  • （简单）连分数： 任何一个实数 \(x\) 都可以表示为以下形式：

\[ x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}} \]

记为 \([a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]\)。其中 \(a_0\) 是整数，对于 \(i \ge 1\)， \(a_i\) 是正整数，称为部分商。如果从某项开始后面部分商循环出现，则称为循环连分数。

第二步：一个关键定理（拉格朗日定理）

这个领域最核心的定理是：

定理（拉格朗日）： 一个实数是二次无理数，当且仅当它的简单连分数展开是最终循环的（即从某一位开始，部分商序列进入一个循环节）。

“最终循环”意味着，存在一个起始索引 \(k\) 和一个周期长度 \(l > 0\)，使得对于所有足够大的 \(n\)，都有 \(a_{n+l} = a_n\)。我们通常记为：

\[[a_0; a_1, \dots, a_{k-1}, \overline{a_k, a_{k+1}, \dots, a_{k+l-1}}] \]

其中上划线段表示循环节。

第三步：纯循环情形与共轭数

有一种特殊情形需要优先理解：纯循环连分数，即从一开始就循环：\([\,\overline{a_0, a_1, \dots, a_{l-1}}\,]\)。

  • 关键引理（伽罗瓦引理）： 一个二次无理数 \(\alpha > 1\) 具有纯循环连分数展开，当且仅当它的共轭数 \(\alpha’\)（即满足同一个二次方程的另一根）满足 \(-1 < \alpha' < 0\)。
  • 共轭数： 如果 \(\alpha = \frac{P+\sqrt{D}}{Q}\)， 则其共轭数为 \(\alpha’ = \frac{P-\sqrt{D}}{Q}\)。条件 \(-1 < \alpha' < 0\) 意味着这个数是一个介于 -1 和 0 之间的负小数。满足此条件的二次无理数称为既约二次无理数。

第四步：循环连分数的结构推导

现在，我们来理解为什么二次无理数的连分数是循环的。核心在于其展开的递推过程。

给定一个二次无理数 \(\alpha_0 = \alpha\)， 其简单连分数展开可以通过以下算法生成：

  1. 令 \(a_0 = \lfloor \alpha_0 \rfloor\)（取整）。
  2. 定义 \(\alpha_1 = 1 / (\alpha_0 - a_0)\)。
  3. 对 \(i = 1, 2, 3, \dots\) 重复： \(a_i = \lfloor \alpha_i \rfloor\)， \(\alpha_{i+1} = 1 / (\alpha_i - a_i)\)。
  • 关键点： 可以证明，在展开二次无理数时，每一步得到的 \(\alpha_i\) 都仍然是二次无理数，并且可以写成 \(\alpha_i = \frac{P_i + \sqrt{D}}{Q_i}\) 的形式，其中 \(D\) 是原数的判别式，\(P_i, Q_i\) 是整数，且 \(Q_i\) 整除 \((D - P_i^2)\)。
  • 有限状态性： 由于 \(P_i\) 和 \(Q_i\) 的取值被 \(D\) 所限制（具体有界），在整个递推序列 \((\alpha_i)\) 中，不同的三元组 \((P_i, Q_i, a_i)\) 只有有限多种可能。
  • 抽屉原理： 因为状态有限，而序列无限长，所以必然在某个时刻，状态 \((P_k, Q_k, a_k)\) 会再次出现。从这一刻起，后续的序列就会完全重复之前出现过的模式，从而进入循环。这就证明了循环性。

第五步：一个经典例子：\(\sqrt{2}\)

让我们以 \(\sqrt{2} \approx 1.4142...\) 为例，展示其连分数展开的循环性。

  1. \(\alpha_0 = \sqrt{2}\), \(a_0 = \lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1\)。
  2. \(\alpha_1 = 1 / (\sqrt{2} - 1) = \frac{\sqrt{2}+1}{1}\) （分母有理化）， \(a_1 = \lfloor \sqrt{2}+1 \rfloor = 2\)。
  3. \(\alpha_2 = 1 / ((\sqrt{2}+1) - 2) = 1 / (\sqrt{2} - 1) = \alpha_1\)。

我们发现 \(\alpha_2 = \alpha_1\)， 这意味着从 \(a_1\) 开始，过程将无限重复 \(a_1=2\) 这一步。因此：

\[\sqrt{2} = [1; \overline{2}] = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}} \]

这是一个周期为1的纯循环连分数（注意 \(\sqrt{2} > 1\)， 其共轭 \(-\sqrt{2} \approx -1.414\) 满足 \(-1 < -\sqrt{2} < 0\) 吗？不满足，因为 \(-\sqrt{2} < -1\)。所以它并非既约的纯循环。实际上，\(\sqrt{2}+1\) 才是既约的，其展开是 \([\overline{2}]\)。\(\sqrt{2}\) 的循环是从第二位开始的）。

第六步：周期的性质与佩尔方程

  • 对称性： 对于既约二次无理数（纯循环），其循环节具有中心对称性。例如，\(\sqrt{D}\) 的循环节（去掉第一个整数部分后）形式为 \([a_1, a_2, \dots, a_m]\)， 则 \(a_1 = a_m, a_2 = a_{m-1}, \dots\)。
  • 与佩尔方程的深刻联系： 这是此理论最著名的应用之一。考虑佩尔方程 \(x^2 - D y^2 = \pm 1\)（\(D\) 非平方自然数）。\(\sqrt{D}\) 的连分数展开的循环节长度 \(l\) 与佩尔方程的基本解有直接关系：
  • 设 \(\sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_l}]\)， 其中 \(l\) 是循环节长度。
  • 令 \(p_{k}/q_{k}\) 是第 \(k\) 个渐近分数。
  • 那么，当周期 \(l\) 是偶数时， \((p_{l-1}, q_{l-1})\) 是方程 \(x^2 - D y^2 = -1\) 的基本解（如果可解），而 \((p_{2l-1}, q_{2l-1})\) 是 \(x^2 - D y^2 = 1\) 的基本解。
  • 当周期 \(l\) 是奇数时， \((p_{l-1}, q_{l-1})\) 本身就是 \(x^2 - D y^2 = 1\) 的基本解。

例如，\(\sqrt{2} = [1; \overline{2}]\)， 周期 \(l=1\)（奇数）。第一个渐近分数是 \(1/1\)，第二个是 \(3/2\)。\(p_{1-1}=p_0=1, q_0=1\) 满足 \(1^2 - 2\times1^2 = -1\)。\(p_{2\times1-1}=p_1=3, q_1=2\) 满足 \(3^2 - 2\times2^2 = 1\)， 这确实是最小的佩尔方程解。

总结来说，二次无理数的连分数展开提供了一个统一而优美的框架，将代数数的结构（由二次方程定义）与分析/算术的过程（递推取整）联系起来，其循环性反映了内在的对称性，并直接通向像佩尔方程这样深刻的丢番图问题。

二次无理数的连分数展开与周期 我将为你循序渐进地讲解“二次无理数的连分数展开与周期”这一数论词条。这是一个将代数与分析紧密结合的经典领域。 第一步：基本定义与回顾 首先，让我们明确核心对象。 二次无理数 ： 是形如 \( \alpha = \frac{a + b\sqrt{d}}{c} \) 的实数，其中 \(a, b, c, d\) 是整数，\(d > 1\) 且不是完全平方数，\(c \neq 0\)，并且 \(\alpha\) 是某个整数系数二次方程（即 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)， \(A \neq 0\)）的根。例如，\(\sqrt{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)（黄金比例）都是二次无理数。 （简单）连分数 ： 任何一个实数 \(x\) 都可以表示为以下形式： \[ x = a_ 0 + \cfrac{1}{a_ 1 + \cfrac{1}{a_ 2 + \cfrac{1}{a_ 3 + \ddots}}} \] 记为 \([ a_ 0; a_ 1, a_ 2, a_ 3, \dots]\)。其中 \(a_ 0\) 是整数，对于 \(i \ge 1\)， \(a_ i\) 是 正整数 ，称为部分商。如果从某项开始后面部分商循环出现，则称为 循环连分数 。 第二步：一个关键定理（拉格朗日定理） 这个领域最核心的定理是： 定理（拉格朗日） ： 一个实数是二次无理数， 当且仅当 它的简单连分数展开是 最终循环的 （即从某一位开始，部分商序列进入一个循环节）。 “最终循环” 意味着，存在一个起始索引 \(k\) 和一个周期长度 \(l > 0\)，使得对于所有足够大的 \(n\)，都有 \(a_ {n+l} = a_ n\)。我们通常记为： \[ [ a_ 0; a_ 1, \dots, a_ {k-1}, \overline{a_ k, a_ {k+1}, \dots, a_ {k+l-1}} ] \] 其中上划线段表示循环节。 第三步：纯循环情形与共轭数 有一种特殊情形需要优先理解： 纯循环连分数 ，即从一开始就循环：\([ \,\overline{a_ 0, a_ 1, \dots, a_ {l-1}}\, ]\)。 关键引理（伽罗瓦引理） ： 一个二次无理数 \(\alpha > 1\) 具有纯循环连分数展开， 当且仅当 它的 共轭数 \(\alpha’\)（即满足同一个二次方程的另一根）满足 \(-1 < \alpha' < 0\)。 共轭数 ： 如果 \(\alpha = \frac{P+\sqrt{D}}{Q}\)， 则其共轭数为 \(\alpha’ = \frac{P-\sqrt{D}}{Q}\)。条件 \(-1 < \alpha' < 0\) 意味着这个数是一个介于 -1 和 0 之间的负小数。满足此条件的二次无理数称为 既约二次无理数 。 第四步：循环连分数的结构推导 现在，我们来理解为什么二次无理数的连分数是循环的。核心在于其展开的 递推过程 。 给定一个二次无理数 \(\alpha_ 0 = \alpha\)， 其简单连分数展开可以通过以下算法生成： 令 \(a_ 0 = \lfloor \alpha_ 0 \rfloor\)（取整）。 定义 \(\alpha_ 1 = 1 / (\alpha_ 0 - a_ 0)\)。 对 \(i = 1, 2, 3, \dots\) 重复： \(a_ i = \lfloor \alpha_ i \rfloor\)， \(\alpha_ {i+1} = 1 / (\alpha_ i - a_ i)\)。 关键点： 可以证明，在展开二次无理数时，每一步得到的 \(\alpha_ i\) 都仍然是二次无理数，并且可以写成 \(\alpha_ i = \frac{P_ i + \sqrt{D}}{Q_ i}\) 的形式，其中 \(D\) 是原数的判别式，\(P_ i, Q_ i\) 是整数，且 \(Q_ i\) 整除 \((D - P_ i^2)\)。 有限状态性 ： 由于 \(P_ i\) 和 \(Q_ i\) 的取值被 \(D\) 所限制（具体有界），在整个递推序列 \((\alpha_ i)\) 中，不同的三元组 \((P_ i, Q_ i, a_ i)\) 只有 有限多种 可能。 抽屉原理 ： 因为状态有限，而序列无限长，所以必然在某个时刻，状态 \((P_ k, Q_ k, a_ k)\) 会再次出现。从这一刻起，后续的序列就会完全重复之前出现过的模式，从而进入循环。这就 证明了循环性 。 第五步：一个经典例子：\(\sqrt{2}\) 让我们以 \(\sqrt{2} \approx 1.4142...\) 为例，展示其连分数展开的循环性。 \(\alpha_ 0 = \sqrt{2}\), \(a_ 0 = \lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1\)。 \(\alpha_ 1 = 1 / (\sqrt{2} - 1) = \frac{\sqrt{2}+1}{1}\) （分母有理化）， \(a_ 1 = \lfloor \sqrt{2}+1 \rfloor = 2\)。 \(\alpha_ 2 = 1 / ((\sqrt{2}+1) - 2) = 1 / (\sqrt{2} - 1) = \alpha_ 1\)。 我们发现 \(\alpha_ 2 = \alpha_ 1\)， 这意味着从 \(a_ 1\) 开始，过程将无限重复 \(a_ 1=2\) 这一步。因此： \[ \sqrt{2} = [ 1; \overline{2} ] = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}} \] 这是一个周期为1的纯循环连分数（注意 \(\sqrt{2} > 1\)， 其共轭 \(-\sqrt{2} \approx -1.414\) 满足 \(-1 < -\sqrt{2} < 0\) 吗？不满足，因为 \(-\sqrt{2} < -1\)。所以它并非既约的纯循环。实际上，\(\sqrt{2}+1\) 才是既约的，其展开是 \([ \overline{2} ]\)。\(\sqrt{2}\) 的循环是从第二位开始的）。 第六步：周期的性质与佩尔方程 对称性 ： 对于既约二次无理数（纯循环），其循环节具有中心对称性。例如，\(\sqrt{D}\) 的循环节（去掉第一个整数部分后）形式为 \([ a_ 1, a_ 2, \dots, a_ m]\)， 则 \(a_ 1 = a_ m, a_ 2 = a_ {m-1}, \dots\)。 与佩尔方程的深刻联系 ： 这是此理论最著名的应用之一。考虑佩尔方程 \(x^2 - D y^2 = \pm 1\)（\(D\) 非平方自然数）。\(\sqrt{D}\) 的连分数展开的循环节长度 \(l\) 与佩尔方程的 基本解 有直接关系： 设 \(\sqrt{D} = [ a_ 0; \overline{a_ 1, a_ 2, \dots, a_ l} ]\)， 其中 \(l\) 是循环节长度。 令 \(p_ {k}/q_ {k}\) 是第 \(k\) 个渐近分数。 那么，当周期 \(l\) 是 偶数 时， \((p_ {l-1}, q_ {l-1})\) 是方程 \(x^2 - D y^2 = -1\) 的基本解（如果可解），而 \((p_ {2l-1}, q_ {2l-1})\) 是 \(x^2 - D y^2 = 1\) 的基本解。 当周期 \(l\) 是 奇数 时， \((p_ {l-1}, q_ {l-1})\) 本身就是 \(x^2 - D y^2 = 1\) 的基本解。 例如，\(\sqrt{2} = [ 1; \overline{2}]\)， 周期 \(l=1\)（奇数）。第一个渐近分数是 \(1/1\)，第二个是 \(3/2\)。\(p_ {1-1}=p_ 0=1, q_ 0=1\) 满足 \(1^2 - 2\times1^2 = -1\)。\(p_ {2\times1-1}=p_ 1=3, q_ 1=2\) 满足 \(3^2 - 2\times2^2 = 1\)， 这确实是最小的佩尔方程解。 总结来说， 二次无理数的连分数展开 提供了一个统一而优美的框架，将代数数的结构（由二次方程定义）与分析/算术的过程（递推取整）联系起来，其循环性反映了内在的对称性，并直接通向像佩尔方程这样深刻的丢番图问题。