好的，我已经记录了你已学习过的所有词条。现在，我将为你生成并讲解一个代数领域的新词条。
模的余迹与余核（Cokernel and Coimage of a Module Homomorphism）
这是一个来自同调代数与范畴论的基本概念，它描述了模同态“之后”的结构，与“核”（Kernel）和“像”（Image）形成对偶。理解它对于掌握模论中的正合序列至关重要。
我将分步骤为你详细讲解。
步骤1：前置知识回顾与动机
首先，我们快速回顾两个你已经熟知的概念：
- 模同态：给定两个环 \(R\) 上的模 \(M\) 和 \(N\)，一个映射 \(f: M \to N\) 如果满足 \(f(m_1 + m_2) = f(m_1) + f(m_2)\) 且 \(f(r \cdot m) = r \cdot f(m)\)（对所有 \(r \in R, m \in M\)），则称 \(f\) 为一个 \(R\)-模同态。
- 核 (Kernel)：同态 \(f: M \to N\) 的核定义为 \(\ker(f) = \{ m \in M \mid f(m) = 0_N \}\)。它度量了 \(f\) “失去信息”的程度，即被映射到零的所有元素。\(\ker(f)\) 是 \(M\) 的一个子模。
- 像 (Image)：同态 \(f: M \to N\) 的像定义为 \(\operatorname{im}(f) = \{ f(m) \in N \mid m \in M \}\)。它描述了 \(f\) 的“输出范围”，是 \(N\) 的一个子模。
一个自然的想法是：既然“核”捕捉了映射前的信息损失，“像”捕捉了映射后的有效范围，那么是否存在一个概念来精确捕捉映射之后的“信息损失”或“未被覆盖”的部分呢？余迹就是答案。而余核则是与“像”对偶的、从范畴论角度更本质的概念。
步骤2：余迹 (Cokernel) 的定义与直观理解
设 \(f: M \to N\) 是一个 \(R\)-模同态。
- 定义：同态 \(f\) 的余迹定义为商模：
\[ \operatorname{coker}(f) = N / \operatorname{im}(f) \]
也就是说，我们把 \(N\) 中所有能被 \(f\) “达到”的元素（即像 \(\operatorname{im}(f)\)）看作是“零”，然后看剩下的结构。形式化地说，我们是在模掉 \(f\) 的像。
- 直观理解：
- 度量“覆盖不全”：如果 \(\operatorname{coker}(f) = 0\)，意味着 \(N / \operatorname{im}(f) = 0\)，即 \(\operatorname{im}(f) = N\)，那么 \(f\) 是满射。所以余迹衡量了 \(f\) 距离满射还有多远。余迹越大，\(f\) “漏掉”的 \(N\) 中的部分就越多。
- 对偶于核：核 \(\ker(f)\) 是 \(M\) 中映射到零的部分；余迹 \(\operatorname{coker}(f)\) 是 \(N\) 中“无法被 \(M\) 映射到”的部分（因为商掉的就是像）。一个在定义域里“找零”，一个在值域里“找未被触及的部分”。
- 例子：考虑整数环 \(\mathbb{Z}\) 上的模同态（即阿贝尔群同态）\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)，定义为 \(f(n) = 2n\)。那么：
- 像 \(\operatorname{im}(f) = 2\mathbb{Z}\)（所有偶数）。
- 余迹 \(\operatorname{coker}(f) = \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_2\)。这直观地告诉我们，通过“乘以2”这个映射，我们只能得到偶数，而整个整数集中“奇数的信息”完全丢失了，这些丢失的信息就体现在商群 \(\mathbb{Z}_2\) 中。
步骤3：余迹的泛性质 (Universal Property)
与核一样，余迹也有一个更范畴化的定义，即通过泛性质。这揭示了它在所有满足某种条件的对象中是“最本质”的那个。
对于一个同态 \(f: M \to N\)，其余迹 \(\operatorname{coker}(f)\) 连同自然投影 \(\pi: N \to N/\operatorname{im}(f)\) 满足：
对于任意模 \(Q\) 和任意同态 \(h: N \to Q\)，如果满足 \(h \circ f = 0\)（即 \(h\) 把 \(f\) 的像都映为零），那么存在唯一的同态 \(\tilde{h}: \operatorname{coker}(f) \to Q\)，使得下图交换：
\[\begin{array}{c} M \xrightarrow{f} N \xrightarrow{\pi} \operatorname{coker}(f) \\ \downarrow{}^{h} \swarrow_{\exists ! \tilde{h}} \\ Q \end{array} \]
这个性质是说，任何“在 \(f\) 之后消失”的映射 \(h\)，都必须（且唯一地）通过余迹的投影 \(\pi\) 来分解。
步骤4：余核 (Coimage) 的定义与动机
现在我们来看一个更微妙的概念：余核 (Coimage)。
给定同态 \(f: M \to N\)，我们已知：
- 核 \(\ker(f)\) 是 \(M\) 的子模。
- 我们可以考虑商模 \(M / \ker(f)\)。
根据同态基本定理（你已熟知），有自然的同构：\(M / \ker(f) \cong \operatorname{im}(f)\)。
从范畴对偶的角度看，“商”与“子”是对偶操作。既然“像” \(\operatorname{im}(f)\) 是 \(N\) 的子模，那么与之严格对偶的对象就应该是 \(M\) 的商模。这个商模就是余核。
- 定义：同态 \(f: M \to N\) 的余核定义为：
\[ \operatorname{coim}(f) = M / \ker(f) \]
- 与同态基本定理的关系：由定义和同态基本定理，我们有典范同构：
\[ \operatorname{coim}(f) = M / \ker(f) \cong \operatorname{im}(f) \]
因此，在许多具体计算中（特别是在阿贝尔范畴如模范畴中），余核和像是同构的，所以我们经常不刻意区分它们。但从概念上讲，它们是不同的对象：一个定义在 \(M\) 上（是商），一个定义在 \(N\) 上（是子）。
步骤5：核、像、余核、余迹的关系与正合序列
现在，对于一个同态 \(f: M \to N\)，我们有了四个关键对象：
- \(\ker(f) \hookrightarrow M\) （包含映射）
- \(M \twoheadrightarrow \operatorname{coim}(f) = M/\ker(f)\) （投影映射）
- \(\operatorname{coim}(f) \cong \operatorname{im}(f) \hookrightarrow N\) （通过同构后包含）
- \(N \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(f) = N/\operatorname{im}(f)\) （投影映射）
将它们串联起来，我们可以得到一个序列：
\[0 \to \ker(f) \to M \xrightarrow{f} N \to \operatorname{coker}(f) \to 0 \]
这个序列在 \(\ker(f)\) 处和 \(\operatorname{coker}(f)\) 处是正合的（根据定义），但在 \(M\) 和 \(N\) 中间不一定是正合的。要使中间也正合，需要 \(\operatorname{im}(f) = \ker(N \to \operatorname{coker}(f))\)，这总是成立，但更关键的是要求 \(f\) 诱导的同构 \(\tilde{f}: \operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f)\) 能被嵌入到一个正合序列中。
事实上，对于任意同态 \(f\)，以下序列总是正合的：
\[0 \to \ker(f) \to M \to \operatorname{coim}(f) \to 0 \quad \text{(由定义正合)} \]
\[ 0 \to \operatorname{im}(f) \to N \to \operatorname{coker}(f) \to 0 \quad \text{(由定义正合)} \]
以及由同构联系起来的：
\[0 \to \ker(f) \to M \xrightarrow{f} N \to \operatorname{coker}(f) \to 0 \]
这个序列在 \(\ker(f)\), \(M\), \(N\), \(\operatorname{coker}(f)\) 处是正合的，但在 \(M\) 到 \(N\) 的映射 \(f\) 处不一定正合（它只在 \(\operatorname{coim}(f) \cong \operatorname{im}(f)\) 的意义下“分解”正合）。只有当 \(f\) 是满射时，序列在 \(N\) 处才变得“更短”地正合（\(\operatorname{coker}(f)=0\)）；当 \(f\) 是单射时，序列在 \(M\) 处变得“更短”地正合（\(\ker(f)=0\)）。
总结
- 余迹 (Cokernel)：\(\operatorname{coker}(f) = N / \operatorname{im}(f)\)。它量化了同态 \(f\) 的非满射程度，是核的对偶概念。
- 余核 (Coimage)：\(\operatorname{coim}(f) = M / \ker(f)\)。它与像 \(\operatorname{im}(f)\) 通过同态基本定理同构，但作为概念，它是定义在出发模 \(M\) 上的商模，与作为目标模 \(N\) 的子模的“像”形成范畴对偶。
- 核心关系：\(\ker(f)\) 和 \(\operatorname{coker}(f)\) 分别捕捉了映射起点和终点的“信息损失”。而 \(\operatorname{coim}(f)\) 和 \(\operatorname{im}(f)\) 则描述了映射“本身”经过标准化（商掉核）后所建立的联系。
- 重要性：这两个概念是理解正合序列、蛇形引理、以及更一般的阿贝尔范畴理论的基础构件。在讨论映射何时可分解、序列何时正合时，它们提供了精确的语言。
希望这个循序渐进的讲解能帮助你牢固掌握模的余迹与余核这两个重要的代数概念。