勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的绝对连续性与奇异分解 我们首先明确 勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 （LS测度）与普通勒贝格测度的关系。设F是定义在R上的右连续单调递增函数，它诱导出一个LS测度μ_ F。现在引入一个核心比较工具： 绝对连续性 。 绝对连续性的定义 ：设μ和ν是同一个可测空间上的两个测度。如果对于任意可测集A，只要ν(A)=0，就必有μ(A)=0，则称μ 关于ν绝对连续 ，记作μ<<ν。这是测度论中描述“一个测度被另一个测度所控制”的精确方式。在LS测度的语境下，我们尤其关心μ_ F是否关于一维勒贝格测度m绝对连续。 函数的绝对连续性如何关联测度 ：如果函数F是绝对连续的（在经典分析意义上：对任意ε>0，存在δ>0，使得任意有限个互不相交的开区间{(a_ k, b_ k)}，若Σ(b_ k - a_ k) < δ，则Σ|F(b_ k) - F(a_ k)| < ε），那么它所诱导的LS测度μ_ F 关于勒贝格测度m绝对连续 。反之，如果μ_ F<<m，则存在一个绝对连续函数F（本质上唯一），使得μ_ F由F生成。这里，函数的绝对连续性与测度的绝对连续性通过 勒贝格-拉东-尼科迪姆定理 紧密联系：μ_ F<<m当且仅当存在一个非负的、勒贝格可积的函数f∈L^1(m)，使得对任何博雷尔集B，有μ_ F(B)=∫_ B f dm。这个f称为 拉东-尼科迪姆导数 ，记作dμ_ F/dm = f，并且它几乎处处等于函数F的经典导数F'。 奇异测度 ：这是绝对连续的对立面。称测度μ 关于ν奇异 （记作μ⊥ν），如果存在可测集A，使得ν(A)=0且μ(A^c)=0。直观上，两个测度“居住”在完全不相交的集合上。在R上，关于勒贝格测度m奇异的LS测度μ_ F的典型例子是由 康托尔函数 （或称“魔鬼阶梯”）生成的测度。这个测度“全部质量”都集中在勒贝格测度为零的康托尔集上。 勒贝格分解定理的测度论表述 ：现在我们可以陈述一个关于LS测度的深刻结构定理。设μ_ F是由右连续单调递增函数F生成的LS测度。则μ_ F可以 唯一地 分解为以下两部分之和： μ_ F = μ_ {ac} + μ_ {s} 其中： μ_ {ac} 是 绝对连续部分 ，满足 μ_ {ac} << m。它对应于F的绝对连续分量F_ {ac}，且有dμ_ {ac}/dm = F'_ {ac}。 μ_ {s} 是 奇异部分 ，满足 μ_ {s} ⊥ m。它又可以进一步分解为 奇异连续部分 μ_ {sc}和 纯点部分 （或原子部分）μ_ {pp}的和，即 μ_ {s} = μ_ {sc} + μ_ {pp}。 纯点部分 μ_ {pp}：质量完全集中在至多可数个点上（即F是跳变函数）。 奇异连续部分 μ_ {sc}：它是奇异的，但又不是集中在离散点上（连续但导数几乎处处为0，如康托尔测度）。 对应的函数分解 ：上述测度分解直接诱导了生成函数F的分解： F = F_ {ac} + F_ {sc} + F_ {j} 其中F_ {ac}绝对连续，F_ {sc}奇异连续，F_ {j}是跳变函数（纯点部分）。这个分解是唯一的，并且函数F在一点x的取值可以表示为F_ {ac}(x)=∫ a^x F'(t)dt， F {j}(x)=Σ_ {a_ n ≤ x}[ F(a_ n)-F(a_ n-)]，而F_ {sc}是一个连续的单调函数，但其导数几乎处处为零。 这个 绝对连续与奇异的分解 ，深刻地揭示了任何一个LS测度（或单调函数）的内在结构：它总可以被清晰地分离为“拥有良好密度”的部分和“集中在零测集上”的病理部分。这是实变函数论和测度论中理解测度和函数复杂性的基本范式。