高阶逻辑中的广义量词 我们先从一阶逻辑的局限性开始。在一阶逻辑中，只有全称量词（∀，表示“所有”）和存在量词（∃，表示“存在”）是原始符号。这限制了它对许多自然语言和数学概念的精确表达。例如，“大多数学生通过了考试”、“恰好有五个元素”或“存在无限多个”等表述，无法用∀和∃直接定义。 为了克服这个限制，逻辑学家引入了 广义量词 的概念。广义量词是对∀和∃的推广，它允许我们谈论满足某种性质的个体的“数量”或“比例”，而不仅仅是“所有”或“至少一个”。从计算角度看，研究广义量词的表达能力和复杂性，是描述复杂性和数据库查询语言理论的重要基础。 接下来，我们严格定义一个广义量词。一个** （一阶）广义量词Q** 关联于一个数k（称为它的元数），并且对任意论域（非空集合）M，Q指定了M上的一个k元关系族。更具体地说，一个k元广义量词Q，对每个集合M，都对应一个（可能无限的）集合Q_ M，其中Q_ M是M^k（k元组集合）的子集的集合。一个公式Q x₁, ..., x_ k (ψ₁(x₁,..., x_ k), ..., ψ_ m(x₁,..., x_ k)) 在结构M中为真，当且仅当满足ψ_ i的k元组所构成的m个集合之间的关系属于Q_ M。最常用的是所谓 Lindström量词 ，其中最常见的是m=1的情况：一元广义量词Q绑定一个变量x和一个公式φ(x)。公式Qx φ(x) 在结构M中为真，当且仅当集合 {a ∈ M | M ⊨ φ(a)} 属于Q_ M。例如： ∀ 对应的Q_ M是 {M}（整个论域）。 ∃ 对应的Q_ M是 {A ⊆ M | A 非空}。 ∃_ {=5}（恰好有五个）对应的Q_ M是 {A ⊆ M | |A| = 5}。 多数量词M对应的Q_ M是 {A ⊆ M | |A| > |M \ A|}。 广义量词可以大大增加逻辑的表达能力。例如，在一阶逻辑中加入广义量词“存在无限多个”（记为Q^ℵ₀），其对应的Q_ M是 {A ⊆ M | A 是无限的}，那么我们就能够表达“论域是无限的”这个性质（Q^ℵ₀ x (x=x)）。这是纯一阶逻辑无法做到的。另一个关键例子是 哈特里格量词 （Härtig quantifier，或等势量词I）：Ixy (φ(x), ψ(y)) 表示满足φ的个体集合与满足ψ的个体集合 等势 （元素个数相同）。这个量词非常强大。 现在，我们探讨广义量词的逻辑系统。在给定一组广义量词的集合后，我们可以扩展一阶逻辑的语法和语义，形成 带广义量词的一阶逻辑 L(Q₁, Q₂, ...)。其语法是在一阶逻辑基础上，增加形如Q x̄ φ 的公式构造规则。其语义如上所述。一个重要问题是：这样的逻辑是否仍然满足哥德尔完备性定理？答案是否定的。大多数有趣的广义量词（如Q^ℵ₀）都会导致完备性的丧失，即存在一些语句集合，它们语义一致但无法在任何一个证明系统中可证。然而，我们可以为某些广义量词设计合理的推理规则。 最后，从逻辑与计算的角度看，广义量词的研究与 描述复杂性 和 数据库查询语言 紧密相连。在有限模型上，一个广义量词可以对应一个计算问题。例如： 多数量词M对应“多数”问题，这超出了传统一阶逻辑的表达能力，与计数复杂性类相关。 在数据库理论中，SQL查询语言中的“HAVING COUNT(* ) > 5”这类聚合查询，本质上就是用到了广义量词（这里是计数量词）。 林德斯特伦的一个重要定理指出，一阶逻辑加上所有广义量词，恰好能表达在任意同构下保持的、在某个逻辑中可定义的查询类。这连接了抽象逻辑和计算复杂性。 更深入地，研究不同广义量词的 表达能力和计算复杂性 是核心课题。例如，在有限模型上，带有不动点算子与计数量词的逻辑，其表达能力等价于多项式时间层次内的计数类，并与数据库查询语言Datalog的扩展紧密相关。广义量词为我们提供了一个统一的框架，来分析和比较不同逻辑扩展的表达能力与计算代价。