圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续六十一）
在之前的数十讲中，我们已从基本定义、参数方程、曲率关系、运动学解释、等距性质等多个维度，系统探讨了圆的渐开线与渐伸线（即渐屈线）之间深刻的微分几何对偶关系。我们已经知道，对于一条平面正则曲线（称为“原曲线”），其渐屈线是原曲线所有法线的包络，同时也是原曲线曲率中心的轨迹。而渐开线则是从渐屈线上任意一点“展开”得到的曲线，其上任一点处的曲率半径恰好等于从该点到展开起点的弧长。这种“展开”与“弯曲”的逆过程，构成了二者关系的核心。
现在，我们将深入到一个更精微的层面：考察当原曲线（这里我们特指一条光滑的平面曲线，例如圆的渐开线）的曲率函数存在高阶零点（即曲率及其若干阶导数为零的点）时，其渐屈线（即圆的渐伸线）的奇点结构及其几何特性会发生何种变化。 这涉及到奇点理论在微分几何中的初步应用。
步骤一：回顾基本设定与符号
设原曲线 \(C\) 由弧长参数 \(s\) 参数化：\(\mathbf{r}(s) = (x(s), y(s))\)。其单位切向量为 \(\mathbf{T}(s) = \mathbf{r}'(s)\)，单位法向量为 \(\mathbf{N}(s)\)（满足右手定向），曲率为 \(\kappa(s)\)。则其渐屈线 \(E\) 的参数方程为：
\[\mathbf{e}(s) = \mathbf{r}(s) + \frac{1}{\kappa(s)} \mathbf{N}(s), \quad \text{其中} \quad \kappa(s) \neq 0. \]
这里，\(R(s) = 1/\kappa(s)\) 是曲率半径。渐屈线的切向量为：
\[\mathbf{e}'(s) = \mathbf{r}'(s) + \left( \frac{1}{\kappa(s)} \right)' \mathbf{N}(s) + \frac{1}{\kappa(s)} \mathbf{N}'(s). \]
利用弗勒内-塞雷公式：\(\mathbf{T}' = \kappa \mathbf{N}, \quad \mathbf{N}' = -\kappa \mathbf{T}\)，化简得：
\[\mathbf{e}'(s) = \left( \frac{1}{\kappa(s)} \right)' \mathbf{N}(s). \]
这表明，只要 \((1/\kappa(s))' \neq 0\)，渐屈线在该点正则（有良好定义的切线，方向沿法向）。当 \((1/\kappa(s))' = 0\) 时，即 \(\kappa'(s) = 0\)，渐屈线可能出现奇点（如尖点）。这是我们已知的结论。
步骤二：高阶奇点问题的引入
通常，我们只考虑一阶条件 \(\kappa'(s_0) = 0\)。但现在，我们假设在原曲线的某点 \(s = s_0\) 处，曲率函数具有更高阶的平坦性。具体地，假设：
\[\kappa'(s_0) = 0, \quad \kappa''(s_0) = 0, \quad \dots, \quad \kappa^{(m-1)}(s_0) = 0, \quad \text{但} \quad \kappa^{(m)}(s_0) \neq 0, \]
其中 \(m \ge 2\)。这意味着曲率函数在 \(s_0\) 处有 \(m\) 阶零点（或更准确地说，\(1/\kappa(s)\) 的导数的零点阶数）。我们想探究在此条件下，渐屈线 \(E\) 在对应点 \(\mathbf{e}(s_0)\) 附近的局部形状。
步骤三：渐屈线的局部参数展开
为了分析奇点，我们需要将渐屈线方程在 \(s_0\) 附近展开。设 \(\sigma = s - s_0\)。将曲率函数展开：
\[\kappa(s_0 + \sigma) = \kappa_0 + \frac{\kappa_0^{(m)}}{m!} \sigma^m + O(\sigma^{m+1}), \]
其中 \(\kappa_0 = \kappa(s_0) \neq 0\)（我们避免曲率本身为零的拐点情况，聚焦于曲率导数的高阶零点），\(\kappa_0^{(m)} = \kappa^{(m)}(s_0) \neq 0\)。则曲率半径：
\[R(\sigma) = \frac{1}{\kappa(s_0+\sigma)} = R_0 - \frac{R_0^2 \kappa_0^{(m)}}{m!} \sigma^m + O(\sigma^{m+1}), \quad R_0 = 1/\kappa_0. \]
其导数：
\[R'(\sigma) = -\frac{R_0^2 \kappa_0^{(m)}}{(m-1)!} \sigma^{m-1} + O(\sigma^m). \]
这正是 \(\mathbf{e}'(s) = R'(s) \mathbf{N}(s)\) 中的关键因子。
同时，我们需要原曲线 \(\mathbf{r}(s)\) 和法向量 \(\mathbf{N}(s)\) 的展开。在 \(s_0\) 处建立局部坐标系：以 \(\mathbf{r}(s_0)\) 为原点，\(\mathbf{T}(s_0)\) 为 \(x\) 轴方向，\(\mathbf{N}(s_0)\) 为 \(y\) 轴方向。利用弗勒内公式，可以逐阶展开得到（计算略去中间步骤）：
\[\mathbf{r}(s_0+\sigma) = \left( \sigma - \frac{\kappa_0^2}{6} \sigma^3 + \dots, \quad \frac{\kappa_0}{2} \sigma^2 + \frac{\kappa_0'}{6} \sigma^3 + \dots \right)^T. \]
但注意，这里 \(\kappa_0' = 0, \kappa_0'' = 0, \dots\) 直到 \((m-1)\) 阶。因此，\(y\) 分量中 \(\sigma^3\) 项系数也依赖于高阶导数为零的条件。
更关键的是法向量 \(\mathbf{N}(s_0+\sigma)\) 的展开。由于 \(\mathbf{N}\) 是单位向量，且 \(\mathbf{N}' = -\kappa \mathbf{T}\)，我们可以得到：
\[\mathbf{N}(s_0+\sigma) = \begin{pmatrix} -\kappa_0 \sigma + \dots \\ 1 - \frac{\kappa_0^2}{2} \sigma^2 + \dots \end{pmatrix}. \]
步骤四：渐屈线方程的展开与主导项
将 \(\mathbf{e}(s_0+\sigma) = \mathbf{r}(s_0+\sigma) + R(\sigma) \mathbf{N}(s_0+\sigma)\) 的分量写出。经过仔细计算（并利用 \(R'(\sigma)\) 在 \(\sigma=0\) 附近由 \(\sigma^{m-1}\) 主导），我们可以得到渐屈线局部坐标 \((X(\sigma), Y(\sigma))\) 的渐近形式。其关键在于，\(X(\sigma)\) 和 \(Y(\sigma)\) 的展开式中最低阶非零项。
计算表明：
- \(X(\sigma)\) 的最低阶项通常来自 \(R(\sigma)\) 与 \(\mathbf{N}\) 的 \(x\) 分量（即 \(-\kappa_0 \sigma\)）的乘积，结合 \(\mathbf{r}\) 的 \(x\) 分量，会产生 \(\sigma\) 的某次幂。具体地，当 \(m \ge 2\) 时，可以证明 \(X(\sigma)\) 的主导项是 \(\sigma^{m+1}\) 量级（系数与 \(\kappa_0^{(m)}\) 相关）。
- \(Y(\sigma)\) 的最低阶项来自常数项和 \(\sigma^2\) 项的组合，其主导项是 \(\sigma^2\) 量级（常数项为 \(R_0\)）。
更精确地，在适当的坐标平移下（将渐屈线上的点 \(\mathbf{e}(s_0)\) 置于原点），我们有局部参数化：
\[X(\sigma) \approx a \sigma^{m+1}, \quad Y(\sigma) \approx b \sigma^2, \quad (a, b \text{为非零常数}). \]
这里 \(b = \kappa_0/2 \neq 0\)，而 \(a\) 与 \(\kappa_0^{(m)}\) 有关。
步骤五：奇点类型的判定
我们得到了渐屈线在奇点附近以 \(\sigma\) 为参数的局部方程形式：\((X, Y) \sim (\sigma^{m+1}, \sigma^2)\)。这是一个经典的普适开折形式。奇点的类型取决于指数 \(m+1\) 和 \(2\) 的关系。
- 奇点的基本性质：由于 \(Y \sim \sigma^2\)，可知在奇点处，曲线与一条直线（\(Y=0\) 即切线）相切，且该切线的接触阶数为 2（即通常的普通尖点情形切线为单切线）。但 \(X\) 的行为决定了奇点的更精细结构。
- \(m=1\) 的标准尖点：若 \(m=1\)，即仅 \(\kappa'(s_0)=0\) 但 \(\kappa''(s_0)\neq0\)，则 \(X \sim \sigma^2, Y \sim \sigma^2\)。但更精确的计算表明，此时 \((X, Y) \sim (\sigma^2, \sigma^3)\)（经过坐标旋转），对应一个普通尖点（或第一类尖点），其标准型为 \(x^2 = y^3\)。这是我们熟知的渐屈线尖点。
- \(m \ge 2\) 的高阶尖点：当 \(m \ge 2\) 时，\(X\) 的主导项次数 \(m+1\) 大于 2。这意味着在参数 \(\sigma\) 接近 0 时，\(X\) 的变化比 \(Y\) 的变化更快地趋于零。局部上，曲线在奇点处看起来像是一个“更扁平”的尖点。具体地：
- 若 \(m+1\) 是奇数（即 \(m\) 为偶数），则当 \(\sigma\) 变号时，\(X\) 也变号，而 \(Y\) 不变号（因为 \(\sigma^2\) 总是正）。这意味着曲线在奇点处自身交叉，形成自交点（或称二重点），而不是简单的尖点。这种自交点的两条分支分别对应于 \(\sigma > 0\) 和 \(\sigma < 0\)，它们以相同的二阶接触与同一条切线相切。
- 若 \(m+1\) 是偶数（即 \(m\) 为奇数），则 \(X\) 在 \(\sigma\) 变号时不变号，曲线不穿过自身，但具有更高的接触阶数。这对应于一种“高阶尖点”，有时称为“蝴蝶点”或更一般的 \(A_k\) 型奇点（在奇点分类中）。例如 \(m=2\) 时，\((X, Y) \sim (\sigma^3, \sigma^2)\)，通过交换坐标可化为 \(x^3 = y^2\)，这是一个尖点，但接触阶数更高（通常称为“尖点”仍是，但需注意标准尖点对应 \(A_2\)，这里 \(m=2\) 可能对应 \(A_3\) 等，取决于具体系数）。
步骤六：几何含义与原曲线的对应
这意味着什么？当原曲线的曲率函数在某点处具有高阶驻点时（即曲率变化极其平缓），其渐屈线（即圆的渐伸线）的奇点会从普通的尖点“退化为”更复杂的奇点，如自交点或高阶尖点。从渐屈线是曲率中心轨迹的角度看，这表示曲率中心在原曲线该点附近移动得非常缓慢，以至于轨迹产生“打结”或“徘徊”，形成自交。从渐开线的角度看，如果我们将这条渐屈线作为新的“原曲线”去展开其渐开线（即回到原曲线），那么原曲线在该点附近具有异常“平坦”的曲率变化，这影响了其渐开线的展开起始行为。
步骤七：举例与总结
以最简单的非平凡高阶情况 \(m=2\) 为例。设 \(\kappa'(s_0)=\kappa''(s_0)=0, \kappa'''(s_0)\neq0\)。原曲线在 \(s_0\) 附近曲率近似为 \(\kappa(s) \approx \kappa_0 + c (s-s_0)^3\)。其渐屈线在对应点处，局部形状类似于 \((X, Y) \sim ( (s-s_0)^3, (s-s_0)^2 )\)。通过坐标变换可化为 \(X^2 \approx Y^3\) 型，这是一个尖点，但不同于标准尖点，其两分支在奇点处的接触阶数更高（三阶接触）。这种奇点称为“高阶尖点”或“奇点类型 \(A_3\)”。
总之，圆的渐开线与其渐屈线（渐伸线）的关系不仅体现在经典的曲率半径等于展开弧长，更深层地，原曲线的曲率函数的微分性质（高阶导数零点）决定了其渐屈线奇点的精细结构。这为我们理解曲线族、包络、以及奇点传播提供了一个具体的微分几何模型，也暗示了在工程应用（如高阶齿轮设计、凸轮轮廓）中，若要求运动传递极为平顺（曲率变化极缓），其共轭齿廓的几何可能涉及更复杂的奇点形态。