曲面的局部规范形与蒙日坐标
好的，我们开始学习一个新的几何词条。这次我将为你详细讲解“曲面的局部规范形与蒙日坐标”。这是一个微分几何中用于在曲面奇点附近对曲面进行局部分类和标准化表示的重要工具。
第一步：理解问题的背景与动机
想象你在观察一个复杂曲面（比如一座小山丘的表面）上的一小片区域。在这一小片区域内，曲面的形状可能很复杂，有凸起、凹陷或鞍点。微分几何的一个核心思想是，无论曲面整体多复杂，在足够小的局部，我们总可以用一个相对简单的函数来逼近它。这就好比用显微镜观察一个物体表面，在极高放大倍数下，看到的可能只是一小块平面或简单的曲面。“局部规范形”就是寻找一组最简洁、最标准的数学表达式来描述这种局部形状。蒙日坐标是实现这一目标的一个非常强大且直观的坐标系统。
第二步：蒙日坐标的直观引入
在三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 中，我们通常用直角坐标 \((x, y, z)\) 来描述一个点。对于一个曲面，我们通常需要两个参数 \((u, v)\) 来表示，即参数方程 \((x(u,v), y(u,v), z(u,v))\)。
蒙日坐标提供了一个更直接的思路：如果我们能把曲面表示为某个坐标（通常是 \(z\) ）是另外两个坐标（\(x\) 和 \(y\) ）的函数的图像，那就方便多了。这就是图表示。设曲面局部上可以表示为：
\[z = f(x, y) \]
其中 \(f\) 是一个光滑函数。这种表示法将曲面的点用其水平投影 \((x, y)\) 和高度 \(f(x, y)\) 来标记，坐标 \((x, y)\) 就构成了曲面上一个局部坐标系。这种特殊的坐标架被称为蒙日坐标（Monge coordinates），以法国数学家加斯帕尔·蒙日命名。
第三步：蒙日坐标下的曲面基本形式
在蒙日坐标 \((x, y)\) 下，曲面的参数方程简化为：
\[\mathbf{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)) \]
现在，我们可以计算曲面微分几何的两个基本量：
- 第一基本形式 I：描述曲面上的度量（弧长、角度、面积）。
- 我们需要计算切向量：\(\mathbf{r}_x = (1, 0, f_x)\)， \(\mathbf{r}_y = (0, 1, f_y)\)。
- 系数为：
\(E = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_x = 1 + f_x^2\)
\(F = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_y = f_x f_y\)
\(G = \mathbf{r}_y \cdot \mathbf{r}_y = 1 + f_y^2\) - 所以第一基本形式为：\(I = (1+f_x^2)dx^2 + 2f_x f_y dx dy + (1+f_y^2)dy^2\)。
- 第二基本形式 II：描述曲面相对于其切平面的弯曲程度。
- 先计算单位法向量：\(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y}{|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y|} = \frac{(-f_x, -f_y, 1)}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\)。
- 然后计算二阶偏导：\(\mathbf{r}_{xx} = (0, 0, f_{xx})\)， \(\mathbf{r}_{xy} = (0, 0, f_{xy})\)， \(\mathbf{r}_{yy} = (0, 0, f_{yy})\)。
- 第二基本形式的系数为：
\(L = \mathbf{r}_{xx} \cdot \mathbf{n} = \frac{f_{xx}}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\)
\(M = \mathbf{r}_{xy} \cdot \mathbf{n} = \frac{f_{xy}}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\)
\(N = \mathbf{r}_{yy} \cdot \mathbf{n} = \frac{f_{yy}}{\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}}\) - 所以第二基本形式为：\(II = \frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} (f_{xx}dx^2 + 2f_{xy}dxdy + f_{yy}dy^2)\)。
第四步：局部规范形——化简曲面方程
蒙日坐标的威力在于，我们可以通过坐标变换（移动和旋转整个三维空间），将曲面“摆放”到一个标准位置，使其在特定点（通常选为原点）附近的方程变得极其简单。这个过程就是寻找局部规范形。
假设我们研究的点是 \(p\)，并且通过刚体运动已将它移至原点，其切平面是 \(xy\) 平面，法向量沿 \(z\) 轴。这意味着在点 \(p\) 处：
\[f(0,0)=0, \quad f_x(0,0)=0, \quad f_y(0,0)=0 \]
此时，原点处的第一基本形式系数变为 \(E=1, F=0, G=1\)，即度量是欧几里得的。单位法向量是 \((0,0,1)\)。第二基本形式的系数简化为 \(L=f_{xx}(0,0), M=f_{xy}(0,0), N=f_{yy}(0,0)\)。这些正是原点处函数的二阶偏导，它们完全决定了曲面在切点附近的二阶近似形状。
第五步：二阶规范形与曲面基本类型
在满足上述条件（\(f(0)=0, \nabla f(0)=0\)）下，函数 \(f(x,y)\) 在原点附近的泰勒展开为：
\[z = f(x,y) = \frac{1}{2}(Ax^2 + 2Bxy + Cy^2) + \text{高阶项} \]
其中 \(A = f_{xx}(0,0), B = f_{xy}(0,0), C = f_{yy}(0,0)\)。这个二次型 \(Q(x,y) = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2\) 就是曲面在 \(p\) 点的二阶规范形。
我们可以通过旋转 \(xy\) 平面（这是一个保持 \(z\) 轴不变的刚体运动），将这个二次型对角化。这对应于找到曲面的主方向。对角化后，方程变为：
\[z = \frac{1}{2}(\kappa_1 x^2 + \kappa_2 y^2) + \text{高阶项} \]
这里的 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\) 正是曲面在 \(p\) 点的主曲率（你已学过的概念）。根据 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\) 的符号，我们可以对曲面点进行经典分类：
- 椭圆点：\(\kappa_1 \kappa_2 > 0\)（二者同号）。局部形状像椭圆抛物面（碗状，向上或向下）。
- 双曲点：\(\kappa_1 \kappa_2 < 0\)（二者异号）。局部形状像双曲抛物面（马鞍状）。
- 抛物点：\(\kappa_1 \kappa_2 = 0\) 但非全零。局部形状像抛物柱面。
- 脐点：\(\kappa_1 = \kappa_2\)。包括平点（\(\kappa_1 = \kappa_2 = 0\)）和圆点（\(\kappa_1 = \kappa_2 \neq 0\)）。局部形状像球面或平面。
二阶规范形是局部分类的核心，它由高斯曲率 \(K = \kappa_1 \kappa_2\) 和平均曲率 \(H = (\kappa_1 + \kappa_2)/2\) 决定。
第六步：高阶规范形与奇点理论
当 \(p\) 点是脐点（特别是平点 \(\kappa_1=\kappa_2=0\)）时，二阶项无法决定局部形状。这时，我们必须考察泰勒展开中的高阶项（三阶、四阶…）。寻找“规范形”的过程就变得更加精细，这属于奇点理论的范畴。
例如，对于一个平点（\(A=B=C=0\)），蒙日坐标下的方程从三阶项开始：
\[z = j^3 f(0) + \text{更高阶项} \]
其中 \(j^3 f(0)\) 表示三阶泰勒多项式。通过更复杂的坐标变换（允许非线性变换，但需保持某些几何特性），可以将这个三阶多项式化为少数几种标准形式，这对应了不同类型的奇点，如褶皱奇点、尖点奇点等。蒙日坐标为系统研究这些奇点的普遍形式提供了最直接的框架。
总结：
曲面的局部规范形与蒙日坐标是一个系统的研究方法。其核心步骤是：
- 在感兴趣的点附近，将曲面表示为高度函数 \(z = f(x, y)\) 的图像，建立蒙日坐标系。
- 通过刚体运动，将该点移至原点，并使切平面水平、法向量竖直，从而标准化位置。
- 写出函数在该点的泰勒展开。二次项（二阶规范形）由主曲率决定，刻画了点的经典类型（椭圆、双曲、抛物、脐点）。
- 对于脐点（尤其是平点），需要研究更高阶项的规范形，这引导我们进入奇点分类的丰富领域。
蒙日坐标极大地简化了局部计算，是理解曲面局部形状、分类奇点以及研究曲面与平面、直线等对象接触几何的基石性工具。