椭圆曲线的挠子群与马祖尔定理

1. 椭圆曲线的基本定义：椭圆曲线是定义在某个域（如有理数域Q）上，由形如y² = x³ + ax + b（其中系数满足4a³+27b² ≠ 0，以保证曲线光滑）的方程描述的一类重要的代数曲线。它的点（包括一个“无穷远点”O）在特定的加法法则下构成一个阿贝尔群。

2. 椭圆曲线的有理点：椭圆曲线E/Q上的所有有理点（即坐标均为有理数的点）也构成一个阿贝尔群，记为E(Q)。这个群是有限生成的（由莫德尔-韦伊定理保证），其结构可以分解为一个有限群（挠子群）和一个自由阿贝尔群（秩r ≥ 0）的直和：E(Q) ≅ E(Q)_{tors} ⊕ Z^r。

3. 挠子群的定义：椭圆曲线E(Q)的挠子群是指其中所有有限阶点构成的子群，记为E(Q)_{tors}。一个点P的阶是满足nP = O的最小正整数n（O是群的单位元/无穷远点）。例如，2阶点满足2P=O，即P=-P，在曲线上的几何表现为其y坐标为0。

4. 挠子群的可能结构：对于椭圆曲线E/Q，其挠子群作为有限阿贝尔群，只能是以下两种群之一：循环群Z/nZ，或者两个循环群的直和Z/2Z ⊕ Z/2mZ，其中n和m是正整数。这些可能性来自于挠子群是有限阿贝尔群的基本定理，并结合了椭圆曲线的具体约束。

5. 马祖尔定理（Mazur's Theorem）的表述：这是关于椭圆曲线挠子群结构的经典且深刻的定理。它完整地刻画了有理数域Q上椭圆曲线的挠子群所有可能的结构。具体来说，E(Q)_{tors} 同构于以下15种群之一：

   • 循环群：Z/nZ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12。
   • 非循环群：Z/2Z ⊕ Z/2nZ，其中n = 1, 2, 3, 4。

6. 定理的深刻性与证明思路：这个定理之所以强大，是因为它对所有定义在Q上的椭圆曲线给出了一个统一的、有限的挠子群可能性列表。其证明是算术几何的杰作，核心思路是通过模曲线（特别是X₁(N)的模型）的几何与算术性质来研究。如果存在一个阶为素数p的挠子点（p>7），可以构造出对应的非分歧覆盖，最终利用模曲线的亏格增长以及Q上点的存在性矛盾来排除p=11, 13, 17,...等情形。整个证明融合了椭圆曲线、模形式和代数几何的深刻理论。

7. 定理的推论与影响：马祖尔定理直接推出一个重要推论：有理数域上椭圆曲线的挠子点的阶不会超过12（对于循环群）或点的总个数不会超过16（对于Z/2Z ⊕ Z/8Z的情形）。这为研究椭圆曲线上的有理点提供了强有力的约束。该定理是模方法研究费马大定理（即弗赖椭圆曲线⇒谷山-志村猜想）的重要前驱性结果之一，展示了椭圆曲线的算术性质与模形式之间的深刻联系。