平行四边形的欧拉定理在n维空间中的推广（续三）
我们继续深入探讨平行四边形欧拉定理在n维空间中的推广。在前面的讨论中，我们介绍了该定理在高维空间中的基本形式，即关于高维平行多面体（如平行六面体）的“边长平方和”与“对角线平方和”的关系。现在，我们将聚焦于该定理在更一般的n维向量空间中的表述、证明以及其几何意义。
1. 定理的精确n维表述
在n维欧几里得空间中，考虑一个由n个线性无关的向量 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n\) 张成的n维平行多面体（或称超平行六面体）。这个多面体的所有顶点可以表示为：
\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n \epsilon_i \mathbf{a}_i \]
其中每个 \(\epsilon_i\) 取0或1。这个多面体有 \(2^n\) 个顶点。
该n维平行多面体的欧拉定理表述为：
所有“棱”（即由只有一个 \(\epsilon_i\) 不同的两个顶点连成的边）的长度的平方和，等于其所有“主对角线”（即由所有 \(\epsilon_i\) 都不同的两个顶点连成的线段）的长度的平方和的一半。
更精确地：
- 棱的集合：对于每个维度 \(k\) (1 ≤ k ≤ n)，有 \(2^{n-1}\) 条棱平行于向量 \(\mathbf{a}_k\)。每条这样的棱长度平方为 \(\|\mathbf{a}_k\|^2\)。因此，所有棱的长度平方和为：
\[ S_{\text{edges}} = \sum_{k=1}^n 2^{n-1} \|\mathbf{a}_k\|^2 = 2^{n-1} \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 \]
- 主对角线的集合：主对角线连接顶点 \(\mathbf{0}\) 和顶点 \(\sum_{i=1}^n \mathbf{a}_i\)，以及所有其他彼此关于中心对称的顶点对。共有 \(2^{n-1}\) 条主对角线，且它们的长度都相等。设 \(\mathbf{d} = \sum_{i=1}^n \mathbf{a}_i\)，则每条主对角线的长度平方为 \(\|\mathbf{d}\|^2\)。因此，所有主对角线的长度平方和为：
\[ S_{\text{diagonals}} = 2^{n-1} \|\mathbf{d}\|^2 \]
定理断言：
\[S_{\text{edges}} = \frac{1}{2} S_{\text{diagonals}} \]
即：
\[2^{n-1} \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \|\mathbf{d}\|^2 \]
化简后得到核心恒等式：
\[\sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 = \frac{1}{2} \|\mathbf{d}\|^2 \]
其中 \(\mathbf{d} = \sum_{k=1}^n \mathbf{a}_k\)。
2. 定理的向量证明
这个证明简洁而优美，直接运用向量的内积性质。
- 步骤一：展开主对角线的模平方。
\[ \|\mathbf{d}\|^2 = \|\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \dots + \mathbf{a}_n\|^2 \]
根据向量模平方的定义，这等于：
\[ \|\mathbf{d}\|^2 = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \dots + \mathbf{a}_n) \cdot (\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \dots + \mathbf{a}_n) \]
- 步骤二：利用内积的线性性进行展开。
展开上述点积，会得到所有两两向量内积的和：
\[ \|\mathbf{d}\|^2 = \sum_{i=1}^n \|\mathbf{a}_i\|^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j \]
这里，\(\sum_{i=1}^n \|\mathbf{a}_i\|^2\) 是各向量自内积（即模平方）的和，而 \(2 \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j\) 是所有不同向量两两内积的和的两倍。
- 步骤三：观察几何意义并建立等式。
定理的结论是 \(\sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 = \frac{1}{2} \|\mathbf{d}\|^2\)。
将步骤二的结果代入右边：
\[ \frac{1}{2} \|\mathbf{d}\|^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^n \|\mathbf{a}_i\|^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j \right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \|\mathbf{a}_i\|^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j \]
为了使这个式子等于左边的 \(\sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2\)，必须有：
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \|\mathbf{a}_i\|^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 \]
将左边的 \(\frac{1}{2} \sum \|\mathbf{a}_i\|^2\) 移到右边，得到：
\[ \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2 \]
- 步骤四：关键条件——向量两两正交。
上面的推导表明，定理成立 当且仅当 \(\sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2\)。
然而，对于一个一般的平行多面体，这个等式并不成立。它成立的一个充分条件是所有向量 \(\mathbf{a}_i\) 两两正交，即对于所有 \(i \neq j\)，有 \(\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j = 0\)。
在这种情况下，\(\sum_{1 \le i < j \le n} \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j = 0\)。那么，要使定理成立，根据步骤三的等式，必须有 \(0 = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \|\mathbf{a}_k\|^2\)，这显然只在所有向量为零时成立，与线性无关矛盾。
这引出了关键点：n维空间中的平行多面体欧拉定理，其成立需要比二维平行四边形更严格的条件。 在二维（平行四边形）时，定理恒成立。但在n>2维时，定理要求生成向量 \(\{\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n\}\) 满足特定的内积关系。
实际上，该定理的标准推广是应用于一个 **n维长方体（超矩形）**，即所有生成向量两两正交的情况。此时，定理有更丰富的解释，我们将在下一步阐述。
3. n维长方体情形的几何解释
当 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n\) 两两正交时，我们所描述的多面体是一个n维长方体。设其边长为 \(l_1, l_2, \dots, l_n\)，即 \(\|\mathbf{a}_i\| = l_i\)。
- 棱长平方和： 平行于第i条边的棱有 \(2^{n-1}\) 条，每条长为 \(l_i\)。所以总棱长平方和 \(S_{\text{edges}} = 2^{n-1} (l_1^2 + l_2^2 + \dots + l_n^2)\)。
- 主对角线： 主对角线向量 \(\mathbf{d} = \mathbf{a}_1 + \dots + \mathbf{a}_n\)。由于向量正交，其模长 \(\|\mathbf{d}\| = \sqrt{l_1^2 + l_2^2 + \dots + l_n^2}\)。
共有 \(2^{n-1}\) 条主对角线，每条长度都等于 \(\|\mathbf{d}\|\)。所以主对角线长度平方和 \(S_{\text{diagonals}} = 2^{n-1} (l_1^2 + l_2^2 + \dots + l_n^2)\)。
结论： 对于n维长方体，有 \(S_{\text{edges}} = S_{\text{diagonals}}\)。
这与定理最初的表述 \(S_{\text{edges}} = \frac{1}{2} S_{\text{diagonals}}\) 不同。原因在于最初的表述是针对“所有主对角线”，而在长方体中，连接“完全相反”顶点的线段（我们称之为“空间对角线”或“长对角线”）只是主对角线的一种。在n维中，还有长度较短的其他类型的“面对角线”等。
因此，更准确的n维欧拉定理（长方体情形）应表述为：
n维长方体的所有棱长的平方和，等于其所有空间对角线（长对角线）长的平方和。
这个结论简洁地概括了高维长方体中边长与最长对角线之间的度量关系，是二维平行四边形欧拉定理在n维空间中最自然和最常用的推广之一。