连分数与丢番图逼近

字数 3318 2025-12-08 11:31:35

连分数与丢番图逼近

好，我们先从最基础、最直观的概念开始。

第一步：什么是连分数？

连分数是一种表示实数的方式，它比我们熟悉的十进制小数展开更能揭示一个数的内在算术结构。
一个有限的简单连分数看起来是这样的：

\[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_n}}}} \]

其中 \(a_0\) 是整数（可以是0、正数或负数），而 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 都是正整数。这就是“简单”的含义（所有分子都是1）。为书写简便，常记作 \([a_0; a_1, a_2, \dots, a_n]\)。

例如，有理数 \(67/29\) 可以表示为：
首先，\(67 ÷ 29 = 2\) 余 \(9\)，所以 \(67/29 = 2 + 9/29 = 2 + 1 / (29/9)\)。
然后，\(29 ÷ 9 = 3\) 余 \(2\)，所以 \(29/9 = 3 + 2/9 = 3 + 1 / (9/2)\)。
接着，\(9 ÷ 2 = 4\) 余 \(1\)，所以 \(9/2 = 4 + 1/2\)。
最后，\(2 ÷ 1 = 2\) 余 \(0\)，停止。
因此，\(67/29 = [2; 3, 4, 2]\)。

关键点：任何一个有理数都有且只有两种连分数表示，一种是有限的，另一种可以通过最后一项减1，再在后面加个1得到（如 \([2;3,4,2]\) 和 \([2;3,4,1,1]\)），但通常我们取有限的那种。这和我们十进制小数表示中“0.999...=1”的现象类似。

第二步：无限连分数与无理数

刚才是有理数，其连分数是有限的。那么无理数呢？
核心定理：任何一个无理数都可以唯一地表示为无限的简单连分数 \([a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]\)。
反之，任何一个无限的简单连分数都收敛到一个无理数。

例如，黄金比例 \(\phi = (1+\sqrt{5})/2 \approx 1.618...\)，它满足 \(\phi = 1 + 1/\phi\)。把这个关系反复代入自身，就得到：

\[\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}} = [1; 1, 1, 1, \dots] \]

它的连分数是所有无限连分数中最“简单”的（所有 \(a_i\) 都是1）。

第三步：渐近分数（或收敛子）

这是一个极其重要的概念。对于一个（有限或无限的）连分数 \([a_0; a_1, a_2, \dots]\)，我们定义它的第k个渐近分数 \(p_k/q_k\) 为取到第k层（即到 \(a_k\) 为止）的有限连分数所表示的有理数。

\(p_0/q_0 = a_0/1\)
\(p_1/q_1 = a_0 + 1/a_1 = (a_0 a_1 + 1) / a_1\)
\(p_2/q_2 = a_0 + 1/(a_1 + 1/a_2) = \dots\)

这些渐近分数可以通过一个高效的递推关系计算：

\[\begin{aligned} p_{-1} &= 1, \quad p_0 = a_0, \quad p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2} \\ q_{-1} &= 0, \quad q_0 = 1, \quad q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2} \end{aligned} \]

对于 \(k \ge 1\) 成立。

渐近分数具有非常好的性质：

最佳逼近性：设 \(\alpha\) 是无理数，其第k个渐近分数为 \(p_k/q_k\)。那么，在所有分母不超过 \(q_k\) 的有理数中，\(p_k/q_k\) 是与 \(\alpha\) 最接近的那个。没有其他分母更小或相等的分数能比它更逼近 \(\alpha\)。
误差估计：相邻的两个渐近分数从两侧交替逼近 \(\alpha\)。具体地，

\[ \left| \alpha - \frac{p_k}{q_k} \right| < \frac{1}{q_k q_{k+1}} < \frac{1}{q_k^2} \]

这个不等式告诉我们，用 \(p_k/q_k\) 来逼近 \(\alpha\)，其误差小于 \(1/q_k^2\)。这是非常精确的逼近。

第四步：丢番图逼近与连分数的关系

“丢番图逼近”是数论的一个分支，研究如何用有理数去逼近无理数，特别是要量化这种逼近的“好坏”。连分数天然提供了最佳的有理逼近序列（即渐近分数）。

定理（勒让德）：如果一个有理数 \(p/q\)（q>0）满足 \(|\alpha - p/q| < 1/(2q^2)\)，那么 \(p/q\) 一定是 \(\alpha\) 的某个渐近分数。
定理（刘维尔）：代数数（是某个整数系数多项式根的数）不能被“过分好”地逼近。具体来说，如果 \(\alpha\) 是一个d次代数数，则存在常数C>0，使得对所有有理数 \(p/q\)，有 \(|\alpha - p/q| > C/q^d\)。这个定理后来被图埃、西格尔、罗斯等人不断改进（罗斯定理：对代数数的逼近指数是2，即对任意ε>0，有 \(|\alpha - p/q| > 1/q^{2+\epsilon}\) 只有有限多解），是丢番图逼近的核心成果。

第五步：周期连分数与二次无理数

现在来看一类特殊的无理数——二次无理数，即满足一个二次整数系数方程的无理数，形如 \((P + \sqrt{D})/Q\)，其中D是非平方正整数。
拉格朗日定理：一个实数是二次无理数，当且仅当它的简单连分数展开是最终循环的（即从某项开始，后面的数字块开始周期性重复）。
记作 \([a_0; a_1, \dots, a_m, \overline{b_1, b_2, \dots, b_n}]\)，其中上划线表示循环节。

例如，\(\sqrt{2} = 1.414...\) 的连分数：
\(\sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2}-1) = 1 + 1/(1+\sqrt{2})\)，计算可得 \(\sqrt{2} = [1; \overline{2}]\)，即 \([1; 2, 2, 2, \dots]\)。
\(\sqrt{3} = [1; \overline{1, 2}]\)。
\(\phi = [1; \overline{1}]\) 也是周期连分数。

周期连分数与佩尔方程：这是连分数在丢番图方程中一个经典而深刻的应用。佩尔方程 \(x^2 - D y^2 = 1\)（D是非平方正整数）的基本解 \((x_1, y_1)\)，可以通过计算 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开得到。具体地，如果其连分数周期长度为l，那么：

当l是偶数时，其渐近分数 \(p_{l-1}/q_{l-1}\) 给出了基本解。
当l是奇数时，其渐近分数 \(p_{2l-1}/q_{2l-1}\) 给出了基本解。
这个联系之所以深刻，是因为它提供了一个系统性地找到佩尔方程最小解的有效算法，而不仅仅是试错。

总结：
连分数是一个强有力的工具，它将实数的表示、最佳有理逼近（丢番图逼近的核心）以及二次无理数的结构（进而与佩尔方程等经典数论问题）紧密联系在一起。从简单的有限展开（有理数）到无限但周期的展开（二次无理数），再到更复杂的非周期展开（更高次的代数数或超越数），连分数的结构层层递进，揭示了数论中“离散”与“连续”之间的深刻桥梁。你之前学过的“连分数与佩尔方程”正是这一桥梁在求解特定丢番图方程时的辉煌应用。

连分数与丢番图逼近好，我们先从最基础、最直观的概念开始。第一步：什么是连分数？连分数是一种表示实数的方式，它比我们熟悉的十进制小数展开更能揭示一个数的内在算术结构。一个有限的简单连分数看起来是这样的： \[ a_ 0 + \cfrac{1}{a_ 1 + \cfrac{1}{a_ 2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_ n}}}} \] 其中 \(a_ 0\) 是整数（可以是0、正数或负数），而 \(a_ 1, a_ 2, \dots, a_ n\) 都是正整数。这就是“简单”的含义（所有分子都是1）。为书写简便，常记作 \([ a_ 0; a_ 1, a_ 2, \dots, a_ n ]\)。例如，有理数 \(67/29\) 可以表示为：首先，\(67 ÷ 29 = 2\) 余 \(9\)，所以 \(67/29 = 2 + 9/29 = 2 + 1 / (29/9)\)。然后，\(29 ÷ 9 = 3\) 余 \(2\)，所以 \(29/9 = 3 + 2/9 = 3 + 1 / (9/2)\)。接着，\(9 ÷ 2 = 4\) 余 \(1\)，所以 \(9/2 = 4 + 1/2\)。最后，\(2 ÷ 1 = 2\) 余 \(0\)，停止。因此，\(67/29 = [ 2; 3, 4, 2 ]\)。关键点：任何一个有理数都有且只有两种连分数表示，一种是有限的，另一种可以通过最后一项减1，再在后面加个1得到（如 \([ 2;3,4,2]\) 和 \([ 2;3,4,1,1]\)），但通常我们取有限的那种。这和我们十进制小数表示中“0.999...=1”的现象类似。第二步：无限连分数与无理数刚才是有理数，其连分数是有限的。那么无理数呢？核心定理：任何一个无理数都可以唯一地表示为无限的简单连分数 \([ a_ 0; a_ 1, a_ 2, a_ 3, \dots ]\)。反之，任何一个无限的简单连分数都收敛到一个无理数。例如，黄金比例 \(\phi = (1+\sqrt{5})/2 \approx 1.618...\)，它满足 \(\phi = 1 + 1/\phi\)。把这个关系反复代入自身，就得到： \[ \phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}} = [ 1; 1, 1, 1, \dots ] \] 它的连分数是所有无限连分数中最“简单”的（所有 \(a_ i\) 都是1）。第三步：渐近分数（或收敛子）这是一个极其重要的概念。对于一个（有限或无限的）连分数 \([ a_ 0; a_ 1, a_ 2, \dots]\)，我们定义它的第k个渐近分数 \(p_ k/q_ k\) 为取到第k层（即到 \(a_ k\) 为止）的有限连分数所表示的有理数。 \(p_ 0/q_ 0 = a_ 0/1\) \(p_ 1/q_ 1 = a_ 0 + 1/a_ 1 = (a_ 0 a_ 1 + 1) / a_ 1\) \(p_ 2/q_ 2 = a_ 0 + 1/(a_ 1 + 1/a_ 2) = \dots\) 这些渐近分数可以通过一个高效的递推关系计算： \[ \begin{aligned} p_ {-1} &= 1, \quad p_ 0 = a_ 0, \quad p_ k = a_ k p_ {k-1} + p_ {k-2} \\ q_ {-1} &= 0, \quad q_ 0 = 1, \quad q_ k = a_ k q_ {k-1} + q_ {k-2} \end{aligned} \] 对于 \(k \ge 1\) 成立。渐近分数具有非常好的性质：最佳逼近性：设 \(\alpha\) 是无理数，其第k个渐近分数为 \(p_ k/q_ k\)。那么，在所有分母不超过 \(q_ k\) 的有理数中，\(p_ k/q_ k\) 是与 \(\alpha\) 最接近的那个。没有其他分母更小或相等的分数能比它更逼近 \(\alpha\)。误差估计：相邻的两个渐近分数从两侧交替逼近 \(\alpha\)。具体地， \[ \left| \alpha - \frac{p_ k}{q_ k} \right| < \frac{1}{q_ k q_ {k+1}} < \frac{1}{q_ k^2} \] 这个不等式告诉我们，用 \(p_ k/q_ k\) 来逼近 \(\alpha\)，其误差小于 \(1/q_ k^2\)。这是非常精确的逼近。第四步：丢番图逼近与连分数的关系 “丢番图逼近”是数论的一个分支，研究如何用有理数去逼近无理数，特别是要量化这种逼近的“好坏”。连分数天然提供了最佳的有理逼近序列（即渐近分数）。定理（勒让德）：如果一个有理数 \(p/q\)（q>0）满足 \(|\alpha - p/q| < 1/(2q^2)\)，那么 \(p/q\) 一定是 \(\alpha\) 的某个渐近分数。定理（刘维尔）：代数数（是某个整数系数多项式根的数）不能被“过分好”地逼近。具体来说，如果 \(\alpha\) 是一个d次代数数，则存在常数C>0，使得对所有有理数 \(p/q\)，有 \(|\alpha - p/q| > C/q^d\)。这个定理后来被图埃、西格尔、罗斯等人不断改进（罗斯定理：对代数数的逼近指数是2，即对任意ε>0，有 \(|\alpha - p/q| > 1/q^{2+\epsilon}\) 只有有限多解），是丢番图逼近的核心成果。第五步：周期连分数与二次无理数现在来看一类特殊的无理数——二次无理数，即满足一个二次整数系数方程的无理数，形如 \((P + \sqrt{D})/Q\)，其中D是非平方正整数。拉格朗日定理：一个实数是二次无理数，当且仅当它的简单连分数展开是最终循环的（即从某项开始，后面的数字块开始周期性重复）。记作 \([ a_ 0; a_ 1, \dots, a_ m, \overline{b_ 1, b_ 2, \dots, b_ n} ]\)，其中上划线表示循环节。例如，\(\sqrt{2} = 1.414...\) 的连分数： \(\sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2}-1) = 1 + 1/(1+\sqrt{2})\)，计算可得 \(\sqrt{2} = [ 1; \overline{2}]\)，即 \([ 1; 2, 2, 2, \dots ]\)。 \(\sqrt{3} = [ 1; \overline{1, 2} ]\)。 \(\phi = [ 1; \overline{1} ]\) 也是周期连分数。周期连分数与佩尔方程：这是连分数在丢番图方程中一个经典而深刻的应用。佩尔方程 \(x^2 - D y^2 = 1\)（D是非平方正整数）的基本解 \((x_ 1, y_ 1)\)，可以通过计算 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开得到。具体地，如果其连分数周期长度为l，那么：当l是偶数时，其渐近分数 \(p_ {l-1}/q_ {l-1}\) 给出了基本解。当l是奇数时，其渐近分数 \(p_ {2l-1}/q_ {2l-1}\) 给出了基本解。这个联系之所以深刻，是因为它提供了一个系统性地找到佩尔方程最小解的有效算法，而不仅仅是试错。总结：连分数是一个强有力的工具，它将实数的表示、最佳有理逼近（丢番图逼近的核心）以及二次无理数的结构（进而与佩尔方程等经典数论问题）紧密联系在一起。从简单的有限展开（有理数）到无限但周期的展开（二次无理数），再到更复杂的非周期展开（更高次的代数数或超越数），连分数的结构层层递进，揭示了数论中“离散”与“连续”之间的深刻桥梁。你之前学过的“连分数与佩尔方程”正是这一桥梁在求解特定丢番图方程时的辉煌应用。