代数系统的正规子群与商群

字数 4263 2025-12-07 17:49:25

代数系统的正规子群与商群

好的，我们开始学习“代数系统的正规子群与商群”这个词条。为了让你透彻理解，我将从最基础的概念开始，一步步构建，直到核心定义和结论。

第一步：复习核心基础——群

首先，我们需要一个最基础的代数结构：群。

定义：一个群是一个集合 \(G\)，配上一种二元运算（通常称为乘法，记作 \(\cdot\) 或省略），满足以下四条公理：

封闭性：对任意 \(a, b \in G\)，有 \(a \cdot b \in G\)。
结合律：对任意 \(a, b, c \in G\)，有 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。
单位元存在：存在一个元素 \(e \in G\)，使得对任意 \(a \in G\)，有 \(e \cdot a = a \cdot e = a\)。这个 \(e\) 称为单位元。
逆元存在：对任意 \(a \in G\)，存在一个元素 \(b \in G\)，使得 \(a \cdot b = b \cdot a = e\)。这个 \(b\) 称为 \(a\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。

例子：全体整数 \(\mathbb{Z}\) 关于加法构成一个群，单位元是0。全体非零实数 \(\mathbb{R}^*\) 关于乘法构成一个群，单位元是1。

第二步：从群到子群

在一个大群内部，我们可以找到一些具有同样群结构的小集合。

定义：设 \(G\) 是一个群。如果 \(G\) 的一个子集 \(H\) 关于 \(G\) 的运算也构成一个群，则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，记作 \(H \leq G\)。
判别法：要检验非空子集 \(H\) 是否为子群，只需验证：

对任意 \(a, b \in H\)，有 \(a \cdot b \in H\)。（封闭性）
对任意 \(a \in H\)，有 \(a^{-1} \in H\)。（存在逆元）
（单位元的存在性可由这两条推出。）

第三步：引入陪集与等价关系

我们希望用子群来“分割”整个群。为此，我们定义一种等价关系。

左陪集：设 \(H\) 是 \(G\) 的子群。对于 \(G\) 中任意一个元素 \(g\)，集合 \(gH = \{ g \cdot h \mid h \in H \}\) 称为 \(H\) 的一个左陪集。
等价关系：我们可以定义一个关系：\(a \sim b\) 当且仅当 \(a^{-1}b \in H\)。可以证明这是一个等价关系。

它的一个等价类正好是 \(aH\)。
所有不同的左陪集 \(\{ gH \}\) 构成了群 \(G\) 的一个划分，即 \(G\) 中每个元素属于且仅属于一个左陪集。

右陪集：类似地，可以定义右陪集 \(Hg = \{ h \cdot g \mid h \in H \}\)。它由等价关系 \(a \sim’ b\) 当且仅当 \(ab^{-1} \in H\) 定义。

第四步：核心障碍与关键定义——正规子群

现在，一个自然的想法是：我们能否在所有这些陪集构成的集合上，自然地定义一种群运算？这个新群称为“商群”。

自然的尝试：我们希望定义陪集之间的乘法为：\((aH) \cdot (bH) = (ab)H\)。
问题：这个定义是否合理（良定义）？它必须不依赖于陪集代表元 \(a, b\) 的选择。即，如果 \(aH = a’H\) 且 \(bH = b’H\)，那么必须有 \((ab)H = (a’b’)H\)。
推导条件：

由 \(aH = a’H\)，知存在 \(h_1 \in H\) 使 \(a’ = a h_1\)。
由 \(bH = b’H\)，知存在 \(h_2 \in H\) 使 \(b’ = b h_2\)。
那么 \(a’b’ = a h_1 b h_2\)。
我们希望 \(a’b’ \in (ab)H\)，即存在某个 \(h_3 \in H\) 使得 \(a h_1 b h_2 = a b h_3\)。
两边左乘 \(a^{-1}\)，右乘 \(h_2^{-1}\)，得到：\(h_1 b = b h_3 h_2^{-1}\)。
为了使右边是 \(b\) 乘以 \(H\) 中某个元素，我们需要对任意 \(b \in G\) 和 \(h_1 \in H\)，存在某个 \(h’ \in H\) 使得 \(h_1 b = b h’\)。
这等价于：对任意 \(b \in G\)，有 \(b^{-1} h_1 b \in H\)，记作 \(b^{-1} H b \subseteq H\)。

正规子群的定义：一个子群 \(N \leq G\) 如果满足以下等价条件之一，则称为 \(G\) 的正规子群，记作 \(N \trianglelefteq G\)：

\(\forall g \in G, g^{-1} N g \subseteq N\)。（共轭不变性）
\(\forall g \in G, g^{-1} N g = N\)。
\(\forall g \in G, g N = N g\)。（左陪集等于右陪集）
核心等价条件：由 \(N\) 确定的左陪集划分与右陪集划分完全相同。

第五步：构建商群

一旦我们有了正规子群，之前的障碍就消失了。

构造：设 \(N \trianglelefteq G\)。考虑 \(G\) 关于 \(N\) 的所有陪集构成的集合，记作 \(G/N = \{ gN \mid g \in G \}\)。
运算：在 \(G/N\) 上定义乘法为：\((aN) \cdot (bN) = (ab)N\)。

由于 \(N\) 是正规子群，可以证明这个运算是良定义的。

验证群公理：
- 封闭性/良定性：已由定义和正规性保证。

结合律：继承自 \(G\) 的结合律。\((aN \cdot bN) \cdot cN = (ab)c N = a(bc) N = aN \cdot (bN \cdot cN)\)。
单位元：陪集 \(eN = N\) 就是单位元，因为 \((eN)(aN) = (ea)N = aN\)。
逆元：陪集 \(a^{-1}N\) 是 \(aN\) 的逆元，因为 \((a^{-1}N)(aN) = (a^{-1}a)N = eN\)。

定义：如上定义的群 \((G/N, \cdot)\) 称为群 \(G\) 关于正规子群 \(N\) 的商群（或因子群）。

第六步：直观理解与例子

直观：你可以将商群 \(G/N\) 理解为将整个群 \(G\) “模掉”子群 \(N\) 的影响。在 \(G/N\) 中，子群 \(N\) 本身坍缩成了新的单位元，而 \(N\) 的每一个陪集被“打包”成了一个新群中的一个点。
经典例子：

整数模n：考虑整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\)。取 \(N = n\mathbb{Z}\)（所有n的倍数构成的子群）。它是正规子群（因为 \(\mathbb{Z}\) 是交换群，所有子群都正规）。商群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的元素是陪集 \(\bar{0} = n\mathbb{Z}, \bar{1} = 1 + n\mathbb{Z}, …, \overline{n-1} = (n-1) + n\mathbb{Z}\)。它的运算就是模 \(n\) 加法。这正是我们熟悉的模 \(n\) 剩余类群。
一般线性群与特殊线性群：考虑所有 \(n \times n\) 可逆实矩阵构成的群 \(GL_n(\mathbb{R})\)（乘法群）。它的子群 \(SL_n(\mathbb{R})\)（所有行列式为1的矩阵）是正规子群。商群 \(GL_n(\mathbb{R}) / SL_n(\mathbb{R})\) 实际上同构于非零实数乘法群 \(\mathbb{R}^*\)，因为每个陪集由其中所有矩阵的行列式这个共同的值来标识。

第七步：重要关联——同态基本定理

正规子群和商群与群同态有最本质的联系。

核是正规子群：设 \(\phi: G \to H\) 是一个群同态（即保持群运算的映射：\(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\)）。它的核 \(\ker(\phi) = \{ g \in G \mid \phi(g) = e_H \}\) 是 \(G\) 的一个正规子群。
同态基本定理：这是整个概念的核心。设 \(\phi: G \to H\) 是满同态，\(N = \ker(\phi)\)。那么存在唯一的群同构 \(\tilde{\phi}: G/N \to H\)，使得 \(\phi = \tilde{\phi} \circ \pi\)，其中 \(\pi: G \to G/N\) 是自然投影同态（\(\pi(g) = gN\)）。
意义：这个定理告诉我们：
- 任何同态的像都同构于一个商群。
- 正规子群和同态的核是一一对应的（在同构意义下）。

商群 \(G/N\) 是“最经济”的使得 \(N\) 中元素都被映到单位元的群。

总结一下我们的学习路径：我们从群这个基本结构出发，引出子群，然后用子群定义陪集来分割群。为了在陪集集合上定义良定的群运算，我们发现了正规子群这一关键概念。最后，我们利用正规子群成功构造了商群，并通过同态基本定理揭示了它与群同态之间深刻而完美的对应关系。这就是代数中“正规子群与商群”理论的完整图景。

代数系统的正规子群与商群好的，我们开始学习“代数系统的正规子群与商群”这个词条。为了让你透彻理解，我将从最基础的概念开始，一步步构建，直到核心定义和结论。第一步：复习核心基础——群首先，我们需要一个最基础的代数结构：群。定义：一个群是一个集合 \( G \)，配上一种二元运算（通常称为乘法，记作 \( \cdot \) 或省略），满足以下四条公理：封闭性：对任意 \( a, b \in G \)，有 \( a \cdot b \in G \)。结合律：对任意 \( a, b, c \in G \)，有 \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)。单位元存在：存在一个元素 \( e \in G \)，使得对任意 \( a \in G \)，有 \( e \cdot a = a \cdot e = a \)。这个 \( e \) 称为单位元。逆元存在：对任意 \( a \in G \)，存在一个元素 \( b \in G \)，使得 \( a \cdot b = b \cdot a = e \)。这个 \( b \) 称为 \( a \) 的逆元，记作 \( a^{-1} \)。例子：全体整数 \( \mathbb{Z} \) 关于加法构成一个群，单位元是0。全体非零实数 \( \mathbb{R}^* \) 关于乘法构成一个群，单位元是1。第二步：从群到子群在一个大群内部，我们可以找到一些具有同样群结构的小集合。定义：设 \( G \) 是一个群。如果 \( G \) 的一个子集 \( H \) 关于 \( G \) 的运算也构成一个群，则称 \( H \) 是 \( G \) 的一个子群，记作 \( H \leq G \)。判别法：要检验非空子集 \( H \) 是否为子群，只需验证：对任意 \( a, b \in H \)，有 \( a \cdot b \in H \)。（封闭性）对任意 \( a \in H \)，有 \( a^{-1} \in H \)。（存在逆元）（单位元的存在性可由这两条推出。）第三步：引入陪集与等价关系我们希望用子群来“分割”整个群。为此，我们定义一种等价关系。左陪集：设 \( H \) 是 \( G \) 的子群。对于 \( G \) 中任意一个元素 \( g \)，集合 \( gH = \{ g \cdot h \mid h \in H \} \) 称为 \( H \) 的一个左陪集。等价关系：我们可以定义一个关系：\( a \sim b \) 当且仅当 \( a^{-1}b \in H \)。可以证明这是一个等价关系。它的一个等价类正好是 \( aH \)。所有不同的左陪集 \( \{ gH \} \) 构成了群 \( G \) 的一个划分，即 \( G \) 中每个元素属于且仅属于一个左陪集。右陪集：类似地，可以定义右陪集 \( Hg = \{ h \cdot g \mid h \in H \} \)。它由等价关系 \( a \sim’ b \) 当且仅当 \( ab^{-1} \in H \) 定义。第四步：核心障碍与关键定义——正规子群现在，一个自然的想法是：我们能否在所有这些陪集构成的集合上，自然地定义一种群运算？这个新群称为“商群”。自然的尝试：我们希望定义陪集之间的乘法为：\( (aH) \cdot (bH) = (ab)H \)。问题：这个定义是否合理（良定义）？它必须不依赖于陪集代表元 \( a, b \) 的选择。即，如果 \( aH = a’H \) 且 \( bH = b’H \)，那么必须有 \( (ab)H = (a’b’)H \)。推导条件：由 \( aH = a’H \)，知存在 \( h_ 1 \in H \) 使 \( a’ = a h_ 1 \)。由 \( bH = b’H \)，知存在 \( h_ 2 \in H \) 使 \( b’ = b h_ 2 \)。那么 \( a’b’ = a h_ 1 b h_ 2 \)。我们希望 \( a’b’ \in (ab)H \)，即存在某个 \( h_ 3 \in H \) 使得 \( a h_ 1 b h_ 2 = a b h_ 3 \)。两边左乘 \( a^{-1} \)，右乘 \( h_ 2^{-1} \)，得到：\( h_ 1 b = b h_ 3 h_ 2^{-1} \)。为了使右边是 \( b \) 乘以 \( H \) 中某个元素，我们需要对任意 \( b \in G \) 和 \( h_ 1 \in H \)，存在某个 \( h’ \in H \) 使得 \( h_ 1 b = b h’ \)。这等价于：对任意 \( b \in G \)，有 \( b^{-1} h_ 1 b \in H \)，记作 \( b^{-1} H b \subseteq H \)。正规子群的定义：一个子群 \( N \leq G \) 如果满足以下等价条件之一，则称为 \( G \) 的正规子群，记作 \( N \trianglelefteq G \)： \( \forall g \in G, g^{-1} N g \subseteq N \)。（共轭不变性） \( \forall g \in G, g^{-1} N g = N \)。 \( \forall g \in G, g N = N g \)。（左陪集等于右陪集）核心等价条件：由 \( N \) 确定的左陪集划分与右陪集划分完全相同。第五步：构建商群一旦我们有了正规子群，之前的障碍就消失了。构造：设 \( N \trianglelefteq G \)。考虑 \( G \) 关于 \( N \) 的所有陪集构成的集合，记作 \( G/N = \{ gN \mid g \in G \} \)。运算：在 \( G/N \) 上定义乘法为：\( (aN) \cdot (bN) = (ab)N \)。由于 \( N \) 是正规子群，可以证明这个运算是良定义的。验证群公理：封闭性/良定性：已由定义和正规性保证。结合律：继承自 \( G \) 的结合律。\( (aN \cdot bN) \cdot cN = (ab)c N = a(bc) N = aN \cdot (bN \cdot cN) \)。单位元：陪集 \( eN = N \) 就是单位元，因为 \( (eN)(aN) = (ea)N = aN \)。逆元：陪集 \( a^{-1}N \) 是 \( aN \) 的逆元，因为 \( (a^{-1}N)(aN) = (a^{-1}a)N = eN \)。定义：如上定义的群 \( (G/N, \cdot) \) 称为群 \( G \) 关于正规子群 \( N \) 的商群（或因子群）。第六步：直观理解与例子直观：你可以将商群 \( G/N \) 理解为将整个群 \( G \) “模掉”子群 \( N \) 的影响。在 \( G/N \) 中，子群 \( N \) 本身坍缩成了新的单位元，而 \( N \) 的每一个陪集被“打包”成了一个新群中的一个点。经典例子：整数模n ：考虑整数加法群 \( (\mathbb{Z}, +) \)。取 \( N = n\mathbb{Z} \)（所有n的倍数构成的子群）。它是正规子群（因为 \( \mathbb{Z} \) 是交换群，所有子群都正规）。商群 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) 的元素是陪集 \( \bar{0} = n\mathbb{Z}, \bar{1} = 1 + n\mathbb{Z}, …, \overline{n-1} = (n-1) + n\mathbb{Z} \)。它的运算就是模 \( n \) 加法。这正是我们熟悉的模 \( n \) 剩余类群。一般线性群与特殊线性群：考虑所有 \( n \times n \) 可逆实矩阵构成的群 \( GL_ n(\mathbb{R}) \)（乘法群）。它的子群 \( SL_ n(\mathbb{R}) \)（所有行列式为1的矩阵）是正规子群。商群 \( GL_ n(\mathbb{R}) / SL_ n(\mathbb{R}) \) 实际上同构于非零实数乘法群 \( \mathbb{R}^* \)，因为每个陪集由其中所有矩阵的行列式这个共同的值来标识。第七步：重要关联——同态基本定理正规子群和商群与群同态有最本质的联系。核是正规子群：设 \( \phi: G \to H \) 是一个群同态（即保持群运算的映射：\( \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) \)）。它的核 \( \ker(\phi) = \{ g \in G \mid \phi(g) = e_ H \} \) 是 \( G \) 的一个正规子群。同态基本定理：这是整个概念的核心。设 \( \phi: G \to H \) 是满同态，\( N = \ker(\phi) \)。那么存在唯一的群同构 \( \tilde{\phi}: G/N \to H \)，使得 \( \phi = \tilde{\phi} \circ \pi \)，其中 \( \pi: G \to G/N \) 是自然投影同态（\( \pi(g) = gN \)）。意义：这个定理告诉我们：任何同态的像都同构于一个商群。正规子群和同态的核是一一对应的（在同构意义下）。商群 \( G/N \) 是“最经济”的使得 \( N \) 中元素都被映到单位元的群。总结一下我们的学习路径：我们从群这个基本结构出发，引出子群，然后用子群定义陪集来分割群。为了在陪集集合上定义良定的群运算，我们发现了正规子群这一关键概念。最后，我们利用正规子群成功构造了商群，并通过同态基本定理揭示了它与群同态之间深刻而完美的对应关系。这就是代数中“正规子群与商群”理论的完整图景。