哈尔测度的模函数与商测度的关系
字数 3311 2025-12-08 01:37:13

哈尔测度的模函数与商测度的关系

好的，我们现在开始一个新词条的讲解。这个主题将连接哈尔测度的两个核心概念——模函数与商测度，揭示它们如何共同刻画齐性空间上的测度结构。

我将分步、细致地为你解释。

第一步：回顾基础——哈尔测度与模函数

  1. 哈尔测度：对于一个局部紧拓扑群 \(G\)，哈尔测度 \(\mu_G\) 是一个（在相差正数倍意义下）唯一的、正则的、左不变的（或右不变的）正博雷尔测度。“左不变”意味着对任意博雷尔集 \(E \subset G\) 和任意 \(g \in G\)，有 \(\mu_G(gE) = \mu_G(E)\)。我们通常选定一个左哈尔测度。

  2. 模函数：对于选定的左哈尔测度 \(\mu_G\)，我们考虑它的右平移变换。对固定的 \(h \in G\)，定义一个新的测度 \(\mu_h(E) = \mu_G(Eh)\)。由于右平移也是拓扑群的自同构，且 \(\mu_h\) 仍然是左不变的（你可以验证：\(\mu_h(gE) = \mu_G(gEh) = \mu_G(Eh) = \mu_h(E)\)），根据哈尔测度的唯一性，存在一个正数 \(\Delta_G(h)\) 使得 \(\mu_h = \Delta_G(h) \mu_G\)。即：

\[ \mu_G(Eh) = \Delta_G(h) \mu_G(E), \quad \forall E \text{ 博雷尔集}。 \]

这个函数 \(\Delta_G: G \to (0, \infty)\) 称为群 \(G\) 的模函数。它是连续的群同态。如果 \(\Delta_G \equiv 1\)，则左哈尔测度同时也是右不变的，这样的群称为幺模群（如阿贝尔群、紧群）。

第二步：引入新结构——齐性空间与商测度

  1. 齐性空间：设 \(H\) 是 \(G\) 的一个闭子群。考虑左陪集空间 \(G/H = \{ gH : g \in G \}\)，赋予商拓扑。这个空间称为齐性空间，因为群 \(G\) 通过左平移 \(g’ \cdot (gH) = (g’g)H\) 连续可迁地作用其上。

  2. 商测度问题：一个自然的问题是：能否在商空间 \(G/H\) 上构造一个与群作用“相容”的自然测度？具体来说，我们希望找到一个 \(G\)-不变的（或准不变的）正则博雷尔测度 \(\mu_{G/H}\) 在 \(G/H\) 上。这本质上是希望将 \(G\) 上的哈尔测度“投影”或“约化”到商空间上。

第三步：建立核心关系——模函数条件

  1. 关键观察：并非对任意闭子群 \(H\)，\(G/H\) 上都存在 \(G\)-不变的测度。存在性的充要条件与模函数密切相关。

  2. 限制模函数：考虑 \(G\) 的模函数 \(\Delta_G\) 在子群 \(H\) 上的限制 \(\Delta_G|_H\)。同时，子群 \(H\) 自身也是一个局部紧群，它也有自己的模函数 \(\Delta_H\)。

  3. 模函数条件：在 \(G/H\) 上存在一个（在正数倍意义下）唯一的 \(G\)-不变的正则博雷尔测度 \(\mu_{G/H}\) 的充要条件是：

\[ \Delta_G(h) = \Delta_H(h), \quad \forall h \in H。 \]

这个条件意味着，从大群 \(G\) 的视角看的“右平移伸缩因子”（即 \(\Delta_G(h)\)），与从小群 \(H\) 自身视角看的“右平移伸缩因子”（即 \(\Delta_H(h)\)），在子群 \(H\) 上必须完全一致。

第四步：理解条件与构造

  1. 直观理解：为什么是这个条件？想象我们想用 \(G\) 上的哈尔测度通过某种“纤维化”积分在 \(G/H\) 上定义测度。这个过程涉及到沿着陪集（即 \(H\)-轨道）积分。为了保证最终定义的 \(\mu_{G/H}\) 是良定义的且 \(G\)-不变的，沿不同纤维（陪集）的“体积”比较必须协调一致。模函数条件 \(\Delta_G|_H = \Delta_H\) 正是保证了这种协调性。它使得当我们用 \(H\) 上的哈尔测度 \(\mu_H\) 来“测量”纤维时，所得到的商测度不依赖于代表元 \(g\) 的选择。

  2. 构造草图（当条件满足时）：

  • 在 \(G\) 上选取左哈尔测度 \(\mu_G\) 和 \(\mu_H\)。
  • 对于 \(G/H\) 上的紧支撑连续函数 \(F\)，将其提升为 \(G\) 上的函数 \(\tilde{F}(g) = F(gH)\)。
  • 然后，利用 \(H\) 上的哈尔测度，定义一个 \(G\)-不变的平均：选取 \(G\) 上一个紧支撑连续函数 \(\varphi\)，使得其沿 \(H\)-轨道的积分 \(\int_H \varphi(gh) d\mu_H(h)\) 在 \(gH\) 上非零且可归一化（这需要用到条件）。
  • 最终，商测度 \(\mu_{G/H}\) 可以通过公式定义：

\[ \int_{G/H} F \, d\mu_{G/H} = \int_G \tilde{F}(g) \varphi(g) \, d\mu_G(g) \quad \text{（在恰当的归一化下）}， \]

或者更标准地，通过“ Weil 公式 ” 或 “ 商积分公式 ” 来刻画：存在归一化常数，使得对 \(G\) 上适当函数 \(f\)，有

\[ \int_G f(g) \, d\mu_G(g) = \int_{G/H} \left( \int_H f(gh) \, d\mu_H(h) \right) d\mu_{G/H}(gH)。 \]

模函数条件保证了右边内层积分定义的函数是左 \(H\)-不变的，从而可以视为 \(G/H\) 上的函数，使得整个公式有意义且不矛盾。

第五步：推论与特例

  1. 重要特例：
  • 如果 \(H\) 是紧子群，则 \(\Delta_H \equiv 1\)（因为紧群是幺模的）。此时模函数条件简化为 \(\Delta_G|_H \equiv 1\)。特别地，如果 \(G\) 是幺模群（\(\Delta_G \equiv 1\)），则对任意闭子群 \(H\)，条件自动满足。但即使 \(G\) 非幺模，只要其模函数在紧子群 \(H\) 上限制为 1，商测度就存在。这解释了为什么在紧子群（如旋转群）的商空间（如球面）上，总存在自然的 \(G\)-不变测度（如球面上的面积元）。
  • 如果 \(H\) 是正规闭子群，则 \(G/H\) 本身是一个群。此时模函数条件等价于说 \(G/H\) 的模函数 \(\Delta_{G/H}\) 与 \(\Delta_G, \Delta_H\) 通过关系 \(\Delta_G(g) = \Delta_H(g) \Delta_{G/H}(gH)\) 相联系。商测度 \(\mu_{G/H}\) 实际上就是商群 \(G/H\) 上的哈尔测度。

总结：
哈尔测度的模函数是群自身结构的一个标量因子，而商测度是在齐性空间上构造不变测度的对象。它们通过等式 \(\Delta_G|_H = \Delta_H\) 紧密相连：这个等式是齐性空间 \(G/H\) 上存在 \(G\)-不变测度的充要条件。它深刻反映了群的测度性质（由模函数刻画）与子群的测度性质在商构造中必须相容，是调和分析特别是齐性空间上积分理论的一块基石。

哈尔测度的模函数与商测度的关系 好的，我们现在开始一个新词条的讲解。这个主题将连接哈尔测度的两个核心概念——模函数与商测度，揭示它们如何共同刻画齐性空间上的测度结构。 我将分步、细致地为你解释。 第一步：回顾基础——哈尔测度与模函数 哈尔测度 ：对于一个局部紧拓扑群 \( G \)，哈尔测度 \( \mu_ G \) 是一个（在相差正数倍意义下）唯一的、正则的、左不变的（或右不变的）正博雷尔测度。“左不变”意味着对任意博雷尔集 \( E \subset G \) 和任意 \( g \in G \)，有 \( \mu_ G(gE) = \mu_ G(E) \)。我们通常选定一个左哈尔测度。 模函数 ：对于选定的左哈尔测度 \( \mu_ G \)，我们考虑它的 右平移变换 。对固定的 \( h \in G \)，定义一个新的测度 \( \mu_ h(E) = \mu_ G(Eh) \)。由于右平移也是拓扑群的自同构，且 \( \mu_ h \) 仍然是左不变的（你可以验证：\( \mu_ h(gE) = \mu_ G(gEh) = \mu_ G(Eh) = \mu_ h(E) \)），根据哈尔测度的唯一性，存在一个正数 \( \Delta_ G(h) \) 使得 \( \mu_ h = \Delta_ G(h) \mu_ G \)。即： \[ \mu_ G(Eh) = \Delta_ G(h) \mu_ G(E), \quad \forall E \text{ 博雷尔集}。 \] 这个函数 \( \Delta_ G: G \to (0, \infty) \) 称为群 \( G \) 的 模函数 。它是连续的群同态。如果 \( \Delta_ G \equiv 1 \)，则左哈尔测度同时也是右不变的，这样的群称为 幺模群 （如阿贝尔群、紧群）。 第二步：引入新结构——齐性空间与商测度 齐性空间 ：设 \( H \) 是 \( G \) 的一个 闭 子群。考虑左陪集空间 \( G/H = \{ gH : g \in G \} \)，赋予商拓扑。这个空间称为 齐性空间 ，因为群 \( G \) 通过左平移 \( g’ \cdot (gH) = (g’g)H \) 连续可迁地作用其上。 商测度问题 ：一个自然的问题是：能否在商空间 \( G/H \) 上构造一个与群作用“相容”的自然测度？具体来说，我们希望找到一个 \( G \)-不变的（或准不变的）正则博雷尔测度 \( \mu_ {G/H} \) 在 \( G/H \) 上。这本质上是希望将 \( G \) 上的哈尔测度“投影”或“约化”到商空间上。 第三步：建立核心关系——模函数条件 关键观察 ：并非对任意闭子群 \( H \)，\( G/H \) 上都存在 \( G \)-不变的测度。存在性的 充要条件 与模函数密切相关。 限制模函数 ：考虑 \( G \) 的模函数 \( \Delta_ G \) 在子群 \( H \) 上的限制 \( \Delta_ G|_ H \)。同时，子群 \( H \) 自身也是一个局部紧群，它也有自己的模函数 \( \Delta_ H \)。 模函数条件 ：在 \( G/H \) 上存在一个（在正数倍意义下）唯一的 \( G \)-不变的正则博雷尔测度 \( \mu_ {G/H} \) 的 充要条件 是： \[ \Delta_ G(h) = \Delta_ H(h), \quad \forall h \in H。 \] 这个条件意味着，从大群 \( G \) 的视角看的“右平移伸缩因子”（即 \( \Delta_ G(h) \)），与从小群 \( H \) 自身视角看的“右平移伸缩因子”（即 \( \Delta_ H(h) \)），在子群 \( H \) 上必须完全一致。 第四步：理解条件与构造 直观理解 ：为什么是这个条件？想象我们想用 \( G \) 上的哈尔测度通过某种“纤维化”积分在 \( G/H \) 上定义测度。这个过程涉及到沿着陪集（即 \( H \)-轨道）积分。为了保证最终定义的 \( \mu_ {G/H} \) 是良定义的且 \( G \)-不变的，沿不同纤维（陪集）的“体积”比较必须协调一致。模函数条件 \( \Delta_ G|_ H = \Delta_ H \) 正是保证了这种协调性。它使得当我们用 \( H \) 上的哈尔测度 \( \mu_ H \) 来“测量”纤维时，所得到的商测度不依赖于代表元 \( g \) 的选择。 构造草图（当条件满足时） ： 在 \( G \) 上选取左哈尔测度 \( \mu_ G \) 和 \( \mu_ H \)。 对于 \( G/H \) 上的紧支撑连续函数 \( F \)，将其提升为 \( G \) 上的函数 \( \tilde{F}(g) = F(gH) \)。 然后，利用 \( H \) 上的哈尔测度，定义一个 \( G \)-不变的平均：选取 \( G \) 上一个紧支撑连续函数 \( \varphi \)，使得其沿 \( H \)-轨道的积分 \( \int_ H \varphi(gh) d\mu_ H(h) \) 在 \( gH \) 上非零且可归一化（这需要用到条件）。 最终，商测度 \( \mu_ {G/H} \) 可以通过公式定义： \[ \int_ {G/H} F \, d\mu_ {G/H} = \int_ G \tilde{F}(g) \varphi(g) \, d\mu_ G(g) \quad \text{（在恰当的归一化下）}， \] 或者更标准地，通过“ Weil 公式 ” 或 “ 商积分公式 ” 来刻画：存在归一化常数，使得对 \( G \) 上适当函数 \( f \)，有 \[ \int_ G f(g) \, d\mu_ G(g) = \int_ {G/H} \left( \int_ H f(gh) \, d\mu_ H(h) \right) d\mu_ {G/H}(gH)。 \] 模函数条件保证了右边内层积分定义的函数是左 \( H \)-不变的，从而可以视为 \( G/H \) 上的函数，使得整个公式有意义且不矛盾。 第五步：推论与特例 重要特例 ： 如果 \( H \) 是 紧 子群，则 \( \Delta_ H \equiv 1 \)（因为紧群是幺模的）。此时模函数条件简化为 \( \Delta_ G|_ H \equiv 1 \)。特别地，如果 \( G \) 是幺模群（\( \Delta_ G \equiv 1 \)），则对任意闭子群 \( H \)，条件自动满足。但即使 \( G \) 非幺模，只要其模函数在紧子群 \( H \) 上限制为 1，商测度就存在。这解释了为什么在紧子群（如旋转群）的商空间（如球面）上，总存在自然的 \( G \)-不变测度（如球面上的面积元）。 如果 \( H \) 是 正规 闭子群，则 \( G/H \) 本身是一个群。此时模函数条件等价于说 \( G/H \) 的模函数 \( \Delta_ {G/H} \) 与 \( \Delta_ G, \Delta_ H \) 通过关系 \( \Delta_ G(g) = \Delta_ H(g) \Delta_ {G/H}(gH) \) 相联系。商测度 \( \mu_ {G/H} \) 实际上就是商群 \( G/H \) 上的哈尔测度。 总结 ： 哈尔测度的 模函数 是群自身结构的一个标量因子，而 商测度 是在齐性空间上构造不变测度的对象。它们通过等式 \( \Delta_ G|_ H = \Delta_ H \) 紧密相连：这个等式是齐性空间 \( G/H \) 上存在 \( G \)-不变测度的 充要条件 。它深刻反映了群的测度性质（由模函数刻画）与子群的测度性质在商构造中必须相容，是调和分析特别是齐性空间上积分理论的一块基石。