旋转曲面的面积计算
字数 2252 2025-12-08 07:56:55

旋转曲面的面积计算

首先明确什么是旋转曲面：一条平面曲线绕该平面内的一条定直线旋转一周所生成的曲面。
给定一条曲线，我们需要计算它旋转后所得曲面的面积。下面分步骤讲解。

1. 平面曲线的表示
设曲线在 \(xOy\) 平面上由函数 \(y = f(x)\) 给出，且 \(f(x) \geq 0\) 且在区间 \([a, b]\) 上连续可导。
将曲线绕 \(x\) 轴旋转，得到旋转曲面。

2. 面积计算的直观思路
在曲线 \(y = f(x)\) 上取一小段弧长 \(\mathrm{d}s\)。
当这一小段绕 \(x\) 轴旋转时，它生成一个“窄带”，形状近似为圆台的侧面（当 \(f'(x)\) 不为常数时）或圆柱的侧面（当 \(f'(x)=0\) 时）。
这个窄带的面积近似等于

\[\text{弧长} \times \text{旋转时重心所走圆的周长} \]

更直接地，用“以弧长为宽，以该点处圆周长为高”的带状面积来思考：
在点 \((x, f(x))\) 处，旋转半径是 \(R = f(x)\)，因此小弧段 \(\mathrm{d}s\) 扫过的面积微元：

\[\mathrm{d}A = 2\pi R \cdot \mathrm{d}s = 2\pi f(x) \cdot \mathrm{d}s. \]

3. 弧长微元 \(\mathrm{d}s\) 的公式
我们知道

\[\mathrm{d}s = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \]

于是

\[\mathrm{d}A = 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \]

4. 积分公式
旋转曲面面积

\[S = \int_{x=a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \]

通常写作

\[S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \, \mathrm{d}x. \]

5. 曲线由参数方程给出的情形
如果曲线由参数方程 \(x = x(t),\ y = y(t)\) (\(t \in [t_1, t_2]\)，且 \(y(t) \ge 0\))，绕 \(x\) 轴旋转，则弧长微元

\[\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t. \]

面积公式变为

\[S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t. \]

6. 绕 y 轴旋转的情况
如果曲线 \(y = f(x)\) 绕 \(y\) 轴旋转，则旋转半径是 \(x\)，公式为

\[S = 2\pi \int_{a}^{b} x \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x. \]

注意此时要求 \(x \ge 0\) 以保证半径非负（若曲线在 y 轴两侧，需分段处理，取 \(|x|\) 作为半径）。

7. 举例
例1：求 \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) （上半圆）绕 \(x\) 轴旋转得到的球面面积。
绕 \(x\) 轴旋转就是球面，但这里只取上半圆旋转，即半个球面？不，上半圆绕 \(x\) 轴旋转得到整个球面吗？不对，注意上半圆绕其直径（x轴）旋转得到的是完整的球面，因为上半圆在旋转时 y 坐标非负，但旋转一周时每个对应点会生成整个球面。
我们直接用公式：

\[y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}, \quad 1+(y')^2 = 1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2} = \frac{r^2}{r^2 - x^2}. \]

于是

\[S = 2\pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} \, \mathrm{d}x = 2\pi \int_{-r}^{r} r \, \mathrm{d}x = 4\pi r^2. \]

这正是球面面积公式。

8. 注意事项

  • 公式 \(S = 2\pi \int y \, \mathrm{d}s\) 只适用于绕 \(x\) 轴旋转且曲线在轴同侧（\(y \ge 0\)）。
  • 若绕 \(y\) 轴旋转，则用 \(S = 2\pi \int x \, \mathrm{d}s\)（要求 \(x \ge 0\)）。
  • 当曲线自身在旋转轴两侧时，必须用 \(|R|\) 代替半径，即 \(S = 2\pi \int |R| \, \mathrm{d}s\)，其中 \(R\) 是曲线上点到旋转轴的垂直距离。
旋转曲面的面积计算 首先明确什么是旋转曲面：一条平面曲线绕该平面内的一条定直线旋转一周所生成的曲面。 给定一条曲线，我们需要计算它旋转后所得曲面的面积。下面分步骤讲解。 1. 平面曲线的表示 设曲线在 \(xOy\) 平面上由函数 \(y = f(x)\) 给出，且 \(f(x) \geq 0\) 且在区间 \([ a, b ]\) 上连续可导。 将曲线绕 \(x\) 轴旋转，得到旋转曲面。 2. 面积计算的直观思路 在曲线 \(y = f(x)\) 上取一小段弧长 \(\mathrm{d}s\)。 当这一小段绕 \(x\) 轴旋转时，它生成一个“窄带”，形状近似为圆台的侧面（当 \(f'(x)\) 不为常数时）或圆柱的侧面（当 \(f'(x)=0\) 时）。 这个窄带的面积近似等于 \[ \text{弧长} \times \text{旋转时重心所走圆的周长} \] 更直接地，用“以弧长为宽，以该点处圆周长为高”的带状面积来思考： 在点 \((x, f(x))\) 处，旋转半径是 \(R = f(x)\)，因此小弧段 \(\mathrm{d}s\) 扫过的面积微元： \[ \mathrm{d}A = 2\pi R \cdot \mathrm{d}s = 2\pi f(x) \cdot \mathrm{d}s. \] 3. 弧长微元 \(\mathrm{d}s\) 的公式 我们知道 \[ \mathrm{d}s = \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, \mathrm{d}x. \] 于是 \[ \mathrm{d}A = 2\pi f(x) \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, \mathrm{d}x. \] 4. 积分公式 旋转曲面面积 \[ S = \int_ {x=a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, \mathrm{d}x. \] 通常写作 \[ S = 2\pi \int_ {a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \, \mathrm{d}x. \] 5. 曲线由参数方程给出的情形 如果曲线由参数方程 \(x = x(t),\ y = y(t)\) (\(t \in [ t_ 1, t_ 2 ]\)，且 \(y(t) \ge 0\))，绕 \(x\) 轴旋转，则弧长微元 \[ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t. \] 面积公式变为 \[ S = 2\pi \int_ {t_ 1}^{t_ 2} y(t) \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t. \] 6. 绕 y 轴旋转的情况 如果曲线 \(y = f(x)\) 绕 \(y\) 轴旋转，则旋转半径是 \(x\)，公式为 \[ S = 2\pi \int_ {a}^{b} x \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, \mathrm{d}x. \] 注意此时要求 \(x \ge 0\) 以保证半径非负（若曲线在 y 轴两侧，需分段处理，取 \(|x|\) 作为半径）。 7. 举例 例1：求 \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) （上半圆）绕 \(x\) 轴旋转得到的球面面积。 绕 \(x\) 轴旋转就是球面，但这里只取上半圆旋转，即半个球面？不，上半圆绕 \(x\) 轴旋转得到整个球面吗？不对，注意上半圆绕其直径（x轴）旋转得到的是完整的球面，因为上半圆在旋转时 y 坐标非负，但旋转一周时每个对应点会生成整个球面。 我们直接用公式： \[ y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}, \quad 1+(y')^2 = 1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2} = \frac{r^2}{r^2 - x^2}. \] 于是 \[ S = 2\pi \int_ {-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} \, \mathrm{d}x = 2\pi \int_ {-r}^{r} r \, \mathrm{d}x = 4\pi r^2. \] 这正是球面面积公式。 8. 注意事项 公式 \(S = 2\pi \int y \, \mathrm{d}s\) 只适用于绕 \(x\) 轴旋转且曲线在轴同侧（\(y \ge 0\)）。 若绕 \(y\) 轴旋转，则用 \(S = 2\pi \int x \, \mathrm{d}s\)（要求 \(x \ge 0\)）。 当曲线自身在旋转轴两侧时，必须用 \(|R|\) 代替半径，即 \(S = 2\pi \int |R| \, \mathrm{d}s\)，其中 \(R\) 是曲线上点到旋转轴的垂直距离。