高斯映射的微分与魏因加滕映射
好的，我们这次要深入探讨的词条是“高斯映射的微分与魏因加滕映射”。我将从最基础的概念开始，循序渐进地构建知识体系。
首先，我们需要明确“高斯映射”是什么。在曲面微分几何中，给定一个光滑曲面 \(S\)，其上任一点 \(p\) 都有单位法向量 \(N(p)\)。将所有点 \(p\) 映射到其对应的单位法向量 \(N(p)\)，而这些法向量都可以看作单位球面 \(S^2\) 上的点。这个从曲面 \(S\) 到单位球面 \(S^2\) 的映射 \(N: S \rightarrow S^2\)，就被称为高斯映射。它直观地描述了曲面法方向的变化。
步骤一：高斯映射的微分
高斯映射 \(N\) 本身是一个光滑映射，那么我们就可以对它求微分。在点 \(p\) 处，高斯映射的微分是一个线性映射：
\[dN_p: T_pS \rightarrow T_{N(p)}S^2 \]
这里 \(T_pS\) 是曲面 \(S\) 在点 \(p\) 的切平面，\(T_{N(p)}S^2\) 是球面 \(S^2\) 在点 \(N(p)\) 的切平面。关键在于，单位法向量场是垂直于曲面的，所以 \(N(p)\) 垂直于 \(T_pS\)。同时，因为 \(N(p)\) 是单位向量，其变化方向也必然垂直于它自身，这意味着 \(N(p)\) 的微小变化方向就在垂直于 \(N(p)\) 的平面内，而这个平面恰好是 \(T_pS\)。同样，球面 \(S^2\) 在点 \(N(p)\) 的切平面 \(T_{N(p)}S^2\) 也是垂直于 \(N(p)\) 的。因此，\(T_pS\) 和 \(T_{N(p)}S^2\) 实际上是同一个平面。所以，高斯映射的微分 \(dN_p\) 可以看作一个从切平面 \(T_pS\) 到自身的线性变换：
\[dN_p: T_pS \rightarrow T_pS \]
步骤二：魏因加滕映射（形状算子）的定义
这个将切平面映射到自身的线性变换 \(dN_p\) 极其重要，在微分几何中，它通常被称为魏因加滕映射或形状算子，记作 \(W_p\) 或 \(S_p\)：
\[W_p = -dN_p: T_pS \rightarrow T_pS \]
注意，这里多了一个负号。这个负号是传统约定，主要是为了使后续的曲率公式（如主曲率）保持为正时，对应曲面朝法向量方向弯曲。我们暂时接受这个定义：\(W_p(v) = -dN_p(v)\)，其中 \(v\) 是切向量。
步骤三：魏因加滕映射的几何意义
这个映射如何作用？考虑曲面上过点 \(p\) 的一条曲线 \(\alpha(t)\)，满足 \(\alpha(0) = p\)，其切向量 \(\alpha'(0) = v \in T_pS\)。沿着这条曲线，法向量场变化为 \(N(\alpha(t))\)。那么，法向量沿曲线方向 \(v\) 的变化率就是 \(dN_p(v)\)。由于这个变化率向量也在切平面内，它衡量了法向量在 \(v\) 方向上是如何“倾斜”的。取负号后，\(W_p(v) = -dN_p(v)\) 就刻画了曲面在点 \(p\) 沿方向 \(v\) 的“弯曲”程度和方向。它描述了当你沿 \(v\) 方向在曲面上移动时，切平面是如何旋转的。
步骤四：魏因加滕映射与第二基本形式的关系
之前你可能学过曲面的第一和第二基本形式。第二基本形式 \(\text{II}_p(v, w)\) 是一个对称双线性形式，度量了曲面在点 \(p\) 沿两个切方向 \(v, w\) 的“法向弯曲”。它与魏因加滕映射有深刻的内在联系：
\[\text{II}_p(v, w) = \langle W_p(v), w \rangle = \langle v, W_p(w) \rangle \]
这里 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示切平面上的内积（由曲面的第一基本形式诱导的黎曼度量）。这个等式是理解形状算子的关键：它将一个线性算子 \(W_p\) 与一个二次型（第二基本形式）联系了起来。由于内积是对称的，且 \(\text{II}_p\) 对称，可以推出 \(W_p\) 关于此内积是自伴的（对称的），即 \(\langle W_p(v), w \rangle = \langle v, W_p(w) \rangle\)。
步骤五：主曲率、主方向与魏因加滕映射
因为 \(W_p\) 是自伴线性算子，根据实对称矩阵的谱定理，它在切平面上存在两个正交的特征方向（可能退化为一个）。这些特征方向称为曲面在点 \(p\) 的主方向。对应的特征值 \(k_1, k_2\) 就称为曲面在点 \(p\) 的主曲率。即，如果 \(e_1\) 是一个主方向，满足：
\[W_p(e_1) = k_1 e_1 \]
这意味着，沿主方向 \(e_1\)，法向量的变化率（的负值）恰好是沿着 \(e_1\) 自身方向，且比例系数就是主曲率 \(k_1\)。主曲率是法曲率（曲面沿某个切方向的法曲率）的最大值和最小值。
步骤六：高斯曲率、平均曲率与魏因加滕映射
主曲率 \(k_1, k_2\) 完全由 \(W_p\) 决定。而两个最基本的内蕴和外蕴曲率不变量——高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\) —— 就可以用 \(W_p\) 表示：
- 高斯曲率 \(K\) 是 \(W_p\) 的行列式：
\[ K = \det(W_p) = k_1 \cdot k_2 \]
这解释了为什么高斯曲率是内蕴的（由第一基本形式决定），因为根据高斯绝妙定理，它可以通过第一基本形式计算，而这里它表现为形状算子的行列式，但该行列式的值最终只依赖于第一基本形式。
- 平均曲率 \(H\) 是 \(W_p\) 的迹的一半：
\[ H = \frac{1}{2} \text{tr}(W_p) = \frac{k_1 + k_2}{2} \]
平均曲率衡量曲面在一点的平均弯曲程度，与曲面在物理中的极小曲面（\(H=0\)）等问题密切相关。
总结一下：
我们从高斯映射 \(N\) 出发，引入了其微分 \(dN_p\)，并定义了魏因加滕映射（形状算子） \(W_p = -dN_p\)。这是一个从切平面到自身的自伴线性变换。它完美地编码了曲面的局部弯曲信息：它的特征值和特征向量分别给出了主曲率和主方向；它的行列式和迹分别给出了高斯曲率和平均曲率。因此，魏因加滕映射是连接曲面的外在几何（法向量变化）和内在曲率不变量（\(K, H\)）的核心桥梁。