数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十）
字数 3575 2025-12-08 09:58:30

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十）

本讲是“变分原理与哈密顿-雅可比理论”系列的延续，我们将深入探讨哈密顿-雅可比方程的完全解与哈密顿主函数，这是从经典力学到波动力学、从几何光学到量子理论过渡的关键桥梁。

第一步：哈密顿主函数的物理与几何意义回顾

首先，我们简要回顾哈密顿主函数 \(S(q, t; \alpha)\) 的定义，其中 \(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) 是n个独立常数。它作为哈密顿-雅可比方程

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0 \]

的一个完全解，满足条件：雅可比行列式 \(\det\left(\partial^2 S / \partial q \partial \alpha\right) \neq 0\)。主函数 \(S\) 的物理意义是作用量，其微分满足：

\[dS = \sum_i p_i dq_i - H dt, \]

其中 \(p_i = \partial S / \partial q_i\)。从几何上看，\(S(q, t; \alpha)\) 定义了“作用量”在 \((q, t)\) 空间中的一片曲面族，每个曲面由参数 \(\alpha\) 标记。

第二步：由完全解生成正则变换与运动方程的解

哈密顿-雅可比方法的精髓在于，其完全解 \(S(q, t; \alpha)\) 隐式地给出了系统的全部运动轨迹。具体步骤如下：

  1. 常数 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的引入：设有n个独立的积分常数 \(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)，它们来自求解偏微分方程。此外，我们引入另一组n个常数 \(\beta = (\beta_1, \ldots, \beta_n)\)，它们由初始条件决定。

  2. 雅可比定理：将 \(S(q, t; \alpha)\) 对常数 \(\alpha_i\) 求偏导，并令其结果等于新的常数 \(\beta_i\)：

\[ \frac{\partial S(q, t; \alpha)}{\partial \alpha_i} = \beta_i, \quad i = 1, \ldots, n. \]

这是一组n个方程，将广义坐标 \(q\)、时间 \(t\) 和常数 \((\alpha, \beta)\) 联系起来。

  1. 求解运动轨迹：从这n个方程 \(\frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i\) 中，可以反解出n个广义坐标 \(q_i\) 作为时间 \(t\) 和常数 \((\alpha, \beta)\) 的函数：

\[ q_i = q_i(t; \alpha, \beta). \]

这正是系统运动方程的通解。常数 \((\alpha, \beta)\) 由初始条件 \(q(0), p(0)\) 通过关系 \(p_i(0) = \left. \frac{\partial S}{\partial q_i} \right|_{t=0}\) 和 \(\beta_i = \left. \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} \right|_{t=0}\) 确定。

  1. 动量的确定：一旦得到 \(q(t)\)，对应的广义动量可通过 \(p_i = \frac{\partial S(q(t), t; \alpha)}{\partial q_i}\) 立即得到。

第三步：哈密顿主函数与特征函数（哈米顿特征函数）的联系

对于哈密顿量不显含时间（\(\partial H / \partial t = 0\)）的保守系统，我们可以进行变量分离，将哈密顿主函数写为：

\[S(q, t) = W(q) - E t, \]

其中 \(E\) 是系统的总能量（常数），而 \(W(q)\) 称为哈密顿特征函数。将其代入 \(H = E\) 的方程，得到约化哈密顿-雅可比方程（或称时间无关的哈密顿-雅可比方程）：

\[H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E. \]

此时，\(E\) 成为常数 \(\alpha\) 中的一个（例如 \(\alpha_1 = E\)）。特征函数 \(W(q; E, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\) 的几何意义是“缩短作用量”，它描述了在等能面上运动的几何性质。运动方程的解现在由

\[\frac{\partial W}{\partial E} = t - t_0, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_i} = \beta_i \quad (i>1) \]

给出，这常常能简化计算，特别是在处理周期或束缚运动时。

第四步：从哈密顿主函数到波前与力线——通向波动力学的类比

哈密顿-雅可比理论为波动力学（薛定谔方程）提供了经典的“前身”。这种类比体现在：

  1. 波前与等作用面：在某一固定时刻 \(t\)，方程 \(S(q, t) = \text{常数}\) 定义了一个 \(q\)-空间中的曲面，称为等作用面或波前。随着时间演化，这个波前向前传播，类似于波动现象中的波阵面。

  2. 动量与波矢：关系 \(p = \nabla S\) 表明，动量矢量垂直于等作用面。在几何光学中，这对应于程函方程，其中 \(S\) 是光程，\(\nabla S\) 的方向是光线（射线）方向，垂直于等光程面（波前）。这表明质点力学与光线的相似性。

  3. 力线与轨迹：由 \(p = \nabla S\) 确定的轨迹（经典路径）正交于等作用面族。在几何光学中，光线也正交于波前。这揭示了经典的质点轨迹与波前传播之间的深刻联系：经典轨迹是波前的正交轨线。

第五步：从经典到量子的过渡——WKB近似与半经典量子化

哈密顿-雅可比方程为理解量子力学的经典极限提供了天然框架，核心是WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）近似。

  1. 薛定谔方程的WKB试探解：考虑一维定态薛定谔方程：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi. \]

代入试探解 \(\psi(x) = A(x) e^{iW(x)/\hbar}\)，并假设 \(\hbar\) 是小参数，将实部与虚部分开并按 \(\hbar\) 的幂次展开。

  1. 领头阶：哈密顿-雅可比方程：在 \(\hbar \to 0\) 的极限下（领头阶），我们得到

\[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dW}{dx} \right)^2 + V(x) = E, \]

这正是经典的特征函数 \(W\) 所满足的方程 \(p^2/(2m) + V = E\)，其中 \(p = dW/dx\)。因此，相位 \(W\) 就是经典的缩短作用量。

  1. 玻尔-索末菲量子化条件：在经典允许区域（\(E > V(x)\)），WKB波函数为振荡形式。为了保证波函数在经典转折点处的连接以及在全空间的单值性，要求作用量积分满足：

\[ \oint_C p \, dq = \oint_C \frac{\partial W}{\partial q} dq = 2\pi \hbar (n + 1/2), \]

其中 \(C\) 是相空间中的闭合经典轨道。这正是旧量子论中的玻尔-索末菲量子化条件，它将经典的作用量量子化，从而得到离散的能级 \(E_n\)。

总结：哈密顿主函数 \(S(q,t)\) 作为哈密顿-雅可比方程的完全解，不仅是求解经典运动方程的强大工具，更是连接经典力学与波动物理（几何光学、波动力学）的核心概念。它通过定义“作用量”的波前，将粒子轨迹与波传播统一起来，并最终通过WKB近似和量子化条件，架起了通向量子理论的桥梁。下一次，我们将探讨哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用，以及作用量-角变量的引入。

数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二十） 本讲是“变分原理与哈密顿-雅可比理论”系列的延续，我们将深入探讨 哈密顿-雅可比方程的完全解与哈密顿主函数 ，这是从经典力学到波动力学、从几何光学到量子理论过渡的关键桥梁。 第一步：哈密顿主函数的物理与几何意义回顾 首先，我们简要回顾哈密顿主函数 \( S(q, t; \alpha) \) 的定义，其中 \( \alpha = (\alpha_ 1, \ldots, \alpha_ n) \) 是n个独立常数。它作为哈密顿-雅可比方程 \[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0 \] 的一个完全解，满足条件：雅可比行列式 \( \det\left(\partial^2 S / \partial q \partial \alpha\right) \neq 0 \)。主函数 \( S \) 的物理意义是作用量，其微分满足： \[ dS = \sum_ i p_ i dq_ i - H dt, \] 其中 \( p_ i = \partial S / \partial q_ i \)。从几何上看，\( S(q, t; \alpha) \) 定义了“作用量”在 \( (q, t) \) 空间中的一片曲面族，每个曲面由参数 \( \alpha \) 标记。 第二步：由完全解生成正则变换与运动方程的解 哈密顿-雅可比方法的精髓在于，其完全解 \( S(q, t; \alpha) \) 隐式地给出了系统的全部运动轨迹。具体步骤如下： 常数 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的引入 ：设有n个独立的积分常数 \( \alpha = (\alpha_ 1, \ldots, \alpha_ n) \)，它们来自求解偏微分方程。此外，我们引入另一组n个常数 \( \beta = (\beta_ 1, \ldots, \beta_ n) \)，它们由初始条件决定。 雅可比定理 ：将 \( S(q, t; \alpha) \) 对常数 \( \alpha_ i \) 求偏导，并令其结果等于新的常数 \( \beta_ i \)： \[ \frac{\partial S(q, t; \alpha)}{\partial \alpha_ i} = \beta_ i, \quad i = 1, \ldots, n. \] 这是一组n个方程，将广义坐标 \( q \)、时间 \( t \) 和常数 \( (\alpha, \beta) \) 联系起来。 求解运动轨迹 ：从这n个方程 \( \frac{\partial S}{\partial \alpha_ i} = \beta_ i \) 中，可以反解出n个广义坐标 \( q_ i \) 作为时间 \( t \) 和常数 \( (\alpha, \beta) \) 的函数： \[ q_ i = q_ i(t; \alpha, \beta). \] 这正是系统运动方程的 通解 。常数 \( (\alpha, \beta) \) 由初始条件 \( q(0), p(0) \) 通过关系 \( p_ i(0) = \left. \frac{\partial S}{\partial q_ i} \right| {t=0} \) 和 \( \beta_ i = \left. \frac{\partial S}{\partial \alpha_ i} \right| {t=0} \) 确定。 动量的确定 ：一旦得到 \( q(t) \)，对应的广义动量可通过 \( p_ i = \frac{\partial S(q(t), t; \alpha)}{\partial q_ i} \) 立即得到。 第三步：哈密顿主函数与特征函数（哈米顿特征函数）的联系 对于哈密顿量不显含时间（\( \partial H / \partial t = 0 \)）的保守系统，我们可以进行变量分离，将哈密顿主函数写为： \[ S(q, t) = W(q) - E t, \] 其中 \( E \) 是系统的总能量（常数），而 \( W(q) \) 称为 哈密顿特征函数 。将其代入 \( H = E \) 的方程，得到 约化哈密顿-雅可比方程 （或称时间无关的哈密顿-雅可比方程）： \[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E. \] 此时，\( E \) 成为常数 \( \alpha \) 中的一个（例如 \( \alpha_ 1 = E \)）。特征函数 \( W(q; E, \alpha_ 2, \ldots, \alpha_ n) \) 的几何意义是“缩短作用量”，它描述了在等能面上运动的几何性质。运动方程的解现在由 \[ \frac{\partial W}{\partial E} = t - t_ 0, \quad \frac{\partial W}{\partial \alpha_ i} = \beta_ i \quad (i>1) \] 给出，这常常能简化计算，特别是在处理周期或束缚运动时。 第四步：从哈密顿主函数到波前与力线——通向波动力学的类比 哈密顿-雅可比理论为波动力学（薛定谔方程）提供了经典的“前身”。这种类比体现在： 波前与等作用面 ：在某一固定时刻 \( t \)，方程 \( S(q, t) = \text{常数} \) 定义了一个 \( q \)-空间中的曲面，称为 等作用面 或 波前 。随着时间演化，这个波前向前传播，类似于波动现象中的波阵面。 动量与波矢 ：关系 \( p = \nabla S \) 表明，动量矢量垂直于等作用面。在几何光学中，这对应于 程函方程 ，其中 \( S \) 是光程，\( \nabla S \) 的方向是光线（射线）方向，垂直于等光程面（波前）。这表明质点力学与光线的相似性。 力线与轨迹 ：由 \( p = \nabla S \) 确定的轨迹（经典路径）正交于等作用面族。在几何光学中，光线也正交于波前。这揭示了经典的质点轨迹与波前传播之间的深刻联系： 经典轨迹是波前的正交轨线 。 第五步：从经典到量子的过渡——WKB近似与半经典量子化 哈密顿-雅可比方程为理解量子力学的经典极限提供了天然框架，核心是WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）近似。 薛定谔方程的WKB试探解 ：考虑一维定态薛定谔方程： \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi. \] 代入试探解 \( \psi(x) = A(x) e^{iW(x)/\hbar} \)，并假设 \( \hbar \) 是小参数，将实部与虚部分开并按 \( \hbar \) 的幂次展开。 领头阶：哈密顿-雅可比方程 ：在 \( \hbar \to 0 \) 的极限下（领头阶），我们得到 \[ \frac{1}{2m} \left( \frac{dW}{dx} \right)^2 + V(x) = E, \] 这正是经典的特征函数 \( W \) 所满足的方程 \( p^2/(2m) + V = E \)，其中 \( p = dW/dx \)。因此，相位 \( W \) 就是经典的缩短作用量。 玻尔-索末菲量子化条件 ：在经典允许区域（\( E > V(x) \)），WKB波函数为振荡形式。为了保证波函数在经典转折点处的连接以及在全空间的单值性，要求作用量积分满足： \[ \oint_ C p \, dq = \oint_ C \frac{\partial W}{\partial q} dq = 2\pi \hbar (n + 1/2), \] 其中 \( C \) 是相空间中的闭合经典轨道。这正是旧量子论中的玻尔-索末菲量子化条件，它将经典的作用量量子化，从而得到离散的能级 \( E_ n \)。 总结 ：哈密顿主函数 \( S(q,t) \) 作为哈密顿-雅可比方程的完全解，不仅是求解经典运动方程的强大工具，更是连接经典力学与波动物理（几何光学、波动力学）的核心概念。它通过定义“作用量”的波前，将粒子轨迹与波传播统一起来，并最终通过WKB近似和量子化条件，架起了通向量子理论的桥梁。下一次，我们将探讨哈密顿-雅可比理论在可积系统中的应用，以及 作用量-角变量 的引入。