二次域的高斯和
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从二次剩余符号谈起
对于一个奇素数 \(p\) \) 和任意整数 \(a\) 不被 \(p\) 整除，勒让德符号 \(\left( \frac{a}{p} \right)\) 定义为：
\(\left( \frac{a}{p} \right) = 1\) 如果 \(a\) 是模 \(p\) 的二次剩余（即存在整数 \(x\) 使得 \(x^2 \equiv a \pmod{p}\)），否则为 \(-1\)。
这个符号完全刻画了模 \(p\) 的二次剩余性质。现在，我们考虑如何将这种“二次特征”用一个复数表示出来。 -
高斯和的定义
固定奇素数 \(p\)，令 \(\zeta_p = e^{2\pi i / p}\) 为一个 \(p\) 次本原单位根。定义高斯和 \(G(a)\) 为：
\[ G(a) = \sum_{x=0}^{p-1} \left( \frac{x}{p} \right) \zeta_p^{ax}, \]
其中 \(a\) 是任意整数。最常见的情况是 \(a=1\)，记 \(G = G(1) = \sum_{x=0}^{p-1} \left( \frac{x}{p} \right) \zeta_p^x\)。
注意：求和指标 \(x\) 跑遍模 \(p\) 的完全剩余系，符号 \(\left( \frac{x}{p} \right)\) 在 \(x \equiv 0 \pmod{p}\) 时定义为 0，所以实际上只需对 \(1 \le x \le p-1\) 求和，但按定义包含 0 项（值为 0）也无妨。
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高斯和的基本性质
(1) 乘性关系：对任意整数 \(a\) 不被 \(p\) 整除，有 \(G(a) = \left( \frac{a}{p} \right) G(1) = \left( \frac{a}{p} \right) G\)。
证明：当 \(x\) 跑遍模 \(p\) 的缩剩余系时，\(ax\) 也跑遍缩剩余系，且 \(\left( \frac{ax}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \left( \frac{x}{p} \right)\)，代入定义即得。
(2) 若 \(p \mid a\)，则 \(G(a) = \sum_{x=0}^{p-1} \left( \frac{x}{p} \right) = 0\)，因为模 \(p\) 的二次剩余和非剩余个数相等（各 \(\frac{p-1}{2}\) 个），符号和为零。 -
高斯和的模长计算
高斯和的关键结果之一是它的绝对值平方：
\[ |G|^2 = p. \]
证明思路：计算 \(|G|^2 = G \cdot \overline{G}\)。利用 \(\overline{G} = \sum_{y} \left( \frac{y}{p} \right) \zeta_p^{-y}\)，将乘积写为二重和，对指标做代换并利用二次剩余符号的性质，最终可得：
\[ |G|^2 = \sum_{x,y} \left( \frac{xy}{p} \right) \zeta_p^{x-y} = \sum_{t} \left( \frac{t}{p} \right) \sum_{x} \zeta_p^{x(1-t)} = p-1 - \sum_{t \neq 1} \left( \frac{t}{p} \right) = p. \]
这里用到了特征和的正交性：对 \(t \not\equiv 1 \pmod{p}\)，\(\sum_{x} \zeta_p^{x(1-t)} = 0\)；对 \(t=1\) 项贡献为 \(p-1\)，再结合二次剩余符号的和为 0 即得结果。
- 高斯和与二次互反律的证明
高斯本人利用高斯和给出了二次互反律的一个优美证明。设 \(p,q\) 为不同的奇素数，则二次互反律断言：
\[ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}. \]
证明的关键步骤：
考虑高斯和 \(G_p = \sum_{x=0}^{p-1} \left( \frac{x}{p} \right) \zeta_p^x\) 和 \(G_q\)，计算 \(G_p^q\) 模 \(q\) 两种方式。
一方面，由二项式定理和费马小定理，在模 \(q\) 下 \(G_p^q \equiv \sum_{x} \left( \frac{x}{p} \right)^q \zeta_p^{qx} = \sum_{x} \left( \frac{x}{p} \right) \zeta_p^{qx} = \left( \frac{q}{p} \right) G_p \pmod{q}\)。
另一方面，\(G_p^2 = (-1)^{\frac{p-1}{2}} p\)（符号确定需进一步分析），于是 \(G_p^q = (G_p^2)^{\frac{q-1}{2}} G_p = \left( (-1)^{\frac{p-1}{2}} p \right)^{\frac{q-1}{2}} G_p\)。
比较两式，利用 \(G_p\) 在模 \(q\) 下可约（因 \(|G_p|^2=p\) 不是 \(q\) 的倍数），消去 \(G_p\) 得到：
\[ \left( \frac{q}{p} \right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} p^{\frac{q-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right) \pmod{q}, \]
由于两边均为 ±1 且 \(q>2\)，模 \(q\) 同余即意味着相等，这就得到了二次互反律。
- 高斯和与二次域的类数公式的联系
高斯和的值可以精确计算：对奇素数 \(p\)，有
\[ G = \begin{cases} \sqrt{p} & \text{如果 } p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i\sqrt{p} & \text{如果 } p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases} \]
这个结果与二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{p^*})\) 的判别式相关，其中 \(p^* = (-1)^{\frac{p-1}{2}} p\)。高斯和的实际值为 \(G = \sqrt{p^*}\)。
更进一步，高斯和出现在二次域的类数公式的解析表达式中。设 \(d\) 为二次域的判别式，定义二次特征 \(\chi_d(n) = \left( \frac{d}{n} \right)\)（克罗内克符号），对应的狄利克雷 L-函数为 \(L(s, \chi_d)\)。则 \(L(1, \chi_d)\) 的有限和公式中会出现高斯和：
\[ L(1, \chi_d) = - \frac{\pi}{d^{3/2}} \sum_{a=1}^{d} \chi_d(a) a = \frac{- \pi}{d \sqrt{d}} \sum_{a=1}^{d} a \chi_d(a), \]
而高斯和 \(G(\chi_d) = \sum_{n=1}^{d} \chi_d(n) e^{2\pi i n / d}\) 的模为 \(\sqrt{|d|}\)，其相位信息与类数的算术性质密切相关。类数公式可写为：
\[ h(d) = \frac{w \sqrt{|d|}}{2\pi} L(1, \chi_d) \quad (\text{当 } d<0), \]
其中 \(w\) 是单位根的个数。高斯和在这里提供了 L-函数值的显式计算工具。
- 高斯和在更一般特征下的推广
高斯和的概念可以推广到任意有限阿贝尔群的特征上。设 \(G\) 为有限阿贝尔群，\(\hat{G}\) 为其特征群，\(\chi \in \hat{G}\)，\(f: G \to \mathbb{C}^\times\) 为一个函数（常取为指数函数）。则广义高斯和定义为：
\[ \tau(\chi) = \sum_{g \in G} \chi(g) f(g). \]
在数论中，最常见的是取 \(G = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)，\(f(g) = e^{2\pi i g / m}\)，此时对应狄利克雷特征的高斯和，它在 L-函数的函数方程中起到关键作用。