数学课程设计中的数学思维聚敛性与发散性协同培养 好的，我们开始今天的新词条讲解。我将为您系统地拆解“数学思维聚敛性与发散性协同培养”这一教学设计理念，帮助您理解其内涵、价值与实践路径。 第一步：理解两种思维的基本特征 要理解“协同培养”，首先必须明确聚敛性思维与发散性思维是什么。 聚敛性思维 ：也常被称为“求同思维”或“辐合思维”。其核心特征是思维目标指向 唯一确定的正确答案或最优解决方案 。在数学学习中，它体现为： 遵循明确的规则和逻辑 ：如严格按照运算法则进行计算。 应用标准的定理和公式 ：如用勾股定理求直角三角形的边长。 追求严谨的证明和推导 ：确保每一步推理都准确无误，最终得出必然的结论。 强调思维的精确性、逻辑性和确定性 。这是数学学科严谨性的基础。 发散性思维 ：也常被称为“求异思维”或“辐射思维”。其核心特征是思维从一个点出发， 向多种可能的方向、角度和途径进行探索 ，以寻求多样化的解决方案。在数学中，它体现为： 一题多解 ：用代数、几何、算术等不同方法解决同一个问题。 提出多种猜想 ：面对一个现象，提出多种可能的规律或解释。 设计多种问题 ：根据一个已知条件，改编或提出多个不同的问题。 强调思维的流畅性、变通性、独特性和丰富性 。这是数学创新和应用的关键。 第二步：认识两种思维的关系与协同价值 传统数学教学有时过于强调聚敛性思维，导致学生思维僵化。而单纯鼓励发散，又可能削弱数学的严谨性。因此，协同培养至关重要。 辩证统一关系 ：二者并非对立，而是互补共生的关系。 发散是基础 ：在问题解决的初始阶段，发散性思维帮助我们打开思路，搜集线索，设想多种可能路径。它拓宽了“选择空间”。 聚敛是关键 ：在获得多种可能性后，聚敛性思维帮助我们运用逻辑、规则和标准，对这些路径进行筛选、验证、优化，最终锁定最有效、最严谨的解决方案。它负责“聚焦和确定”。 循环往复 ：整个数学探究过程，往往是“发散 → 聚敛 → 再发散 → 再聚敛”的螺旋式上升。 协同培养的价值 ： 培养全面的问题解决者 ：学生既能灵活思考，又能严谨论证。 激发创造力的同时守住数学根本 ：鼓励创新的想法，但最终必须经过数学逻辑的检验。 适应复杂问题 ：现实中的复杂问题往往没有现成解法，需要先发散探索，再聚敛落实。 第三步：设计培养聚敛性思维的教学活动 在课程设计中，需要有意识地安排强化聚敛性思维的环节。 精准练习 ：设计目标明确、步骤清晰的练习，要求学生严格按照定义、定理、法则完成，强调过程和结果的准确性。例如，分式的化简、几何定理的规范证明。 归纳与抽象 ：引导学生在分析多个具体实例后，严格归纳出共性的、本质的规律，并用准确的数学语言（定义、公式）表述出来。这是一个从具体到一般的聚敛过程。 优化与筛选 ：在多种解法中，引导学生从“简洁性”、“普适性”、“严谨性”等角度进行比较和论证，选择或整合出最优解。 严谨论证训练 ：专门设计证明题，训练学生使用演绎推理，确保逻辑链的严密无误。 第四步：设计培养发散性思维的教学活动 同样，课程中要创设激发发散性思维的情境。 开放性问题 ：设计条件开放、结论开放或策略开放的问题。例如：“给定一个矩形，你能提出哪些与它的周长和面积相关的问题？” “如何测量一个不规则湖泊的面积？请尽可能多地提出你的方案。” 一题多解与一题多变 ：不仅鼓励学生用不同方法解题，还鼓励他们改变原题的条件、结论，衍生出新的问题。 数学猜想活动 ：展示一组数据或图形模式，让学生大胆提出后续项或内在规律，无论对错，先鼓励“猜”的行为。 头脑风暴 ：针对一个数学主题（如“函数可以如何表示？”），让学生在短时间内尽可能多地罗列想法，暂不评价。 第五步：设计促进两种思维协同的核心教学策略 这是课程设计的精髓，关键在于设计能自然引发两种思维交替参与的学习任务。 “探究-论证”循环模式 ： 阶段一（发散启动） ：呈现一个富有挑战性的核心问题。让学生独立或小组合作， 发散性地 尝试各种方法、思路、工具去探索，允许试错。 阶段二（聚敛深化） ：组织交流分享。将各组多样的方法展示出来，然后引导全班一起，用 聚敛性思维 对这些方法进行分析、比较、评价和修正。讨论：哪种方法最可靠？哪种最巧妙？不同方法之间有何联系？最终形成严谨的共识或最优路径。 阶段三（反思拓展） ：问题解决后，引导学生反思：“我们是如何想到这些方法的？（发散）”“我们是如何确定最终解法的？（聚敛）”“还能提出什么新问题？（再次发散）” “多解归一”任务设计 ： 设计一个天然具有多种解法的经典问题（如证明勾股定理、求二次函数最值）。 首先鼓励学生 发散 思考，尽可能多地找出解法。 然后引导学生对这些解法进行 聚敛 分析：这些解法背后共同的数学思想是什么？（如数形结合、转化等）不同解法之间的本质联系是什么？将“多解”提升到“多解归一”的思想层面。 “假设-检验-修正”建模过程 ： 面对一个实际建模问题，先让学生根据直觉和经验， 发散 地提出多种可能的模型假设。 然后，运用数学工具和数据，严格地（ 聚敛 ）检验每一个假设，评估其优劣。 根据检验结果， 发散 地思考如何修正模型，再进行新一轮的 聚敛 检验，直至得到满意模型。 第六步：课程实施与教师角色 创设安全的心理环境 ：在发散阶段，延迟评价，鼓励所有想法，消除对“出错”的恐惧。在聚敛阶段，则要树立严谨、理性的讨论规范。 教师的提问策略 ： 发散阶段提问 ：“还有其他方法吗？”“如果改变这个条件，会怎样？”“你能从不同的角度看看这个问题吗？” 聚敛阶段提问 ：“为什么这个方法可行？”“两种方法之间，哪个更有效率？为什么？”“这个结论是否在所有情况下都成立？如何证明？” 评价方式多元化 ：既要评价最终答案的正确性（聚敛成果），也要评价解题方法的多样性和独特性（发散成果），更要评价从发散到聚敛的思维过程。 总结 ：数学课程设计中的“数学思维聚敛性与发散性协同培养”，其核心在于认识到两种思维是数学健全思维的一体两面。优秀的课程设计不是简单地并列两种活动，而是通过精心设计的、螺旋上升的学习任务，让学生亲历“在发散中寻找可能，在聚敛中确定真理”的完整思维过程，从而成为既富有创造力又具备严谨科学精神的数学思考者和问题解决者。