复变函数的全纯函数逼近与龙格定理

字数 3378 2025-12-08 19:57:43

复变函数的全纯函数逼近与龙格定理

1. 问题的起源：用多项式逼近复函数

在实分析中，魏尔斯特拉斯逼近定理告诉我们，闭区间上的任何连续函数都可以用多项式一致逼近。在复变函数论中，一个自然的问题是：在复数域的某个区域（开集）上，一个全纯函数是否也能用多项式来一致逼近？

答案并非总是肯定的。考虑函数 \(f(z) = 1/z\) 在区域 \(D = \{ 0 < |z| < 2 \}\) 上。它在 \(D\) 上是全纯的，但没有任何多项式序列能在 \(D\) 上一致收敛到 \(f(z)\)，因为 \(f\) 在 \(z=0\) 有一个极点，而多项式在整个复平面上是解析的。这个例子表明，区域（定义域）的拓扑性质至关重要。

2. 核心概念：全纯函数的一致逼近

设 \(D\) 是复平面 \(\mathbb{C}\) 中的一个区域，\(f: D \to \mathbb{C}\) 是一个全纯函数。我们说“\(f\) 在 \(D\) 上可以用多项式一致逼近”是指：对于任意紧子集 \(K \subset D\) 和任意 \(\epsilon > 0\)，都存在一个多项式 \(P(z)\)，使得

\[\sup_{z \in K} |f(z) - P(z)| < \epsilon. \]

这意味着，在 \(D\) 内的任何一个“有界闭区域”上，多项式都能无限接近目标函数。

为什么是紧子集？ 因为区域 \(D\) 可能是无界的（比如整个复平面），或者包含“洞”。我们无法期望一个多项式在无界区域上一致逼近一个非多项式的全纯函数（比如 \(e^z\)）。因此，逼近是在内闭一致的意义下讨论的，即对每个含于 \(D\) 的紧集一致。

3. 龙格定理的经典表述

1885年，德国数学家卡尔·龙格证明了一个深刻而优美的定理，为上述问题提供了一个清晰的答案。

龙格定理：设 \(K\) 是复平面 \(\mathbb{C}\) 中的一个紧子集，且 \(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的（即 \(K\) 没有“洞”，它是“单连通”的补集）。设 \(f\) 在一个包含 \(K\) 的开集上全纯。那么，对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个多项式 \(P(z)\)，使得

\[\sup_{z \in K} |f(z) - P(z)| < \epsilon. \]

如何理解这个定理？

条件“\(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的” 是关键。这等价于说：\(K\) 的补集是一个区域（不含孤立点）。直观上，这意味着 \(K\) 没有将平面分隔出多个不连通的部分，它自身是一个“没有洞的块”。例如，一个闭圆盘、一条线段、一个闭矩形都满足此条件。而一个圆环 \(\{ 1 \le |z| \le 2 \}\) 就不满足，因为它的补集在圆环内部有一个洞（即单位圆盘），不是连通的。
定理的威力：它并不要求 \(f\) 在整个包含 \(K\) 的区域上能用多项式展开成泰勒级数（泰勒级数只在圆盘内收敛）。只要 \(f\) 在 \(K\) 附近全纯，哪怕 \(K\) 形状怪异（如雪花形分形集的近似紧集），也能用多项式一致逼近。
与泰勒级数的关系：如果 \(K\) 是一个圆盘，那么 \(f\) 在 \(K\) 上的泰勒多项式就是逼近多项式。龙格定理将其推广到了任意形状的单连通紧集。

4. 龙格定理的证明思路与柯西积分的应用

龙格定理的一个标准证明巧妙地运用了柯西积分公式和一种称为“用有理函数逼近”的中间步骤。

步骤一：用有理函数逼近

由于 \(f\) 在包含 \(K\) 的开集 \(U\) 上全纯，我们可以用一系列折线来近似 \(K\) 的边界（在 \(U\) 内），构造一个“柯西积分”的近似。
对 \(z \in K\)，由柯西积分公式，\(f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta\)，其中 \(\Gamma\) 是位于 \(U \setminus K\) 中、环绕 \(K\) 的一条简单闭曲线。
将积分曲线 \(\Gamma\) 用折线逼近，然后将积分分解为沿各小线段积分的和。每个形如 \(\int_{segment} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta\) 的项，可以通过将被积函数中的 \(\frac{1}{\zeta - z}\) 关于 \(\zeta\) 在某个固定点展开，近似为一个多项式（在变量 \(z\) 上）的积分。更直接的方法是，用黎曼和来近似这个曲线积分，得到的形式是 \(R(z) = \sum_{j=1}^{n} \frac{c_j}{\zeta_j - z}\)，这是一个有理函数，其极点都在 \(\Gamma\) 上（故不在 \(K\) 上），并且能在 \(K\) 上一致逼近 \(f(z)\)。

至此，我们得到：在全纯区域 \(U\) 内的紧集 \(K\) 上，全纯函数 \(f\) 可以用极点都在 \(K\) 外的有理函数一致逼近。

步骤二：将有理函数化为多项式（关键步骤）
现在有一个极点都在 \(K\) 外的有理函数 \(R(z)\) 在 \(K\) 上逼近 \(f(z)\)。要将其变成多项式，需要消除它的极点。这利用了条件“\(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的”。

设 \(R(z)\) 有一个极点 \(a \notin K\)。由于 \(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的，且包含无穷远点，我们可以从点 \(a\) 出发，画一条延伸到无穷远的、且完全位于 \(\mathbb{C} \setminus K\) 中的路径。
函数 \(1/(z-a)\) 沿这条路径可以解析延拓到无穷远点。在无穷远点，\(1/(z-a)\) 是全纯的（因为其洛朗展开的主部消失）。因此，在紧集 \(K\) 上，函数 \(1/(z-a)\) 本身就可以用多项式一致逼近（例如，用其在无穷远点的泰勒展开的截断多项式）。
将此论证应用于 \(R(z)\) 的每个部分分式项，我们就能用多项式来逼近 \(R(z)\) 本身。

结合步骤一和步骤二，就证明了：存在多项式 \(P(z)\)，在 \(K\) 上一致逼近 \(f(z)\)。

5. 龙格定理的推广与应用

推广到有理函数逼近：如果 \(\mathbb{C} \setminus K\) 不连通，多项式逼近不一定成立（如前述 \(1/z\) 在圆环上的例子）。但龙格定理可以推广为：任何在包含 \(K\) 的开集上全纯的函数，可以用有理函数一致逼近，且该有理函数的极点可以预先指定在 \(\mathbb{C} \setminus K\) 的每个连通分支中各取一点。这就是龙格有理逼近定理。
应用一：单连通区域上的全纯函数：如果 \(D\) 是单连通区域，那么对于任何 \(D\) 内的紧集 \(K\)，其补集 \(\mathbb{C} \setminus K\) 在扩充复平面 \(\mathbb{C} \cup \{\infty\}\) 中仍然是连通的（因为“洞”被区域 \(D\) 填上了，无穷远点也在同一个连通分支）。因此，在单连通区域上，任何全纯函数都可以用多项式内闭一致逼近。这是龙格定理最常用的推论。
应用二：构造性证明：龙格定理的证明本质上是构造性的。它提供了一种算法（尽管计算上可能复杂）：通过构造适当的柯西积分路径，然后对柯西核进行多项式展开，来生成逼近多项式序列。
应用三：合并奇点：在有理逼近的框架下，龙格定理意味着，我们可以将函数的所有“奇性”（逼近有理函数的极点）都“推”到定义域补集的每个连通分支中的一个点上。这在复逼近理论和位势理论中有深刻应用。

总结：龙格定理揭示了全纯函数逼近的本质——能否用多项式逼近，取决于定义域补集的拓扑结构。当补集连通时，多项式足以胜任；否则，我们需要允许有极点的有理函数。这一定理是复分析中连接函数论、拓扑和近似理论的桥梁。

复变函数的全纯函数逼近与龙格定理 1. 问题的起源：用多项式逼近复函数在实分析中，魏尔斯特拉斯逼近定理告诉我们，闭区间上的任何连续函数都可以用多项式一致逼近。在复变函数论中，一个自然的问题是：在复数域的某个区域（开集）上，一个全纯函数是否也能用多项式来一致逼近？答案并非总是肯定的。考虑函数 \(f(z) = 1/z\) 在区域 \(D = \{ 0 < |z| < 2 \}\) 上。它在 \(D\) 上是全纯的，但没有任何多项式序列能在 \(D\) 上一致收敛到 \(f(z)\)，因为 \(f\) 在 \(z=0\) 有一个极点，而多项式在整个复平面上是解析的。这个例子表明，区域（定义域）的拓扑性质至关重要。 2. 核心概念：全纯函数的一致逼近设 \(D\) 是复平面 \(\mathbb{C}\) 中的一个区域，\(f: D \to \mathbb{C}\) 是一个全纯函数。我们说“\(f\) 在 \(D\) 上可以用多项式一致逼近”是指：对于任意紧子集 \(K \subset D\) 和任意 \(\epsilon > 0\)，都存在一个多项式 \(P(z)\)，使得 \[ \sup_ {z \in K} |f(z) - P(z)| < \epsilon. \] 这意味着，在 \(D\) 内的任何一个“有界闭区域”上，多项式都能无限接近目标函数。为什么是紧子集？因为区域 \(D\) 可能是无界的（比如整个复平面），或者包含“洞”。我们无法期望一个多项式在无界区域上一致逼近一个非多项式的全纯函数（比如 \(e^z\)）。因此，逼近是在内闭一致的意义下讨论的，即对每个含于 \(D\) 的紧集一致。 3. 龙格定理的经典表述 1885年，德国数学家卡尔·龙格证明了一个深刻而优美的定理，为上述问题提供了一个清晰的答案。龙格定理：设 \(K\) 是复平面 \(\mathbb{C}\) 中的一个紧子集，且 \(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的（即 \(K\) 没有“洞”，它是“单连通”的补集）。设 \(f\) 在一个包含 \(K\) 的开集上全纯。那么，对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个多项式 \(P(z)\)，使得 \[ \sup_ {z \in K} |f(z) - P(z)| < \epsilon. \] 如何理解这个定理？条件“\(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的” 是关键。这等价于说：\(K\) 的补集是一个区域（不含孤立点）。直观上，这意味着 \(K\) 没有将平面分隔出多个不连通的部分，它自身是一个“没有洞的块”。例如，一个闭圆盘、一条线段、一个闭矩形都满足此条件。而一个圆环 \(\{ 1 \le |z| \le 2 \}\) 就不满足，因为它的补集在圆环内部有一个洞（即单位圆盘），不是连通的。定理的威力：它并不要求 \(f\) 在整个包含 \(K\) 的区域上能用多项式展开成泰勒级数（泰勒级数只在圆盘内收敛）。只要 \(f\) 在 \(K\) 附近全纯，哪怕 \(K\) 形状怪异（如雪花形分形集的近似紧集），也能用多项式一致逼近。与泰勒级数的关系：如果 \(K\) 是一个圆盘，那么 \(f\) 在 \(K\) 上的泰勒多项式就是逼近多项式。龙格定理将其推广到了任意形状的单连通紧集。 4. 龙格定理的证明思路与柯西积分的应用龙格定理的一个标准证明巧妙地运用了柯西积分公式和一种称为“用有理函数逼近”的中间步骤。步骤一：用有理函数逼近由于 \(f\) 在包含 \(K\) 的开集 \(U\) 上全纯，我们可以用一系列折线来近似 \(K\) 的边界（在 \(U\) 内），构造一个“柯西积分”的近似。对 \(z \in K\)，由柯西积分公式，\(f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ {\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta\)，其中 \(\Gamma\) 是位于 \(U \setminus K\) 中、环绕 \(K\) 的一条简单闭曲线。将积分曲线 \(\Gamma\) 用折线逼近，然后将积分分解为沿各小线段积分的和。每个形如 \(\int_ {segment} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta\) 的项，可以通过将被积函数中的 \(\frac{1}{\zeta - z}\) 关于 \(\zeta\) 在某个固定点展开，近似为一个多项式（在变量 \(z\) 上）的积分。更直接的方法是，用黎曼和来近似这个曲线积分，得到的形式是 \(R(z) = \sum_ {j=1}^{n} \frac{c_ j}{\zeta_ j - z}\)，这是一个有理函数，其极点都在 \(\Gamma\) 上（故不在 \(K\) 上），并且能在 \(K\) 上一致逼近 \(f(z)\)。至此，我们得到：在全纯区域 \(U\) 内的紧集 \(K\) 上，全纯函数 \(f\) 可以用极点都在 \(K\) 外的有理函数一致逼近。步骤二：将有理函数化为多项式（关键步骤）现在有一个极点都在 \(K\) 外的有理函数 \(R(z)\) 在 \(K\) 上逼近 \(f(z)\)。要将其变成多项式，需要消除它的极点。这利用了条件“\(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的”。设 \(R(z)\) 有一个极点 \(a \notin K\)。由于 \(\mathbb{C} \setminus K\) 是连通的，且包含无穷远点，我们可以从点 \(a\) 出发，画一条延伸到无穷远的、且完全位于 \(\mathbb{C} \setminus K\) 中的路径。函数 \(1/(z-a)\) 沿这条路径可以解析延拓到无穷远点。在无穷远点，\(1/(z-a)\) 是全纯的（因为其洛朗展开的主部消失）。因此，在紧集 \(K\) 上，函数 \(1/(z-a)\) 本身就可以用多项式一致逼近（例如，用其在无穷远点的泰勒展开的截断多项式）。将此论证应用于 \(R(z)\) 的每个部分分式项，我们就能用多项式来逼近 \(R(z)\) 本身。结合步骤一和步骤二，就证明了：存在多项式 \(P(z)\)，在 \(K\) 上一致逼近 \(f(z)\)。 5. 龙格定理的推广与应用推广到有理函数逼近：如果 \(\mathbb{C} \setminus K\) 不连通，多项式逼近不一定成立（如前述 \(1/z\) 在圆环上的例子）。但龙格定理可以推广为：任何在包含 \(K\) 的开集上全纯的函数，可以用有理函数一致逼近，且该有理函数的极点可以预先指定在 \(\mathbb{C} \setminus K\) 的每个连通分支中各取一点。这就是龙格有理逼近定理。应用一：单连通区域上的全纯函数：如果 \(D\) 是单连通区域，那么对于任何 \(D\) 内的紧集 \(K\)，其补集 \(\mathbb{C} \setminus K\) 在扩充复平面 \(\mathbb{C} \cup \{\infty\}\) 中仍然是连通的（因为“洞”被区域 \(D\) 填上了，无穷远点也在同一个连通分支）。因此，在单连通区域上，任何全纯函数都可以用多项式内闭一致逼近。这是龙格定理最常用的推论。应用二：构造性证明：龙格定理的证明本质上是构造性的。它提供了一种算法（尽管计算上可能复杂）：通过构造适当的柯西积分路径，然后对柯西核进行多项式展开，来生成逼近多项式序列。应用三：合并奇点：在有理逼近的框架下，龙格定理意味着，我们可以将函数的所有“奇性”（逼近有理函数的极点）都“推”到定义域补集的每个连通分支中的一个点上。这在复逼近理论和位势理论中有深刻应用。总结：龙格定理揭示了全纯函数逼近的本质——能否用多项式逼近，取决于定义域补集的拓扑结构。当补集连通时，多项式足以胜任；否则，我们需要允许有极点的有理函数。这一定理是复分析中连接函数论、拓扑和近似理论的桥梁。