哈尔测度的商测度构造

字数 2172 2025-12-07 20:07:48

哈尔测度的商测度构造

我们将从最基础的群结构出发，循序渐进地讲解如何从一个已知的哈尔测度构造出其商空间上的测度。这个过程是调和分析与拓扑群理论中的一个核心技巧。

第一步：回顾基础概念——拓扑群与哈尔测度

拓扑群：一个集合G同时是一个群（有乘法运算和逆运算）和一个拓扑空间，并且群的两种运算（乘法 (x,y) -> xy 和求逆 x -> x^{-1}）关于该拓扑都是连续的。例如：实数加法群R，复数乘法单位圆T，一般线性群GL(n, R)。
哈尔测度：在一个局部紧拓扑群G上，存在一个（在正数倍意义下）唯一的、正则的博雷尔测度μ，它在左平移下不变。即，对任何博雷尔集E和群元g，有 μ(gE) = μ(E)。这称为左哈尔测度。同样可以定义右哈尔测度。

第二步：商空间与自然映射

子群与陪集：设H是G的一个闭子群。H的左陪集是指形如 gH = { gh : h ∈ H } 的集合。所有不同的左陪集的集合记为 G/H，称为G关于H的左陪集空间（或商空间）。
商拓扑：我们在G/H上赋予商拓扑：一个子集U ⊂ G/H是开的，当且仅当它在自然投影映射 π: G -> G/H (定义为 π(g) = gH) 下的原像 π^{-1}(U) 是G中的开集。在此拓扑下，G/H成为一个局部紧豪斯多夫空间，且π是连续、开的满射。

第三步：核心思想——从G上的积分到G/H上的积分
我们的目标是在商空间G/H上构造一个“自然”的测度，使得类似于富比尼定理的公式成立。设μ是G上的左哈尔测度。我们希望找到一个G/H上的（正）博雷尔测度ν，使得对任意“足够好”的函数f在G上，有：
∫_G f(g) dμ(g) = ∫_{G/H} [ ∫_H f(gh) dρ(h) ] dν(gH)
这里ρ是子群H上的一个恰当的哈尔测度。这个公式表达了“先在每个纤维（陪集gH）上对H积分，再在商空间上积分”的思想。但这里有一个关键问题：为使右边内层积分定义良好，我们需要一个在H上不变的测度ρ。我们很自然地选择H的左哈尔测度。然而，要使整个等式对所有f成立，G的测度μ、H的测度ρ和商测度ν之间必须满足一个兼容性条件。

第四步：模函数与模条件

模函数：对于群G，其模函数 Δ_G: G -> R+ 是一个连续同态，定义为：对任意G的左哈尔测度μ和任意g∈G，有 dμ_r(g) = Δ_G(g) dμ(g)，其中μ_r是通过右平移 E -> Eg^{-1} 从μ得到的右哈尔测度。如果G是幺模群（如阿贝尔群、紧群），则Δ_G ≡ 1。
限制模函数：子群H也有自己的模函数 Δ_H。
关键兼容条件：为使前述积分公式成立，子群H上的测度ρ不能随意选择。必须选择H的一个特定的左哈尔测度ρ，使得对每个h∈H，有 dρ(h) = Δ_G(h) / Δ_H(h) * dρ(h) 作为一个比例关系成立。 更常见且清晰的表述是：我们要求对任意固定h∈H，G的左哈尔测度μ在映射 g -> gh 下的拉回测度与μ的关系满足：
dμ(gh) = Δ_H(h) / Δ_G(h) * dμ(g) （在右平移意义下）。
这个比例因子 Δ_H(h)/Δ_G(h) 是必须考虑的。通常，我们构造一个H上的泛函 χ(h) = Δ_G(h) / Δ_H(h)，并选择H的右哈尔测度ρ‘（而非左的），使得 dρ‘(h) = χ(h^{-1}) dρ_0(h)，其中ρ_0是H的某个左哈尔测度。经过这样的调整，最终得到的测度ρ（实际上是H上满足特定条件的右哈尔测度）能保证兼容性。

第五步：商测度的严格构造与性质

构造定义：在选定了满足上述“模条件”的H上测度ρ之后，商测度ν可以通过里斯表示定理来定义。具体来说，对G/H上任意具有紧支撑的连续函数F，我们定义G上的函数 f = F ∘ π。但f在G上是常数沿H的陪集，其积分不能直接给出F的积分。我们需要一个“截面”技巧：存在G/H上连续函数的一个正线性泛函I，使得对任意G上具有紧支撑的连续函数φ，有：
∫_G φ(g) dμ(g) = I( gH -> ∫_H φ(gh) dρ(h) )
这里的I作用在（从φ构造出的）G/H上的函数上。由里斯表示定理，存在G/H上唯一的正则博雷尔测度ν，使得I(F) = ∫_{G/H} F dν。这个ν就是商测度。
积分公式：最终，对任意μ-可积函数f（或非负可测函数），我们有精确的积分分解公式：
∫_G f(g) dμ(g) = ∫_{G/H} ( ∫_H f(gh) dρ(h) ) dν(gH)
这个公式是调和分析中许多计算的基础，例如在齐性空间上的分析。

第六步：总结与意义
哈尔测度的商测度构造，本质上是将局部紧群上的积分“分解”为沿子群纤维的积分和在陪集空间上的积分。其核心挑战在于处理左不变测度在右平移下产生的模函数因子。通过精心选择子群上的测度（使其成为一个修正的右哈尔测度），可以抵消这个因子，从而得到一致的分解公式。这个构造是研究齐性空间（如球面、格拉斯曼流形）上调和分析、遍历理论以及表示论中不可或缺的工具。

哈尔测度的商测度构造我们将从最基础的群结构出发，循序渐进地讲解如何从一个已知的哈尔测度构造出其商空间上的测度。这个过程是调和分析与拓扑群理论中的一个核心技巧。第一步：回顾基础概念——拓扑群与哈尔测度拓扑群：一个集合G同时是一个群（有乘法运算和逆运算）和一个拓扑空间，并且群的两种运算（乘法 (x,y) -> xy 和求逆 x -> x^{-1} ）关于该拓扑都是连续的。例如：实数加法群R，复数乘法单位圆T，一般线性群GL(n, R)。哈尔测度：在一个局部紧拓扑群G上，存在一个（在正数倍意义下）唯一的、正则的博雷尔测度μ，它在左平移下不变。即，对任何博雷尔集E和群元g，有 μ(gE) = μ(E) 。这称为左哈尔测度。同样可以定义右哈尔测度。第二步：商空间与自然映射子群与陪集：设H是G的一个闭子群。H的左陪集是指形如 gH = { gh : h ∈ H } 的集合。所有不同的左陪集的集合记为 G/H，称为G关于H的左陪集空间（或商空间）。商拓扑：我们在G/H上赋予商拓扑：一个子集U ⊂ G/H是开的，当且仅当它在自然投影映射 π: G -> G/H (定义为 π(g) = gH ) 下的原像 π^{-1}(U) 是G中的开集。在此拓扑下，G/H成为一个局部紧豪斯多夫空间，且π是连续、开的满射。第三步：核心思想——从G上的积分到G/H上的积分我们的目标是在商空间G/H上构造一个“自然”的测度，使得类似于富比尼定理的公式成立。设μ是G上的左哈尔测度。我们希望找到一个G/H上的（正）博雷尔测度ν，使得对任意“足够好”的函数f在G上，有： ∫_G f(g) dμ(g) = ∫_{G/H} [ ∫_H f(gh) dρ(h) ] dν(gH) 这里ρ是子群H 上的一个恰当的哈尔测度。这个公式表达了“先在每个纤维（陪集gH）上对H积分，再在商空间上积分”的思想。但这里有一个关键问题：为使右边内层积分定义良好，我们需要一个在H上不变的测度ρ。我们很自然地选择H的左哈尔测度。然而，要使整个等式对所有f成立，G的测度μ、H的测度ρ和商测度ν之间必须满足一个兼容性条件。第四步：模函数与模条件模函数：对于群G，其模函数 Δ_ G: G -> R+ 是一个连续同态，定义为：对任意G的左哈尔测度μ和任意g∈G，有 dμ_r(g) = Δ_G(g) dμ(g) ，其中μ_ r是通过右平移 E -> Eg^{-1} 从μ得到的右哈尔测度。如果G是幺模群（如阿贝尔群、紧群），则Δ_ G ≡ 1。限制模函数：子群H也有自己的模函数 Δ_ H。关键兼容条件：为使前述积分公式成立，子群H上的测度ρ不能随意选择。必须选择H的一个特定的左哈尔测度ρ，使得对每个h∈H，有 dρ(h) = Δ_G(h) / Δ_H(h) * dρ(h) 作为一个比例关系成立。更常见且清晰的表述是：我们要求对任意固定h∈H，G的左哈尔测度μ在映射 g -> gh 下的拉回测度与μ的关系满足： dμ(gh) = Δ_H(h) / Δ_G(h) * dμ(g) （在右平移意义下）。这个比例因子 Δ_H(h)/Δ_G(h) 是必须考虑的。通常，我们构造一个H上的泛函 χ(h) = Δ_G(h) / Δ_H(h) ，并选择H的右哈尔测度ρ‘（而非左的），使得 dρ‘(h) = χ(h^{-1}) dρ_0(h) ，其中ρ_ 0是H的某个左哈尔测度。经过这样的调整，最终得到的测度ρ（实际上是H上满足特定条件的右哈尔测度）能保证兼容性。第五步：商测度的严格构造与性质构造定义：在选定了满足上述“模条件”的H上测度ρ之后，商测度ν可以通过里斯表示定理来定义。具体来说，对G/H上任意具有紧支撑的连续函数F，我们定义G上的函数 f = F ∘ π 。但f在G上是常数沿H的陪集，其积分不能直接给出F的积分。我们需要一个“截面”技巧：存在G/H上连续函数的一个正线性泛函I，使得对任意G上具有紧支撑的连续函数φ，有： ∫_G φ(g) dμ(g) = I( gH -> ∫_H φ(gh) dρ(h) ) 这里的I作用在（从φ构造出的）G/H上的函数上。由里斯表示定理，存在G/H上唯一的正则博雷尔测度ν，使得I(F) = ∫_ {G/H} F dν。这个ν就是商测度。积分公式：最终，对任意μ-可积函数f（或非负可测函数），我们有精确的积分分解公式： ∫_G f(g) dμ(g) = ∫_{G/H} ( ∫_H f(gh) dρ(h) ) dν(gH) 这个公式是调和分析中许多计算的基础，例如在齐性空间上的分析。第六步：总结与意义哈尔测度的商测度构造，本质上是将局部紧群上的积分“分解”为沿子群纤维的积分和在陪集空间上的积分。其核心挑战在于处理左不变测度在右平移下产生的模函数因子。通过精心选择子群上的测度（使其成为一个修正的右哈尔测度），可以抵消这个因子，从而得到一致的分解公式。这个构造是研究齐性空间（如球面、格拉斯曼流形）上调和分析、遍历理论以及表示论中不可或缺的工具。