数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程
字数 4740 2025-12-07 15:59:55

好的，我们开始今天的词条。

数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程

我们之前已经介绍过特征线法，并将其应用于拟线性一阶偏微分方程。今天，我们将沿着特征线的思想，向更一般、也更富挑战性的领域推进：完全非线性一阶偏微分方程。

第一步：回顾与动机——从拟线性到完全非线性

  1. 拟线性方程回顾：
    我们熟悉的拟线性一阶方程形式为：

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i(x_1, ..., x_n, u) \frac{\partial u}{\partial x_i} = b(x_1, ..., x_n, u) \]

其核心特征是，方程关于未知函数 \(u\) 的一阶偏导数是线性的，尽管系数可以依赖于 \(u\) 本身。对于这类方程，特征线法将其转化为一个常微分方程组（特征方程组）来求解。其思想是在增广的 \((x_1, ..., x_n, u)\) 空间中定义特征曲线，u沿着这些曲线满足一个常微分方程。

  1. 完全非线性方程的定义：
    现在，我们考虑更一般的情形——完全非线性一阶偏微分方程。其一般形式为：

\[ F(x_1, ..., x_n, u, p_1, ..., p_n) = 0 \]

其中，\(p_i = \frac{\partial u}{\partial x_i}\)。关键区别在于，函数 \(F\) 对偏导数 \(p_i\) 的依赖是非线性的。这意味着我们无法像拟线性方程那样，直接将方程重写为 \(a \cdot \nabla u = b\) 的形式。汉密尔顿-雅可比方程 \(u_t + H(\nabla u, x) = 0\) 就是此类方程的著名例子，其中 \(H\) 是 \(p=\nabla u\) 的非线性函数。

第二步：几何视角的提升——从“方向场”到“切触元素”

为了解决完全非线性问题，我们需要提升几何框架。

  1. 拟线性情形的几何：
    对于拟线性方程 \(a \cdot \nabla u = b\)，它在每一点 \((x, u)\) 定义了一个方向 \((a, b)\)。这个方向位于 \((x, u)\) 空间的切空间内。特征曲线就是沿着这个方向场的积分曲线。解曲面 \(u=u(x)\) 被这些特征曲线所织成。

  2. 完全非线性情形的挑战：
    对于方程 \(F(x, u, p)=0\)，它不再直接给出解曲面上的一个“移动方向”，而是给出了一个关于解曲面在每一点的切平面的约束。一个点 \((x, u)\) 加上一个切平面（由梯度 \(p\) 定义）合起来，被称为一个切触元素。

  3. 扩展空间与特征方程组：
    为了处理这个约束，我们进入一个更高维的空间——1阶射流丛 \(J^1\)，其坐标为 \((x, u, p)\)。在这个空间里，我们的方程 \(F=0\) 定义了一个超曲面 \(\Sigma\)。求解一个完全非线性偏微分方程，在几何上等价于在 \(J^1\) 中寻找一个 n 维子流形（对应于解曲面及其梯度场），它既落在超曲面 \(\Sigma\) 上，又是一个“勒让德子流形”（即其上的1形式 \(du - p \cdot dx\) 为零，这恰好是梯度定义 \(du = p \cdot dx\) 的几何表述）。

第三步：广义特征线法——查普曼方法

在 \(J^1\) 空间中，我们可以构造特征曲线，但此时它们不仅演化空间坐标 \(x\) 和函数值 \(u\)，还演化梯度 \(p\)。

  1. 广义特征方程组（查普曼方程）：
    对于方程 \(F(x, u, p)=0\)，其广义特征方程组如下：

\[ \begin{aligned} \frac{dx_i}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial p_i} \\ \frac{dp_i}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial x_i} - p_i \frac{\partial F}{\partial u} \\ \frac{du}{dt} &= \sum_{i=1}^{n} p_i \frac{\partial F}{\partial p_i} \end{aligned} \]

其中 \(t\) 是沿特征曲线的参数。

  1. 方程的推导与理解：
  • 第一组方程 \(\dot{x} = F_p\)：这定义了特征线在物理空间 \(x\) 中的“速度”，它由方程对梯度 \(p\) 的导数决定，是拟线性情形的自然推广。
  • 第二组方程 \(\dot{p} = -F_x - p F_u\)：这是全新的，也是最关键的部分。它描述了梯度 \(p\) 沿着特征线如何变化。变化率由方程对 \(x\) 和 \(u\) 的依赖性驱动。这保证了沿着特征线，方程 \(F=0\) 的恒成立性（可以验证 \(dF/dt = 0\)）。
  • 第三组方程 \(\dot{u} = p \cdot F_p\)：这描述了 \(u\) 值沿着特征线的变化，由链式法则 \(du/dt = p \cdot dx/dt\) 自然得出。
  1. 与哈密顿系统的联系：
    仔细观察，如果将 \(F\) 视为“哈密顿量”，\(x\) 视为“坐标”，\(p\) 视为“共轭动量”，那么前两组方程 \(\dot{x}=F_p, \dot{p} = -F_x\) 恰好是哈密顿正则方程的形式（多了一项 \(-p F_u\)，当 \(F\) 不显含 \(u\) 时此项消失，如标准的哈密顿-雅可比方程）。因此，求解完全非线性一阶偏微分方程的特征线，等价于求解一个相关联的哈密顿动力系统。

第四步：求解步骤与柯西问题

假设我们有一个柯西问题：在某个 \((n-1)\) 维初始流形 \(\Gamma\) 上给定了初始值 \(u = g(s)\)，其中 \(s\) 是 \(\Gamma\) 上的坐标。

  1. 在初始流形上构造初始数据：
  • 在 \(\Gamma\) 上，我们有 \(x = x_0(s)\) 和 \(u = u_0(s) = g(s)\)。
  • 我们需要找到初始梯度 \(p = p_0(s)\)。它必须满足两个条件：
    (1) 偏微分方程：\(F(x_0(s), u_0(s), p_0(s)) = 0\)。
    (2) 切向条件：沿着 \(\Gamma\)，\(u\) 的变化应与梯度一致，即 \(\frac{\partial u_0}{\partial s_j} = \sum_{i=1}^n p_{0,i} \frac{\partial x_{0,i}}{\partial s_j}\)。这保证了初始数据能光滑延拓为解。
  1. 沿特征线演化：
    对于每一组初始数据 \((x_0(s), u_0(s), p_0(s))\)，将其代入广义特征方程组，从 \(t=0\) 开始积分，得到一族特征曲线：

\[ x = X(s, t), \quad u = U(s, t), \quad p = P(s, t)。 \]

  1. 从特征线构建解曲面：
    在参数空间 \((s, t)\) 的适当区域内，如果映射 \((s, t) \to x = X(s, t)\) 是局部可逆的（即雅可比行列式非零），那么我们可以反解出 \(s = S(x), t = T(x)\)。最终，解函数由下式给出：

\[ u(x) = U(S(x), T(x))。 \]

其梯度满足 \(\nabla u(x) = P(S(x), T(x))\)。

第五步：一个经典例子——哈密顿-雅可比方程

考虑一个不显含 \(u\) 的简单例子：

\[\frac{\partial u}{\partial t} + H\left(\nabla_x u\right) = 0, \quad u(0, x) = g(x)。 \]

这里 \(x \in \mathbb{R}^n\)， \(p = \nabla_x u\)，方程是 \(F(t, x, u, p_t, p) = p_t + H(p) = 0\)，其中 \(p_t = u_t\)。

  1. 写出广义特征方程组：
    将 \(F = p_t + H(p)\) 代入查普曼方程。注意这里坐标是 \((t, x)\)，对应的梯度是 \((p_t, p)\)。

\[ \begin{aligned} \frac{dt}{d\tau} &= \frac{\partial F}{\partial p_t} = 1 \quad \Rightarrow \quad t = \tau \\ \frac{dx}{d\tau} &= \frac{\partial F}{\partial p} = \nabla_p H(p) \\ \frac{dp_t}{d\tau} &= -\frac{\partial F}{\partial t} - p_t \frac{\partial F}{\partial u} = 0 \\ \frac{dp}{d\tau} &= -\frac{\partial F}{\partial x} - p \frac{\partial F}{\partial u} = 0 \\ \frac{du}{d\tau} &= p_t \frac{\partial F}{\partial p_t} + p \cdot \frac{\partial F}{\partial p} = p_t \cdot 1 + p \cdot \nabla_p H(p) \end{aligned} \]

由第三、四个方程知，\(p_t\) 和 \(p\) 沿特征线为常数。记 \(p_t(0) = -H(p_0)\)， \(p(0) = p_0 = \nabla g(x_0)\)。

  1. 求解特征线：

\[ \begin{aligned} t &= \tau \\ x(\tau) &= x_0 + \tau \nabla_p H(p_0) \\ u(\tau) &= g(x_0) + \tau [ -H(p_0) + p_0 \cdot \nabla_p H(p_0) ] \end{aligned} \]

这里，特征线是直线，速度由初始梯度 \(p_0\) 通过 \(H\) 的梯度决定。

  1. 解的构建与挑战：
    解由 \(u(t, x) = g(x_0) + t [ -H(p_0) + p_0 \cdot \nabla_p H(p_0) ]\) 给出，其中 \(x_0 = x - t \nabla_p H(p_0)\)，且 \(p_0 = \nabla g(x_0)\)。这个解是隐式的，因为 \(x_0\) 和 \(p_0\) 互相依赖。更重要的是，从不同 \(x_0\) 出发的特征线可能会在有限时间内相交，导致函数 \(u\) 出现多值，在物理上对应于激波的形成。这就引出了粘性解或弱解的概念，这是完全非线性方程理论中一个深刻而重要的部分。

总结：对于完全非线性一阶偏微分方程，特征线法通过提升到包含梯度变量 \(p\) 的射流丛空间，将问题转化为求解一个哈密顿形式的常微分方程组。这个方法不仅提供了构造经典解的工具，也深刻地揭示了非线性波动中奇性（如激波）产生的机制，是连接偏微分方程、几何和动力学的优美桥梁。

好的，我们开始今天的词条。 数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程 我们之前已经介绍过特征线法，并将其应用于 拟线性一阶偏微分方程 。今天，我们将沿着特征线的思想，向更一般、也更富挑战性的领域推进： 完全非线性一阶偏微分方程 。 第一步：回顾与动机——从拟线性到完全非线性 拟线性方程回顾 ： 我们熟悉的拟线性一阶方程形式为： \[ \sum_ {i=1}^{n} a_ i(x_ 1, ..., x_ n, u) \frac{\partial u}{\partial x_ i} = b(x_ 1, ..., x_ n, u) \] 其核心特征是，方程关于未知函数 \(u\) 的一阶偏导数是 线性 的，尽管系数可以依赖于 \(u\) 本身。对于这类方程，特征线法将其转化为一个 常微分方程组 （特征方程组）来求解。其思想是在 增广的 \((x_ 1, ..., x_ n, u)\) 空间 中定义特征曲线，u沿着这些曲线满足一个常微分方程。 完全非线性方程的定义 ： 现在，我们考虑更一般的情形—— 完全非线性一阶偏微分方程 。其一般形式为： \[ F(x_ 1, ..., x_ n, u, p_ 1, ..., p_ n) = 0 \] 其中，\(p_ i = \frac{\partial u}{\partial x_ i}\)。关键区别在于，函数 \(F\) 对偏导数 \(p_ i\) 的依赖是 非线性的 。这意味着我们无法像拟线性方程那样，直接将方程重写为 \(a \cdot \nabla u = b\) 的形式。 汉密尔顿-雅可比方程 \(u_ t + H(\nabla u, x) = 0\) 就是此类方程的著名例子，其中 \(H\) 是 \(p=\nabla u\) 的非线性函数。 第二步：几何视角的提升——从“方向场”到“切触元素” 为了解决完全非线性问题，我们需要提升几何框架。 拟线性情形的几何 ： 对于拟线性方程 \(a \cdot \nabla u = b\)，它在每一点 \((x, u)\) 定义了一个 方向 \((a, b)\)。这个方向位于 \((x, u)\) 空间的切空间内。特征曲线就是沿着这个方向场的积分曲线。解曲面 \(u=u(x)\) 被这些特征曲线所织成。 完全非线性情形的挑战 ： 对于方程 \(F(x, u, p)=0\)，它不再直接给出解曲面上的一个“移动方向”，而是给出了一个关于 解曲面在每一点的切平面 的约束。一个点 \((x, u)\) 加上一个切平面（由梯度 \(p\) 定义）合起来，被称为一个 切触元素 。 扩展空间与特征方程组 ： 为了处理这个约束，我们进入一个更高维的空间—— 1阶射流丛 \(J^1\)，其坐标为 \((x, u, p)\)。在这个空间里，我们的方程 \(F=0\) 定义了一个超曲面 \(\Sigma\)。 求解一个完全非线性偏微分方程，在几何上等价于在 \(J^1\) 中寻找一个 n 维子流形（对应于解曲面及其梯度场），它既落在超曲面 \(\Sigma\) 上，又是一个“勒让德子流形” （即其上的1形式 \(du - p \cdot dx\) 为零，这恰好是梯度定义 \(du = p \cdot dx\) 的几何表述）。 第三步：广义特征线法——查普曼方法 在 \(J^1\) 空间中，我们可以构造特征曲线，但此时它们不仅演化空间坐标 \(x\) 和函数值 \(u\)，还演化梯度 \(p\)。 广义特征方程组（查普曼方程） ： 对于方程 \(F(x, u, p)=0\)，其广义特征方程组如下： \[ \begin{aligned} \frac{dx_ i}{dt} &= \frac{\partial F}{\partial p_ i} \\ \frac{dp_ i}{dt} &= -\frac{\partial F}{\partial x_ i} - p_ i \frac{\partial F}{\partial u} \\ \frac{du}{dt} &= \sum_ {i=1}^{n} p_ i \frac{\partial F}{\partial p_ i} \end{aligned} \] 其中 \(t\) 是沿特征曲线的参数。 方程的推导与理解 ： 第一组方程 \(\dot{x} = F_ p\)：这定义了特征线在物理空间 \(x\) 中的“速度”，它由方程对梯度 \(p\) 的导数决定，是拟线性情形的自然推广。 第二组方程 \(\dot{p} = -F_ x - p F_ u\)：这是全新的，也是最关键的部分。它描述了梯度 \(p\) 沿着特征线如何变化。变化率由方程对 \(x\) 和 \(u\) 的依赖性驱动。这保证了 沿着特征线，方程 \(F=0\) 的恒成立性 （可以验证 \(dF/dt = 0\)）。 第三组方程 \(\dot{u} = p \cdot F_ p\)：这描述了 \(u\) 值沿着特征线的变化，由链式法则 \(du/dt = p \cdot dx/dt\) 自然得出。 与哈密顿系统的联系 ： 仔细观察，如果将 \(F\) 视为“哈密顿量”，\(x\) 视为“坐标”，\(p\) 视为“共轭动量”，那么前两组方程 \(\dot{x}=F_ p, \dot{p} = -F_ x\) 恰好是哈密顿正则方程的形式（多了一项 \(-p F_ u\)，当 \(F\) 不显含 \(u\) 时此项消失，如标准的哈密顿-雅可比方程）。因此，求解完全非线性一阶偏微分方程的特征线，等价于求解一个相关联的 哈密顿动力系统 。 第四步：求解步骤与柯西问题 假设我们有一个柯西问题：在某个 \((n-1)\) 维初始流形 \(\Gamma\) 上给定了初始值 \(u = g(s)\)，其中 \(s\) 是 \(\Gamma\) 上的坐标。 在初始流形上构造初始数据 ： 在 \(\Gamma\) 上，我们有 \(x = x_ 0(s)\) 和 \(u = u_ 0(s) = g(s)\)。 我们需要找到初始梯度 \(p = p_ 0(s)\)。它必须满足两个条件： (1) 偏微分方程 ：\(F(x_ 0(s), u_ 0(s), p_ 0(s)) = 0\)。 (2) 切向条件 ：沿着 \(\Gamma\)，\(u\) 的变化应与梯度一致，即 \(\frac{\partial u_ 0}{\partial s_ j} = \sum_ {i=1}^n p_ {0,i} \frac{\partial x_ {0,i}}{\partial s_ j}\)。这保证了初始数据能光滑延拓为解。 沿特征线演化 ： 对于每一组初始数据 \((x_ 0(s), u_ 0(s), p_ 0(s))\)，将其代入广义特征方程组，从 \(t=0\) 开始积分，得到一族特征曲线： \[ x = X(s, t), \quad u = U(s, t), \quad p = P(s, t)。 \] 从特征线构建解曲面 ： 在参数空间 \((s, t)\) 的适当区域内，如果映射 \((s, t) \to x = X(s, t)\) 是局部可逆的（即雅可比行列式非零），那么我们可以反解出 \(s = S(x), t = T(x)\)。最终，解函数由下式给出： \[ u(x) = U(S(x), T(x))。 \] 其梯度满足 \(\nabla u(x) = P(S(x), T(x))\)。 第五步：一个经典例子——哈密顿-雅可比方程 考虑一个不显含 \(u\) 的简单例子： \[ \frac{\partial u}{\partial t} + H\left(\nabla_ x u\right) = 0, \quad u(0, x) = g(x)。 \] 这里 \(x \in \mathbb{R}^n\)， \(p = \nabla_ x u\)，方程是 \(F(t, x, u, p_ t, p) = p_ t + H(p) = 0\)，其中 \(p_ t = u_ t\)。 写出广义特征方程组 ： 将 \(F = p_ t + H(p)\) 代入查普曼方程。注意这里坐标是 \((t, x)\)，对应的梯度是 \((p_ t, p)\)。 \[ \begin{aligned} \frac{dt}{d\tau} &= \frac{\partial F}{\partial p_ t} = 1 \quad \Rightarrow \quad t = \tau \\ \frac{dx}{d\tau} &= \frac{\partial F}{\partial p} = \nabla_ p H(p) \\ \frac{dp_ t}{d\tau} &= -\frac{\partial F}{\partial t} - p_ t \frac{\partial F}{\partial u} = 0 \\ \frac{dp}{d\tau} &= -\frac{\partial F}{\partial x} - p \frac{\partial F}{\partial u} = 0 \\ \frac{du}{d\tau} &= p_ t \frac{\partial F}{\partial p_ t} + p \cdot \frac{\partial F}{\partial p} = p_ t \cdot 1 + p \cdot \nabla_ p H(p) \end{aligned} \] 由第三、四个方程知，\(p_ t\) 和 \(p\) 沿特征线为常数。记 \(p_ t(0) = -H(p_ 0)\)， \(p(0) = p_ 0 = \nabla g(x_ 0)\)。 求解特征线 ： \[ \begin{aligned} t &= \tau \\ x(\tau) &= x_ 0 + \tau \nabla_ p H(p_ 0) \\ u(\tau) &= g(x_ 0) + \tau [ -H(p_ 0) + p_ 0 \cdot \nabla_ p H(p_ 0) ] \end{aligned} \] 这里，特征线是直线，速度由初始梯度 \(p_ 0\) 通过 \(H\) 的梯度决定。 解的构建与挑战 ： 解由 \(u(t, x) = g(x_ 0) + t [ -H(p_ 0) + p_ 0 \cdot \nabla_ p H(p_ 0) ]\) 给出，其中 \(x_ 0 = x - t \nabla_ p H(p_ 0)\)，且 \(p_ 0 = \nabla g(x_ 0)\)。这个解是 隐式 的，因为 \(x_ 0\) 和 \(p_ 0\) 互相依赖。更重要的是，从不同 \(x_ 0\) 出发的特征线可能会在有限时间内 相交 ，导致函数 \(u\) 出现多值，在物理上对应于 激波 的形成。这就引出了 粘性解 或 弱解 的概念，这是完全非线性方程理论中一个深刻而重要的部分。 总结 ：对于完全非线性一阶偏微分方程，特征线法通过提升到包含梯度变量 \(p\) 的射流丛空间，将问题转化为求解一个哈密顿形式的常微分方程组。这个方法不仅提供了构造经典解的工具，也深刻地揭示了非线性波动中奇性（如激波）产生的机制，是连接偏微分方程、几何和动力学的优美桥梁。