阿波罗尼奥斯轨迹（Apollonian Loci）
阿波罗尼奥斯轨迹是平面几何中与距离比相关的一类重要点的集合，由古希腊数学家阿波罗尼奥斯首先系统研究。我们从最基础的定义出发，逐步深入其性质和几何意义。
第一步：基本定义
给定平面上两个不重合的固定点 \(A\) 和 \(B\)，以及一个正的常数比 \(k > 0\) 且 \(k \neq 1\)。满足条件：
\[\frac{PA}{PB} = k \]
的点 \(P\) 的轨迹称为一个“阿波罗尼奥斯圆”（也称阿波罗尼奥斯圆）。这个圆是阿波罗尼奥斯轨迹中最典型和基本的一种。其中，\(PA\) 和 \(PB\) 分别表示点 \(P\) 到点 \(A\) 和点 \(B\) 的欧几里得距离。
第二步：推导圆的方程
为了理解其形状，我们在平面上建立直角坐标系。设点 \(A(-c,0)\)，点 \(B(c,0)\) 在 \(x\) 轴上关于原点对称，其中 \(c > 0\)。设动点 \(P(x,y)\)，由距离公式：
\[PA = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \quad PB = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}. \]
代入条件 \(\frac{PA}{PB} = k\)，得到：
\[\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = k \sqrt{(x-c)^2 + y^2}. \]
两边平方（距离非负，此操作等价）：
\[(x+c)^2 + y^2 = k^2 \left[ (x-c)^2 + y^2 \right]. \]
展开并整理：
\[x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = k^2 (x^2 - 2cx + c^2 + y^2). \]
将所有项移到左边：
\[(1 - k^2)x^2 + (1 - k^2)y^2 + 2c(1 + k^2)x + (1 - k^2)c^2 = 0. \]
由于 \(k \neq 1\)，可除以 \(1 - k^2 \neq 0\)：
\[x^2 + y^2 + \frac{2c(1+k^2)}{1-k^2}x + c^2 = 0. \]
这是一个圆的方程。通过配方，可确定其圆心和半径。配方步骤如下：
\[x^2 + \frac{2c(1+k^2)}{1-k^2}x + y^2 = -c^2. \]
对 \(x\) 的项配方：
\[\left( x + \frac{c(1+k^2)}{1-k^2} \right)^2 - \left( \frac{c(1+k^2)}{1-k^2} \right)^2 + y^2 = -c^2. \]
整理得：
\[\left( x + \frac{c(1+k^2)}{1-k^2} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{c(1+k^2)}{1-k^2} \right)^2 - c^2. \]
计算右边：
\[= c^2 \left( \frac{(1+k^2)^2}{(1-k^2)^2} - 1 \right) = c^2 \cdot \frac{(1+k^2)^2 - (1-k^2)^2}{(1-k^2)^2}. \]
分子展开：
\[(1+2k^2+k^4) - (1-2k^2+k^4) = 4k^2. \]
因此半径为：
\[R = \sqrt{ c^2 \cdot \frac{4k^2}{(1-k^2)^2} } = \frac{2c|k|}{|1-k^2|}. \]
圆心坐标为：
\[O\left( -\frac{c(1+k^2)}{1-k^2}, 0 \right). \]
注意：当 \(0 < k < 1\) 时，分母 \(1-k^2 > 0\)，圆心在 \(A\) 和 \(B\) 之间偏左（因坐标为负）；当 \(k > 1\) 时，分母为负，圆心在 \(B\) 右侧。这个圆被称为“阿波罗尼奥斯圆”。
第三步：几何性质与特殊点
- 直径端点：阿波罗尼奥斯圆与直线 \(AB\) 有两个交点，这两个交点在线段 \(AB\) 上或其延长线上。它们满足 \(\frac{PA}{PB} = k\) 且 \(P\) 在直线 \(AB\) 上。可以证明，这两个点是内分点和外分点。具体地，设点 \(C\) 内分 \(AB\) 为 \(AC:CB = k:1\)，点 \(D\) 外分 \(AB\) 满足 \(AD:DB = k:1\)（即 \(A, B, D\) 共线且 \(D\) 在 \(AB\) 延长线上），则 \(C\) 和 \(D\) 是阿波罗尼奥斯圆直径的两个端点。证明可通过距离比直接验证。
- 对称性：阿波罗尼奥斯圆关于直线 \(AB\) 对称，也关于线段 \(AB\) 的垂直平分线对称（因为圆心在 \(AB\) 上）。
- 特殊情况：当 \(k=1\) 时，条件 \(\frac{PA}{PB}=1\) 表示点 \(P\) 到 \(A\) 和 \(B\) 距离相等，轨迹是线段 \(AB\) 的垂直平分线（可视为半径为无穷大的圆）。这就是为什么定义中要求 \(k \neq 1\) 的原因。
第四步：轨迹的扩展——广义阿波罗尼奥斯轨迹
如果考虑更一般的条件，例如到两个点的距离之比是变量，但满足某种函数关系，或者考虑加权距离，则可以定义更复杂的阿波罗尼奥斯轨迹。在经典几何中，通常将满足 \(\frac{PA}{PB} = k\) 的轨迹作为基本模型，但它可以推广到三维空间（此时轨迹是一个球面），甚至可以推广到多个点的情况（例如到三个点距离之比为定值的轨迹）。
第五步：与其他几何概念的联系
- 阿波罗尼奥斯圆与圆的幂：阿波罗尼奥斯圆上任意一点 \(P\) 到其直径端点 \(C\) 和 \(D\) 的视角 \(\angle CPD\) 是直角（因为 \(C\) 和 \(_D\) 是直径端点）。这提供了一种构造阿波罗尼奥斯圆的方法。
- 与调和点列的关系：点 \(C\) 和 \(D\) 调和分割线段 \(AB\)，即满足 \(\frac{AC}{CB} = \frac{AD}{DB}\)。因此，阿波罗尼奥斯圆的直径端点构成了点 \(A\) 和 \(B\) 的调和共轭点对。
- 在复数平面上的表示：条件 \(\frac{|z - z_A|}{|z - z_B|} = k\) 表示一个圆（或直线），这是复平面上的一个重要轨迹。
总结：阿波罗尼奥斯轨迹的核心是“到两定点距离之比为常数”的点的集合，它是一个圆（或直线），具有清晰的几何构造和代数方程。它连接了比例、圆、调和分割等重要几何概念，是几何学中一个优美而基础的结论。