对称张量代数
字数 2202 2025-12-07 09:50:18

对称张量代数

首先，从最基础的“张量”概念开始。在线性代数中，给定一个域 \(K\) 上的向量空间 \(V\)，一个 \((p, q)\)-型张量（这里我们主要关注 \((0, p)\) 型，即 \(p\) 重线性形式，但更一般的构造是从多重线性映射出发）可以被形式化地定义为张量积空间的元素。具体来说，向量空间 \(V\) 的 \(p\) 次张量积 \(T^p(V) = V^{\otimes p} = V \otimes_K V \otimes_K \cdots \otimes_K V\) （\(p\) 个因子）中的元素，称为 \(p\) 阶张量。特别地，我们定义 \(T^0(V) = K\)。

一个 \(p\) 阶张量 \(t \in T^p(V)\) 称为对称的，如果对于所有 \(1, 2, \dots, p\) 的排列 \(\sigma\)（即 \(\sigma \in S_p\)，对称群），都有 \(t(v_1, v_2, \dots, v_p) = t(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(p)})\) 在多重线性意义下成立。更形式化地，在张量积空间中，这意味着 \(t\) 在 \(S_p\) 的置换作用下不变。

为了系统地研究所有阶数的对称张量，我们构造对称张量代数。考虑所有阶数张量构成的直和：

\[ T(V) = \bigoplus_{p=0}^{\infty} T^p(V) = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \cdots \]

这称为 \(V\) 上的张量代数，其乘法由张量积 \(\otimes\) 给出，它是一个结合代数。

现在，我们希望在 \(T(V)\) 中“模掉”非对称的关系，以得到一个所有元素都满足交换律（在某种意义下）的代数。具体做法是考虑 \(T(V)\) 中由所有形如 \(x \otimes y - y \otimes x\)（其中 \(x, y \in V\)）的元素生成的理想 \(I\)。这个理想包含了所有“交换子”关系。

然后，我们定义对称代数 \(S(V)\) 为商代数：

\[ S(V) = T(V) / I \]

在 \(S(V)\) 中，由于 \(x \otimes y \equiv y \otimes x \mod I\)，所以乘法变得可交换。实际上，\(S(V)\) 同构于多项式代数：如果我们取 \(V\) 的一组基 \(\{e_1, \dots, e_n\}\)，那么 \(S(V) \cong K[e_1, \dots, e_n]\)，即系数在 \(K\) 中的多项式环。

但对称代数 \(S(V)\) 是分次代数：\(S(V) = \bigoplus_{p=0}^{\infty} S^p(V)\)，其中 \(S^p(V)\) 是 \(p\) 次齐次部分。元素 \(s \in S^p(V)\) 称为 \(p\) 次对称张量（或对称幂）。具体地，\(S^p(V)\) 同构于 \(T^p(V)\) 在对称化算子 \(\text{Sym}: T^p(V) \to T^p(V)\) 下的像，该算子定义为：

\[ \text{Sym}(t) = \frac{1}{p!} \sum_{\sigma \in S_p} \sigma(t) \]

其中 \(\sigma(t)(v_1, \dots, v_p) = t(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(p)})\)。在 \(S^p(V)\) 中，两个向量的对称积记为 \(v_1 \cdot v_2 \cdots v_p\) 或 \(v_1 v_2 \cdots v_p\)，它满足交换律。

对称张量代数在多个数学领域有核心应用：

  1. 交换代数与代数几何：对称代数 \(S(V)\) 是仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) 的坐标环。更一般地，对于向量丛的截面，其对称代数层给出射影丛的几何构造。
  2. 不变量理论：给定群 \(G\) 在 \(V\) 上的表示，对称代数 \(S(V)\) 上的不变量子环 \(S(V)^G\) 是研究多项式不变量的主要对象。
  3. 微分几何：流形上光滑函数的对称代数用于定义光滑张量场，特别是黎曼几何中的度量和曲率张量。
  4. 数学物理：在量子场论中，对称张量用于描述玻色子的福克空间构造。

对称张量代数的一个重要推广是考虑对称代数函子 \(S\) 的左伴随，这引出了对称代数与余交换余代数对偶的范畴论视角。此外，在正特征域上，对称代数与除幂代数有紧密联系，这是研究奇异性和上同调的工具。

总结来说，对称张量代数为从线性对象（向量空间）生成交换代数提供了一种规范而普适的构造，它将向量空间中的线性关系“提升”为多项式关系，成为连接线性代数、交换代数、代数几何和数学物理的基石。

对称张量代数 首先，从最基础的“张量”概念开始。在线性代数中，给定一个域 \( K \) 上的向量空间 \( V \)，一个 \((p, q)\)-型张量（这里我们主要关注 \( (0, p) \) 型，即 \( p \) 重线性形式，但更一般的构造是从多重线性映射出发）可以被形式化地定义为张量积空间的元素。具体来说，向量空间 \( V \) 的 \( p \) 次张量积 \( T^p(V) = V^{\otimes p} = V \otimes_ K V \otimes_ K \cdots \otimes_ K V \) （\( p \) 个因子）中的元素，称为 \( p \) 阶张量。特别地，我们定义 \( T^0(V) = K \)。 一个 \( p \) 阶张量 \( t \in T^p(V) \) 称为对称的，如果对于所有 \( 1, 2, \dots, p \) 的排列 \( \sigma \)（即 \( \sigma \in S_ p \)，对称群），都有 \( t(v_ 1, v_ 2, \dots, v_ p) = t(v_ {\sigma(1)}, v_ {\sigma(2)}, \dots, v_ {\sigma(p)}) \) 在多重线性意义下成立。更形式化地，在张量积空间中，这意味着 \( t \) 在 \( S_ p \) 的置换作用下不变。 为了系统地研究所有阶数的对称张量，我们构造对称张量代数。考虑所有阶数张量构成的直和： \[ T(V) = \bigoplus_ {p=0}^{\infty} T^p(V) = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \cdots \] 这称为 \( V \) 上的张量代数，其乘法由张量积 \( \otimes \) 给出，它是一个结合代数。 现在，我们希望在 \( T(V) \) 中“模掉”非对称的关系，以得到一个所有元素都满足交换律（在某种意义下）的代数。具体做法是考虑 \( T(V) \) 中由所有形如 \( x \otimes y - y \otimes x \)（其中 \( x, y \in V \)）的元素生成的理想 \( I \)。这个理想包含了所有“交换子”关系。 然后，我们定义对称代数 \( S(V) \) 为商代数： \[ S(V) = T(V) / I \] 在 \( S(V) \) 中，由于 \( x \otimes y \equiv y \otimes x \mod I \)，所以乘法变得可交换。实际上，\( S(V) \) 同构于多项式代数：如果我们取 \( V \) 的一组基 \( \{e_ 1, \dots, e_ n\} \)，那么 \( S(V) \cong K[ e_ 1, \dots, e_ n ] \)，即系数在 \( K \) 中的多项式环。 但对称代数 \( S(V) \) 是分次代数：\( S(V) = \bigoplus_ {p=0}^{\infty} S^p(V) \)，其中 \( S^p(V) \) 是 \( p \) 次齐次部分。元素 \( s \in S^p(V) \) 称为 \( p \) 次对称张量（或对称幂）。具体地，\( S^p(V) \) 同构于 \( T^p(V) \) 在对称化算子 \( \text{Sym}: T^p(V) \to T^p(V) \) 下的像，该算子定义为： \[ \text{Sym}(t) = \frac{1}{p!} \sum_ {\sigma \in S_ p} \sigma(t) \] 其中 \( \sigma(t)(v_ 1, \dots, v_ p) = t(v_ {\sigma(1)}, \dots, v_ {\sigma(p)}) \)。在 \( S^p(V) \) 中，两个向量的对称积记为 \( v_ 1 \cdot v_ 2 \cdots v_ p \) 或 \( v_ 1 v_ 2 \cdots v_ p \)，它满足交换律。 对称张量代数在多个数学领域有核心应用： 交换代数与代数几何 ：对称代数 \( S(V) \) 是仿射空间 \( \mathbb{A}^n \) 的坐标环。更一般地，对于向量丛的截面，其对称代数层给出射影丛的几何构造。 不变量理论 ：给定群 \( G \) 在 \( V \) 上的表示，对称代数 \( S(V) \) 上的不变量子环 \( S(V)^G \) 是研究多项式不变量的主要对象。 微分几何 ：流形上光滑函数的对称代数用于定义光滑张量场，特别是黎曼几何中的度量和曲率张量。 数学物理 ：在量子场论中，对称张量用于描述玻色子的福克空间构造。 对称张量代数的一个重要推广是考虑对称代数函子 \( S \) 的左伴随，这引出了对称代数与余交换余代数对偶的范畴论视角。此外，在正特征域上，对称代数与除幂代数有紧密联系，这是研究奇异性和上同调的工具。 总结来说，对称张量代数为从线性对象（向量空间）生成交换代数提供了一种规范而普适的构造，它将向量空间中的线性关系“提升”为多项式关系，成为连接线性代数、交换代数、代数几何和数学物理的基石。