复平面上的柯西积分公式
好的，我们现在开始讲解复分析中的一个核心结果——柯西积分公式。它不仅是复变函数论的基石，也深刻地联系了函数在区域边界上的值与区域内部的值。
第一步：前置知识回顾与设定场景
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复函数与导数：我们讨论的函数是复变函数 \(f(z)\)，即自变量 \(z = x + iy\) 和函数值 \(f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\) 都是复数。如果 \(f\) 在一点 \(z_0\) 的极限 \(f‘(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\) 存在，则称 \(f\) 在 \(z_0\) 处复可导。在区域内每一点都复可导的函数称为全纯函数（或解析函数）。
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曲线积分：设 \(\gamma\) 是复平面上一条可求长曲线（如分段光滑曲线），参数化为 \(z(t), a \le t \le b\)。函数 \(f\) 沿 \(\gamma\) 的积分定义为：\(\int_{\gamma} f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt\)。这是一个复数值的积分。
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柯西积分定理（这是柯西积分公式的直接前提）：如果一个函数 \(f\) 在一个单连通区域 \(D\) 内全纯，并且在闭区域 \(\overline{D}\) 上连续，那么 \(f\) 沿 \(D\) 内任意一条分段光滑的简单闭曲线（即起点与终点重合且不自交的曲线）的积分都为零：\(\int_{\gamma} f(z) dz = 0\)。直观理解是，在“无洞”的区域里，全纯函数的积分路径可以任意形变而不改变积分值（路径独立性），对于闭路径，积分自然为零。
第二步：柯西积分公式的陈述
现在我们进入正题。柯西积分定理告诉我们全纯函数沿闭曲线的积分为零。那么，如果不是积分函数本身，而是积分一个形如 \(\frac{f(z)}{z - z_0}\) 的函数，会怎么样呢？这个函数在 \(z = z_0\) 点显然不解析（有奇点）。柯西积分公式精确地给出了这个积分的值。
- 定理（柯西积分公式）：
设 \(D\) 是复平面上的一个有界区域，其边界 \(\partial D\) 由有限条分段光滑的简单闭曲线组成（即 \(D\) 是一个有限连通区域）。设函数 \(f\) 在包含闭区域 \(\overline{D} = D \cup \partial D\) 的一个开集上全纯。
那么，对于区域 \(D\) 内的任意一点 \(z_0\)，有如下公式成立：
\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{z - z_0} dz。 \]
这里，积分路径 \(\partial D\) 取正向（即沿边界行走时，区域 \(D\) 始终在左手边）。
第三步：公式的直观理解与初步分析
这个公式非常惊人，它揭示了全纯函数一个极其深刻的性质：
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边界决定内部：公式的左端是函数在区域内部一点 \(z_0\) 的值，而右端是一个沿着区域边界 \(\partial D\) 的积分。这意味着，一个全纯函数在区域内部任意一点的值，完全由它在边界上的值所决定。这好比通过一个物体的表面信息，可以完全复原其内部结构。
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“权重”是 \(1/(z - z_0)\)：边界上各点 \(z\) 的函数值 \(f(z)\) 对内部点 \(z_0\) 的函数值的“贡献”，其权重是 \(1/(z - z_0)\)。这个权重随着边界点 \(z\) 与内部点 \(z_0\) 的距离增大而衰减。
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与柯西积分定理的联系：如果 \(z_0\) 在区域 \(D\) 的外部，那么被积函数 \(f(z)/(z - z_0)\) 在整个 \(\overline{D}\) 上全纯（因为奇点 \(z_0\) 在外面），根据柯西积分定理，这个积分等于零。所以，柯西积分公式本质上是处理了奇点正好位于积分区域内部时，积分不为零的情形。
第四步：一个关键特例的推导（理解公式来源）
要理解公式为什么成立，考察一个最简单的情形：设 \(D\) 是以 \(z_0\) 为心、\(r\) 为半径的小圆盘，边界圆周为 \(C_r: |z - z_0| = r\)。
由于 \(f\) 在 \(z_0\) 处全纯，它在该点连续。对于任意给定的正数 \(\epsilon > 0\)，当圆的半径 \(r\) 足够小时，在圆周 \(C_r\) 上恒有 \(|f(z) - f(z_0)| < \epsilon\)。
现在考虑积分 \(\oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0} dz\)。我们做一个巧妙的拆分：
\[\oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \oint_{C_r} \frac{f(z_0)}{z - z_0} dz + \oint_{C_r} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz。 \]
- 对于第一项：\(f(z_0)\) 是常数，可以提到积分外。计算 \(\oint_{C_r} \frac{1}{z - z_0} dz\)。在圆周 \(C_r\) 上，令 \(z = z_0 + re^{i\theta}, 0 \le \theta \le 2\pi\)，则 \(dz = ire^{i\theta} d\theta\)。代入得：
\[ \oint_{C_r} \frac{1}{z - z_0} dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{re^{i\theta}} \cdot ire^{i\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} i d\theta = 2\pi i。 \]
所以第一项等于 \(f(z_0) \cdot 2\pi i\)。
- 对于第二项：我们利用前面的估计。在 \(C_r\) 上，有 \(|f(z) - f(z_0)| < \epsilon\)，并且 \(|z - z_0| = r\)。因此，
\[ \left| \oint_{C_r} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz \right| \le \oint_{C_r} \frac{|f(z) - f(z_0)|}{|z - z_0|} |dz| < \oint_{C_r} \frac{\epsilon}{r} |dz| = \frac{\epsilon}{r} \times (2\pi r) = 2\pi \epsilon。 \]
由于 \(\epsilon\) 可以任意小，这个积分的模可以任意小，那么它本身必须为零。
综合两项，我们得到：\(\oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = 2\pi i f(z_0)\)。这正是柯西积分公式在小圆盘上的形式。对于一般的区域，可以想象围绕 \(z_0\) 挖一个非常小的圆，然后利用柯西积分定理在挖掉小圆后的“甜甜圈”区域上积分 \(f(z)/(z - z_0)\)（这个函数在该区域全纯），并让圆的半径趋于零，最终就能推导出一般公式。
第五步：柯西积分公式的深远推论
柯西积分公式不是一个孤立的结论，它直接导出了一系列关于全纯函数的重要性质：
- 无限次可导性：在公式 \(f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{z - z_0} dz\) 中，被积函数关于内部点 \(z_0\) 是无限次可微的（因为分母是 \(z - z_0\) 的线性函数）。因此，可以在积分号下对 \(z_0\) 求任意阶导数！这立即推出：
\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz。 \]
这意味着**全纯函数自动是无限次可导的**，这是实可导函数不具备的惊人性质。
- 平均值公式：在推导过程中用的小圆周特例，取参数形式 \(z = z_0 + re^{i\theta}\)，公式变为：
\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \cdot ire^{i\theta} d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) d\theta。 \]
这表明，全纯函数在圆心的值，等于其在圆周上取值的算术平均。这是调和函数均值性质的复数版本。
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刘维尔定理的证明：如果一个整函数（在全平面全纯的函数）有界，那么它必为常数。一个经典证明就是利用柯西积分公式的导数形式，估计高阶导数并令半径趋于无穷，证明所有高阶导数为零。
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解析函数的最大模原理：全纯函数模的最大值只能在边界上取得，除非函数是常数。这可以从平均值公式推导出来，因为如果内部点模最大，其圆周平均值不可能超过它，这迫使函数在圆周上为常数，进而推至整个区域。
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泰勒展开的存在性：利用柯西积分公式和高阶导数公式，可以证明全纯函数在其定义域内的任意一点附近都能展开成收敛的幂级数（泰勒级数）。这建立了“全纯”、“解析”和“无限次可导”在复变函数中的等价性。
综上所述，柯西积分公式是复分析中连接局部性质与整体性质、微分性质与积分性质的核心桥梁，其简洁的形式下蕴含着全纯函数几乎所有的优美特性。