量子力学中的Grassmann积分
我们先从“数”的概念开始。Grassmann积分的基础是Grassmann数（或称反交换数），你已经了解过它的基本概念。我们在此之上，建立其积分理论。
第一步：Grassmann代数的回顾与扩展
Grassmann数满足反对易关系：对于任意两个Grassmann数 \(\theta_i, \theta_j\)，有 \(\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\)。特别地，这意味着 \(\theta_i^2 = 0\)。一个包含 \(n\) 个生成元 \(\{\theta_1, \dots, \theta_n\}\) 的 Grassmann 代数，其最一般的函数是有限多项式，例如 \(f(\theta) = a + a_i\theta_i + a_{ij}\theta_i\theta_j + \dots\)，其中系数 \(a, a_i, a_{ij},\dots\) 是复数（或实数），且下标满足 \(i < j < \dots\) 以保证独立性。由于反对易性，任何高于 \(n\) 次项都为零。
第二步：Grassmann积分的定义（形式化规则）
Grassmann 积分是一种形式化的运算规则，并非通常的黎曼积分。它的定义完全由以下两条基本规则给出：
- 线性性：
\[ \int d\theta \, [a f(\theta) + b g(\theta)] = a \int d\theta \, f(\theta) + b \int d\theta \, g(\theta) \]
，其中 \(a, b\) 是复数。
2. 平移不变性： 这是最关键的要求。对于单个变量，其定义为：
\[ \int d\theta \, 1 = 0, \quad \int d\theta \, \theta = 1. \]
为什么这样定义？我们要求积分运算在变换 \(\theta \to \theta + \eta\)（其中 \(\eta\) 是另一个独立的 Grassmann 数）下保持不变，即 \(d\theta = d(\theta+\eta)\)。考虑最一般的函数 \(f(\theta) = a + b\theta\)。平移不变性要求 \(\int d\theta \, (a + b\theta) = \int d(\theta+\eta) \, (a + b(\theta+\eta))\) 对任意 \(\eta\) 成立。这迫使常数项 \(a\) 的积分为零，否则结果会依赖于 \(\eta\)。因此，我们定义 \(\int d\theta \, 1 = 0\)，而为了保证运算非平凡，定义 \(\int d\theta \, \theta = 1\)。这样，\(\int d\theta \, (a+b\theta) = b\)。
第三步：多变量Grassmann积分
对于多个变量 \(\theta_1, \dots, \theta_n\)，我们引入相应的微分 \(d\theta_1, \dots, d\theta_n\)，它们彼此反对易，且与 \(\theta_i\) 也反对易： \(\theta_i d\theta_j = -d\theta_j \theta_i\)， \(d\theta_i d\theta_j = -d\theta_j d\theta_i\)。
积分顺序至关重要。我们约定积分为从内到外执行，即：
\[\int d\theta_n \dots d\theta_1 \, f(\theta) \equiv \int d\theta_n \left( \dots \left( \int d\theta_1 \, f(\theta) \right) \dots \right). \]
一个关键规则是，只有当一个被积项包含每个 \(\theta_i\) 恰好一次时，其积分才不为零。更具体地说：
\[\int d\theta_n \dots d\theta_1 \, \theta_1 \theta_2 \dots \theta_n = 1. \]
由于反对易，\(\theta_1\theta_2\dots\theta_n\) 是最高次项。任何缺少某个 \(\theta_i\) 的项，在关于 \(d\theta_i\) 积分时都会因为规则 \(\int d\theta_i \, 1 = 0\) 而消失。因此，积分的结果本质上是提取出函数中“最高次项” \(\theta_1\theta_2\dots\theta_n\) 的系数。
第四步：高斯型Grassmann积分（关键应用）
这是量子多体理论和量子场论中至关重要的公式。设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 反对称矩阵（\(A^T = -A\)），\(\theta = (\theta_1, \dots, \theta_n)^T\) 是Grassmann向量。考虑高斯型积分：
\[I = \int d\theta_n \dots d\theta_1 \, \exp\left( \frac{1}{2} \theta^T A \theta \right) = \int d\theta_n \dots d\theta_1 \, \exp\left( \frac{1}{2} \sum_{i,j} A_{ij} \theta_i \theta_j \right). \]
由于 \(\theta_i^2=0\)，指数函数的级数展开是有限的：\(\exp(\frac{1}{2}\theta^T A \theta) = 1 + \frac{1}{2}\sum A_{ij}\theta_i\theta_j + \frac{1}{2!}(\frac{1}{2}\sum A_{ij}\theta_i\theta_j)^2 + \dots\)。只有完全展开到包含所有 \(n\) 个 \(\theta\) 的项才能对积分有贡献。这个最高次项是 \(\frac{1}{(n/2)!}(\frac{1}{2}\sum A_{ij}\theta_i\theta_j)^{n/2}\)（\(n\) 必须为偶数，否则积分为零）。通过仔细的反对易运算，可以证明：
\[I = \mathrm{Pf}(A), \]
其中 \(\mathrm{Pf}(A)\) 是矩阵 \(A\) 的Pfaffian，它满足 \([\mathrm{Pf}(A)]^2 = \det(A)\)。这是与玻色子高斯积分（结果正比于 \((\det A)^{-1/2}\)）的关键对比。
第五步：带源的Grassmann高斯积分（生成泛函）
引入另一组独立的Grassmann源变量 \(\eta = (\eta_1, \dots, \eta_n)^T\)，考虑积分：
\[Z(\eta) = \int d\theta_n \dots d\theta_1 \, \exp\left( \frac{1}{2} \theta^T A \theta + \eta^T \theta \right). \]
这里 \(\eta^T \theta = \sum_i \eta_i \theta_i\)。通过“配平方”技巧（对Grassmann数同样有效，但需注意顺序），可以计算此积分。结果是：
\[Z(\eta) = \mathrm{Pf}(A) \exp\left( \frac{1}{2} \eta^T A^{-1} \eta \right)。 \]
这个公式是费米子关联函数（如两点格林函数）的生成泛函。对源 \(\eta\) 的导数（随后令 \(\eta=0\)）可以给出所有多点关联函数，例如 \(\langle \theta_i \theta_j \rangle = A^{-1}_{ij}\)。
第六步：在量子力学中的应用：费米子相干态路径积分
Grassmann积分的一个核心应用是构造费米子（自旋1/2粒子）的路径积分。与玻色子使用普通复数相干态不同，费米子需要使用Grassmann数构成的相干态 \(|\xi\rangle = e^{-\xi \hat{\psi}^\dagger} |0\rangle\)，其中 \(\xi\) 是Grassmann数，\(\hat{\psi}\) 是费米子湮灭算符。这些相干态过完备，且内积 \(\langle \xi’|\xi \rangle = e^{\xi’^* \xi}\)。量子态的演化矩阵元可以写为：
\[\langle \xi_f| e^{-i\hat{H}t} |\xi_i \rangle = \int \mathcal{D}[\xi^*(t), \xi(t)] \, e^{iS[\xi^*, \xi]}, \]
其中作用量 \(S\) 是经典Grassmann场的函数，而路径积分测度 \(\mathcal{D}[\xi^*, \xi]\) 是时空各点Grassmann变量的积分乘积。这为处理相互作用费米子系统（如 Hubbard 模型）和量子场论（如 Yukawa 理论、QCD）提供了强大的工具，是处理泡利不相容原理和反对易代数在路径积分框架下的自然语言。