复变函数的梅林-巴恩斯积分与渐近展开
- 基本定义与形式
梅林-巴恩斯积分是以下形式的复积分：
\[ I(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_p+s) \Gamma(c_1-s)\cdots\Gamma(c_q-s) \, z^{-s} \, ds, \]
其中：
- \(\Gamma\) 是Gamma函数，
- \(a_j, c_k\) 是复常数，
- \(C\) 是复平面上一条与纵轴平行的适当直线路径（或更一般的分割路径），
- \(z\) 是复参数，
- \(p, q\) 是非负整数。
该积分是广义超几何函数（如 \({}_pF_q\)）的积分表示，也是许多特殊函数（如贝塞尔函数、合流超几何函数）的统一表达工具。
- 路径选取与收敛条件
积分路径 \(C\) 通常选取为一条从 \(-i\infty\) 到 \(+i\infty\) 的竖直直线，但需满足：
- 路径位于Gamma函数极点的“分离带”中，即避开所有 \(\Gamma(a_j+s)\) 的极点（位于 \(s = -a_j - n,\ n=0,1,2,\dots\)）和 \(\Gamma(c_k-s)\) 的极点（位于 \(s = c_k + n\)）。
- 收敛性由被积函数在 \(|\mathrm{Im}\,s| \to \infty\) 时的衰减性决定。利用Gamma函数的渐近公式（斯特林公式）：
\[ |\Gamma(s)| \sim \sqrt{2\pi} \, |s|^{s-\frac{1}{2}} e^{-s} \quad (|\arg s| < \pi), \]
可证明当路径满足一定条件时，被积函数按指数衰减，积分绝对收敛。
- 与广义超几何函数的关系
通过适当选择参数，梅林-巴恩斯积分可表示为广义超几何函数。例如，当 \(p=2, q=1\) 时：
\[ \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)}{\Gamma(c+s)} \Gamma(-s) (-z)^s \, ds = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)} \, {}_2F_1(a,b;c;z), \]
其中 \({}_2F_1\) 是高斯超几何函数。此等式通过计算路径左侧所有极点的留数和（即 \(\Gamma(-s)\) 的极点 \(s=0,1,2,\dots\)）得到，并利用了Gamma函数的余元公式和级数定义。
- 渐近展开的推导
当 \(|z| \to 0\) 或 \(|z| \to \infty\) 时，可利用鞍点法或直接移动积分路径来获得渐近展开：
- 小 \(|z|\) 展开：将路径 \(C\) 向左移动，穿过 \(\Gamma(-s)\) 的极点序列。每经过一个极点 \(s=n\)，被积函数在 \(s=n\) 处的留数产生 \(z^n\) 项，得到 \(z\) 的幂级数（即超几何级数）。
- 大 \(|z|\) 展开：将路径向右移动，穿过 \(\Gamma(a+s)\) 或 \(\Gamma(b+s)\) 的极点。每经过一个极点 \(s=-a-n\)，留数产生 \(z^a z^n\) 项，得到 \(z^{-a}\) 乘以一个 \(z^{-1}\) 的级数，对应超几何函数在无穷远处的展开。
- 应用与实例
- 贝塞尔函数：\(J_\nu(z)\) 可表示为梅林-巴恩斯积分：
\[ J_\nu(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(\nu+s+1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{\nu+2s} \, ds, \]
由此可同时得到 \(z\to 0\) 的泰勒展开和 \(z\to \infty\) 的渐近展开。
- 合流超几何函数：\(U(a,b,z)\)（第二类合流超几何函数）也有梅林-巴恩斯表示，用于推导其在扇形区域中的渐近行为。
- 多参数推广与巴恩斯引理
经典的巴恩斯引理给出了一个四Gamma乘积积分的封闭形式：
\[ \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s) \, ds = \frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}, \]
在特定条件下成立。该引理是计算许多梅林-巴恩斯积分的工具，并推广到多参数情形（巴恩斯第一、第二引理）。
- 在特殊函数与数论中的应用
- 梅林-巴恩斯积分是研究特殊函数变换公式、加法公式的有力方法。
- 在解析数论中，常用于狄利克雷级数的逆梅林变换，将数论级数与复积分联系起来，进而通过移动路径获得渐近公式（如素数定理的证明中涉及的围道积分）。