切比雪夫网 引言与背景 切比雪夫网是曲面上的一种特殊的曲线网，由俄国数学家帕夫努季·切比雪夫在19世纪提出。它来源于一个实用问题：如何设计一种机械连杆系统，使得一个点在平面上运动时能精确地通过一组给定的位置。在几何上，切比雪夫网表现为曲面上两族曲线，它们以恒定角度相交（通常为直角），且满足每个“网格”的边长在某种意义下相等。这种网格结构在计算机图形学、曲面离散化和可展曲面设计中有着重要应用。 定义与基本性质 给定一个曲面，其上的切比雪夫网由两族曲线构成： 这两族曲线处处以一个固定角度 θ 相交（通常取 θ = 90°，此时称为正交切比雪夫网）。 沿每一族曲线，相邻交点之间的曲线弧长是常数。 更形式化地说，设曲面有参数化 \( \mathbf{r}(u,v) \)，曲线网由两族参数曲线 \( u = \text{常数} \) 和 \( v = \text{常数} \) 给出。如果存在常数 \( L_ 1, L_ 2 > 0 \) 使得： 沿 \( v \) 线（\( u \) 变化），曲线弧长微元 \( \sqrt{E} \, du = L_ 1 \, du \) 为常数（即第一基本形式系数 \( E \) 只依赖于 \( v \)）； 沿 \( u \) 线（\( v \) 变化），曲线弧长微元 \( \sqrt{G} \, dv = L_ 2 \, dv \) 为常数（即 \( G \) 只依赖于 \( u \)）； 且两族曲线的夹角余弦 \( \cos\theta = F / \sqrt{EG} \) 为常数， 则该曲线网是切比雪夫网。特别地，当 \( F = 0 \) 且 \( E = E(v), G = G(u) \) 时，得到正交切比雪夫网。 与可展曲面的联系 切比雪夫网的一个重要特性是：如果一个曲面可以等距映射（不拉伸）到平面上，即曲面是可展曲面，那么它在平面上的像自然形成一个切比雪夫网（通常取直角坐标网）。反过来，如果曲面上存在一个正交切比雪夫网，且高斯曲率处处为零，则该曲面必为可展曲面。这是因为 \( E = E(v), G = G(u) \) 且 \( F=0 \) 时，高斯曲率公式 \( K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}} \left( \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{G_ u}{\sqrt{EG}}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{E_ v}{\sqrt{EG}}\right) \right) \) 可简化，若 \( K=0 \) 则导出可展条件。 构造与微分方程刻画 要在一个给定曲面上构造切比雪夫网，通常需要求解一个偏微分方程。设曲面有第一基本形式 \( ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \)，寻求新的参数 \( (\alpha, \beta) \) 使得： \[ \frac{\partial}{\partial \alpha} \sqrt{E\left(\frac{\partial u}{\partial \alpha}\right)^2 + 2F \frac{\partial u}{\partial \alpha}\frac{\partial v}{\partial \alpha} + G\left(\frac{\partial v}{\partial \alpha}\right)^2 } = 0, \] 对另一参数类似。这等价于要求拉梅系数满足可分离条件。在正交情形下（\( F=0 \)），该方程简化为 \( E_ v / E = G_ u / G = 0 \)，即 \( E = E(v), G = G(u) \)。 在离散几何中的应用 在离散微分几何中，切比雪夫网的概念被推广到多面体或三角网格上。一个离散切比雪夫网要求：网格由两族相交的折线组成，所有四边形面为平行四边形（保持对边相等），这反映了连续情形下“沿每族曲线弧长间隔相等”的性质。这种网格可用于曲面参数化、纹理映射和可展条带设计，例如在建筑中用于制造弯曲的金属或木板结构。 实例 旋转曲面（如圆柱、圆锥）上，经线和纬线构成正交切比雪夫网，因为 \( E = E(v), G = G(u) \) 且 \( F=0 \)。 螺旋面上，螺旋线与其正交轨线也形成正交切比雪夫网。 平面上任何直角坐标网是平凡的切比雪夫网。 伪球面（常负高斯曲率曲面）上也存在非平凡的切比雪夫网，与它的测地线有关。 总结 切比雪夫网是曲面上具有等弧长间隔性质的曲线网，它联系了可展曲面、曲面的等距映射及离散几何。其核心是两族曲线以固定角度相交，且每族曲线的相邻交点间弧长为常数。这一结构既有着优美的几何理论，又在工程和计算机图形学中提供了曲面离散化和制造的实用工具。