随机变量的变换的Borel–Cantelli引理
字数 3335 2025-12-08 11:58:56

随机变量的变换的Borel–Cantelli引理

好的，我们开始讲解Borel–Cantelli引理。这是一个概率论中关于事件序列发生无穷多次的概率的深刻结论，是研究极限行为和收敛性的基本工具。

第一步：理解背景与问题设置

在概率论中，我们经常研究一列（无限个）随机事件 \(A_1, A_2, A_3, \dots\)。一个自然的问题是：这些事件中，有多少个会发生？更具体地说，事件“无穷多个 \(A_n\) 发生”的概率是多少？我们用数学语言定义这个事件：

\[\{A_n \text{ 发生无穷多次} \} = \left\{ \omega \in \Omega : \omega \text{ 属于无穷多个 } A_n \right\} = \limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k. \]

这个集合（称为“上极限集”）里的样本点 \(\omega\) 属于无穷多个事件 \(A_n\)。Borel–Cantelli引理给出了计算 \(P(\limsup_{n \to \infty} A_n)\) 的简洁条件。

第二步：第一Borel–Cantelli引理（收敛性部分）

这是引理中较简单但非常实用的部分。

定理（第一B-C引理）：设 \(\{A_n\}\) 为一列事件。如果这些事件的概率之和是有限的，即

\[\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty, \]

那么，无穷多个事件发生的概率为零。用数学式表达：

\[P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 0. \]

直观理解：如果事件概率之和是收敛的，那么“大”事件（概率不可忽略的事件）会迅速变得非常罕见。因此，几乎可以肯定，只有有限个事件会发生。

证明思路：

  1. 对任意固定的 \(N\)，有 \(\limsup_{n} A_n \subseteq \bigcup_{k=N}^{\infty} A_k\)。因为如果一个点属于无穷多个 \(A_n\)，那么从第 \(N\) 项开始，它至少属于其中一个。
  2. 由概率的次可加性：\(P(\limsup_{n} A_n) \le P\left( \bigcup_{k=N}^{\infty} A_k \right) \le \sum_{k=N}^{\infty} P(A_k)\)。（这里用到了布尔不等式或联合界，即“并的概率不超过概率之和”）。
  3. 因为级数 \(\sum P(A_n)\) 收敛，其尾部项和 \(\sum_{k=N}^{\infty} P(A_k)\) 随着 \(N \to \infty\) 而趋于0。
  4. 因此，\(P(\limsup_{n} A_n) = 0\)。

关键点：这个部分不要求事件之间相互独立。它纯粹是一个由概率测度的可加性和非负性导出的分析结果。

第三步：第二Borel–Cantelli引理（发散性部分）

这是引理中更深刻的部分，它给出了“无穷多个事件几乎必然发生”的充分条件，但需要独立性假设。

定理（第二B-C引理）：设 \(\{A_n\}\) 为一列相互独立的事件。如果这些事件的概率之和是发散的，即

\[\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty, \]

那么，无穷多个事件发生的概率为一。即：

\[P\left( \limsup_{n \to \infty} A_n \right) = 1. \]

直观理解：在独立性条件下，即使每个事件的概率很小，但如果它们的“总可能性”是无穷大（级数发散），那么事件会“顽强地”一再发生，以至于几乎必然有无穷多个会发生。

证明思路概要（核心步骤）：

  1. 利用事件 \(\{A_n \text{ 发生无穷多次}\}^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c\)，即“只有有限个 \(A_n\) 发生”等价于“存在某个 \(N\)，使得对所有 \(k \ge N\)，\(A_k\) 都不发生”。
  2. 要证明其概率为0，只需证明对任意大的 \(m\)，有 \(P\left( \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c \right) = 0\)。
  3. 由于独立性，对任意 \(N > n\)，有 \(P\left( \bigcap_{k=n}^{N} A_k^c \right) = \prod_{k=n}^{N} (1 - P(A_k))\)。
  4. 利用不等式 \(1 - x \le e^{-x}\)（对 \(x \ge 0\)），得到：

\[ P\left( \bigcap_{k=n}^{N} A_k^c \right) \le \exp\left( -\sum_{k=n}^{N} P(A_k) \right). \]

  1. 因为概率和发散，当 \(N \to \infty\) 时，指数部分趋于 \(-\infty\)，所以整个乘积的极限是0。即 \(P\left( \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c \right) = 0\)。
  2. 由此可得，\(P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c \right) = 0\)，其补集的概率就是1。

关键点：独立性假设是第二引理成立的关键。没有它，结论可能不成立（可以构造反例）。

第四步：综合理解与“零一律”

将两个引理结合在一起，我们得到一个关于独立事件序列的完美结论：

推论：如果 \(\{A_n\}\) 是一列相互独立的事件，那么 \(P(\limsup_{n} A_n)\) 要么是0，要么是1。具体是哪个，取决于级数 \(\sum P(A_n)\) 收敛（得0）还是发散（得1）。

这被称为一个“零一律”（Zero–One Law）的特例，它指出在某些条件下，尾事件（如 \(\limsup A_n\)）的概率只能是0或1。

第五步：一个经典应用示例

考虑投掷一枚均匀硬币无穷多次，每次正面朝上概率为 \(1/2\)，且各次独立。定义事件：

\[A_n = \text{“第 } n \text{ 次投掷出现正面”}. \]

显然，\(\sum P(A_n) = \sum 1/2 = \infty\)。由第二B-C引理，无穷多次出现正面的概率是1。这符合我们的直觉：在无穷多次独立试验中，概率为正的事件几乎必然会发生无穷多次。

现在考虑另一个事件序列：

\[B_n = \text{“第 } n \text{ 次投掷时，连续出现 } n \text{ 次正面”}. \]

这个事件的概率是 \(P(B_n) = (1/2)^n\)。级数 \(\sum (1/2)^n = 1\) 是收敛的。由第一B-C引理，以概率1，只有有限个 \(B_n\) 会发生。也就是说，几乎必然地，你不会看到任意长的连续正面序列出现无穷多次。

总结

  • 第一Borel–Cantelli引理：\(\sum P(A_n) < \infty \Rightarrow P(A_n \text{ i.o.}) = 0\)。无需独立性。
  • 第二Borel–Cantelli引理：\(\{A_n\}\) 独立且 \(\sum P(A_n) = \infty \Rightarrow P(A_n \text{ i.o.}) = 1\)。独立性是关键。
  • 核心思想：这两个引理一起，为判断一列事件是“几乎必然只发生有限次”还是“几乎必然发生无穷多次”提供了强大而简洁的判据，是研究随机序列极限行为、强大数定律、随机过程 recurrence/transience 等问题的基石。
随机变量的变换的Borel–Cantelli引理 好的，我们开始讲解 Borel–Cantelli引理 。这是一个概率论中关于事件序列发生无穷多次的概率的深刻结论，是研究极限行为和收敛性的基本工具。 第一步：理解背景与问题设置 在概率论中，我们经常研究一列（无限个）随机事件 \(A_ 1, A_ 2, A_ 3, \dots\)。一个自然的问题是：这些事件中，有多少个会发生？更具体地说，事件“无穷多个 \(A_ n\) 发生”的概率是多少？我们用数学语言定义这个事件： \[ \{A_ n \text{ 发生无穷多次} \} = \left\{ \omega \in \Omega : \omega \text{ 属于无穷多个 } A_ n \right\} = \limsup_ {n \to \infty} A_ n = \bigcap_ {n=1}^{\infty} \bigcup_ {k=n}^{\infty} A_ k. \] 这个集合（称为“上极限集”）里的样本点 \(\omega\) 属于无穷多个事件 \(A_ n\)。Borel–Cantelli引理给出了计算 \(P(\limsup_ {n \to \infty} A_ n)\) 的简洁条件。 第二步：第一Borel–Cantelli引理（收敛性部分） 这是引理中较简单但非常实用的部分。 定理（第一B-C引理） ：设 \(\{A_ n\}\) 为一列事件。如果这些事件的概率之和是有限的，即 \[ \sum_ {n=1}^{\infty} P(A_ n) < \infty, \] 那么，无穷多个事件发生的概率为零。用数学式表达： \[ P\left( \limsup_ {n \to \infty} A_ n \right) = 0. \] 直观理解 ：如果事件概率之和是收敛的，那么“大”事件（概率不可忽略的事件）会迅速变得非常罕见。因此，几乎可以肯定，只有有限个事件会发生。 证明思路 ： 对任意固定的 \(N\)，有 \(\limsup_ {n} A_ n \subseteq \bigcup_ {k=N}^{\infty} A_ k\)。因为如果一个点属于无穷多个 \(A_ n\)，那么从第 \(N\) 项开始，它至少属于其中一个。 由概率的次可加性：\(P(\limsup_ {n} A_ n) \le P\left( \bigcup_ {k=N}^{\infty} A_ k \right) \le \sum_ {k=N}^{\infty} P(A_ k)\)。（这里用到了布尔不等式或联合界，即“并的概率不超过概率之和”）。 因为级数 \(\sum P(A_ n)\) 收敛，其尾部项和 \(\sum_ {k=N}^{\infty} P(A_ k)\) 随着 \(N \to \infty\) 而趋于0。 因此，\(P(\limsup_ {n} A_ n) = 0\)。 关键点 ：这个部分不要求事件之间相互独立。它纯粹是一个由概率测度的可加性和非负性导出的分析结果。 第三步：第二Borel–Cantelli引理（发散性部分） 这是引理中更深刻的部分，它给出了“无穷多个事件几乎必然发生”的充分条件，但需要独立性假设。 定理（第二B-C引理） ：设 \(\{A_ n\}\) 为一列 相互独立 的事件。如果这些事件的概率之和是发散的，即 \[ \sum_ {n=1}^{\infty} P(A_ n) = \infty, \] 那么，无穷多个事件发生的概率为一。即： \[ P\left( \limsup_ {n \to \infty} A_ n \right) = 1. \] 直观理解 ：在独立性条件下，即使每个事件的概率很小，但如果它们的“总可能性”是无穷大（级数发散），那么事件会“顽强地”一再发生，以至于几乎必然有无穷多个会发生。 证明思路概要 （核心步骤）： 利用事件 \(\{A_ n \text{ 发生无穷多次}\}^c = \bigcup_ {n=1}^{\infty} \bigcap_ {k=n}^{\infty} A_ k^c\)，即“只有有限个 \(A_ n\) 发生”等价于“存在某个 \(N\)，使得对所有 \(k \ge N\)，\(A_ k\) 都不发生”。 要证明其概率为0，只需证明对任意大的 \(m\)，有 \(P\left( \bigcap_ {k=n}^{\infty} A_ k^c \right) = 0\)。 由于独立性，对任意 \(N > n\)，有 \(P\left( \bigcap_ {k=n}^{N} A_ k^c \right) = \prod_ {k=n}^{N} (1 - P(A_ k))\)。 利用不等式 \(1 - x \le e^{-x}\)（对 \(x \ge 0\)），得到： \[ P\left( \bigcap_ {k=n}^{N} A_ k^c \right) \le \exp\left( -\sum_ {k=n}^{N} P(A_ k) \right). \] 因为概率和发散，当 \(N \to \infty\) 时，指数部分趋于 \(-\infty\)，所以整个乘积的极限是0。即 \(P\left( \bigcap_ {k=n}^{\infty} A_ k^c \right) = 0\)。 由此可得，\(P\left( \bigcup_ {n=1}^{\infty} \bigcap_ {k=n}^{\infty} A_ k^c \right) = 0\)，其补集的概率就是1。 关键点 ：独立性假设是第二引理成立的关键。没有它，结论可能不成立（可以构造反例）。 第四步：综合理解与“零一律” 将两个引理结合在一起，我们得到一个关于独立事件序列的完美结论： 推论 ：如果 \(\{A_ n\}\) 是一列相互独立的事件，那么 \(P(\limsup_ {n} A_ n)\) 要么是0，要么是1。具体是哪个，取决于级数 \(\sum P(A_ n)\) 收敛（得0）还是发散（得1）。 这被称为一个“零一律”（Zero–One Law）的特例，它指出在某些条件下，尾事件（如 \(\limsup A_ n\)）的概率只能是0或1。 第五步：一个经典应用示例 考虑投掷一枚均匀硬币无穷多次，每次正面朝上概率为 \(1/2\)，且各次独立。定义事件： \[ A_ n = \text{“第 } n \text{ 次投掷出现正面”}. \] 显然，\(\sum P(A_ n) = \sum 1/2 = \infty\)。由第二B-C引理，无穷多次出现正面的概率是1。这符合我们的直觉：在无穷多次独立试验中，概率为正的事件几乎必然会发生无穷多次。 现在考虑另一个事件序列： \[ B_ n = \text{“第 } n \text{ 次投掷时，连续出现 } n \text{ 次正面”}. \] 这个事件的概率是 \(P(B_ n) = (1/2)^n\)。级数 \(\sum (1/2)^n = 1\) 是收敛的。由第一B-C引理，以概率1，只有有限个 \(B_ n\) 会发生。也就是说，几乎必然地，你不会看到任意长的连续正面序列出现无穷多次。 总结 第一Borel–Cantelli引理 ：\(\sum P(A_ n) < \infty \Rightarrow P(A_ n \text{ i.o.}) = 0\)。无需独立性。 第二Borel–Cantelli引理 ：\(\{A_ n\}\) 独立且 \(\sum P(A_ n) = \infty \Rightarrow P(A_ n \text{ i.o.}) = 1\)。独立性是关键。 核心思想 ：这两个引理一起，为判断一列事件是“几乎必然只发生有限次”还是“几乎必然发生无穷多次”提供了强大而简洁的判据，是研究随机序列极限行为、强大数定律、随机过程 recurrence/transience 等问题的基石。