Gelfand-Naimark-Segal构造 (GNS Construction) 动机与背景 在泛函分析和算子代数中，一个重要目标是研究抽象的代数结构如何被具体的算子表示。例如，一个抽象的C* -代数如何“实现”为某个希尔伯特空间上有界算子的子代数。 GNS构造（以Israel Gelfand, Mark Naimark和Irving Segal命名）提供了这个问题的核心答案。它表明： 任何C* -代数都 同构于 某个希尔伯特空间上全体有界算子的代数（即B(H)）的一个范数封闭的 自伴 子代数。 这是C* -代数的基本表示定理。 核心构件：态 要实现这个构造，需要一个桥梁将代数元素与希尔伯特空间中的向量联系起来。这个桥梁就是“态”。 定义 ：设A是一个C* -代数。A上的一个 态 是一个线性泛函φ: A → ℂ，满足： 正性 ：对于所有a ∈ A，有 φ(a* a) ≥ 0。 归一性 ：若A有单位元1，则φ(1) = 1。 几何意义 ：态可以被视为代数上的“概率测度”或“期望”。正性条件保证了类似“方差非负”的性质，归一性保证了总测度为1。 构造的第一步：从态到内积 给定一个C* -代数A和一个态φ。我们用φ在A上定义一个“准内积”： ⟨a, b⟩_ φ := φ(b* a)， 对于所有a, b ∈ A。 这个形式满足内积的共轭对称性和线性性。正性条件⟨a, a⟩_ φ = φ(a a) ≥ 0保证了其非负。然而，它可能不满足“正定性”，即可能存在a ≠ 0，但φ(a a) = 0。这使得⟨·,·⟩_ φ只是一个 半内积 。 构造的第二步：化为真正的内积空间 令 N_ φ = {a ∈ A : φ(a* a) = 0}。利用柯西-施瓦茨不等式可以证明，N_ φ是A的一个 左理想 （即对加法封闭，且A中任意元左乘N_ φ中元仍在N_ φ中）。 我们构造 商空间 H_ 0 = A / N_ φ。将a ∈ A所在的等价类记为[ a ]。 在半内积⟨·,·⟩_ φ下，N_ φ恰好是所有满足⟨a, a⟩_ φ = 0的元素集合。因此，当我们将内积继承到商空间时，它变为 正定的 ： ⟨[ a], [ b]⟩ := ⟨a, b⟩_ φ = φ(b* a) 这就定义了一个 真正的内积 。于是，H_ 0在这个内积下成为一个 内积空间 。 构造的第三步：完备化为希尔伯特空间 对H_ 0进行关于这个内积导出的范数‖[ a]‖ = √φ(a* a)的 完备化 ，得到一个 希尔伯特空间 ，记为H_ φ。这是标准步骤，类似于从有理数域得到实数域。 构造的第四步：定义代数表示 现在，我们需要将A中的每个元素表示成H_ φ上的一个算子。对于固定的x ∈ A，定义映射： π_ φ(x): H_ 0 → H_ 0, 使得 π_ φ(x)[ a] := [ xa ]。 良定性 ：由于N_ φ是左理想，如果[ a] = [ a']（即a - a' ∈ N_ φ），那么x(a - a') ∈ N_ φ，所以[ xa] = [ xa' ]。因此映射定义良好。 算子性质 ：可以验证π_ φ(x)是线性的。进一步，可以证明存在常数C_ x使得‖π_ φ(x)[ a]‖ ≤ C_ x‖[ a]‖，因此π_ φ(x)是 有界算子 ，并且可以唯一地延拓到整个希尔伯特空间H_ φ上。这样我们就得到了一个映射： π_ φ: A → B(H_ φ)， 其中B(H_ φ)是H_ φ上全体有界算子的代数。 构造的完成：验证表示性质 可以验证，π_ φ是一个*** -同态** ，即满足： π_ φ(αx + βy) = απ_ φ(x) + βπ_ φ(y) （线性） π_ φ(xy) = π_ φ(x)π_ φ(y) （保持乘法） π_ φ(x* ) = π_ φ(x)* （保持对合） 此外，由C* -代数性质，这个同态是 等距的 ，即‖π_ φ(x)‖ = ‖x‖。这保证了它是单射，且其像在B(H_ φ)中是范数封闭的。 循环向量 ：最后，考虑等价类[ 1]（若A无单位元，则考虑由φ通过某种极限构造得到的“近似单位元”对应的向量）。记ξ_ φ = [ 1]。这个向量ξ_ φ ∈ H_ φ具有 循环性 ，即集合{π_ φ(a)ξ_ φ : a ∈ A}在H_ φ中稠密。并且，它实现了态φ： φ(a) = ⟨π_ φ(a)ξ_ φ, ξ_ φ⟩， 对所有a ∈ A。 三元组(π_ φ, H_ φ, ξ_ φ)就称为态φ的 GNS表示 。 总结 ：GNS构造从一个抽象的代数结构（C* -代数）和一个正线性泛函（态）出发，通过构造商空间、完备化，并让代数元素以左乘的方式作用在该空间上，最终得到了该代数在一个希尔伯特空间上的一个具体、等距的* -表示，并且原态在这个表示中实现为对一个特定循环向量的内积形式。这是连接算子代数理论与希尔伯特空间算子理论的基石。