双曲抛物面的主曲率计算
好的，我们现在来系统性地学习“双曲抛物面的主曲率计算”这一几何词条。理解这个计算过程，能让我们更深刻地把握这种特殊曲面的形状特征。我们将循序渐进地进行讲解。
第一步：回顾双曲抛物面的基本形式
双曲抛物面是一种典型的马鞍面。它最常见的标准形式方程为：
\[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \]
其中 \(a\) 和 \(b\) 是正常数，决定了曲面在两个主轴方向上的“张开”程度。
这个方程可以方便地改写为参数形式。常用的参数化是：
\[\mathbf{r}(u, v) = (a(u+v), \ b(u-v), \ 2uv) \]
其中 \(u, v\) 是实数参数。我们可以验证它与笛卡尔坐标的关系：令 \(x = a(u+v)\), \(y = b(u-v)\)，则 \(z = 2uv = \frac{1}{2}(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2})\)，这与标准形式只差一个系数，形状是完全一致的（只是沿z轴缩放了一下）。使用这个参数方程计算主曲率通常更方便。
第二步：计算曲面的第一和第二基本形式
为了计算曲率，我们需要两个基本工具：第一基本形式（描述曲面的内在度量）和第二基本形式（描述曲面在空间中的弯曲程度）。它们都依赖于曲面的一阶偏导（切向量）和二阶偏导。
- 求一阶偏导向量（切向量）：
\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_u &= \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (a, \ b, \ 2v) \\ \mathbf{r}_v &= \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (a, \ -b, \ 2u) \end{aligned} \]
- 求第一基本形式的系数 (E, F, G)：
\[ \begin{aligned} E &= \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u = a^2 + b^2 + 4v^2 \\ F &= \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v = a^2 - b^2 + 4uv \\ G &= \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v = a^2 + b^2 + 4u^2 \end{aligned} \]
- 求单位法向量：
法向量由两个切向量的叉积给出：
\[ \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = (2b(u+v) - 2b(u-v), \ 2a(u-v) - 2a(u+v), \ -2ab - 2ab) = (4bv, \ -4au, \ -4ab) \]
其模长为：
\[ |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{(4bv)^2 + (-4au)^2 + (-4ab)^2} = 4\sqrt{b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2} \]
所以单位法向量为：
\[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|} = \frac{(bv, \ -au, \ -ab)}{\sqrt{b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2}} \]
- 求二阶偏导向量：
\[ \begin{aligned} \mathbf{r}_{uu} &= (0, 0, 0) \\ \mathbf{r}_{uv} &= (0, 0, 2) \\ \mathbf{r}_{vv} &= (0, 0, 0) \end{aligned} \]
- 求第二基本形式的系数 (L, M, N)：
它们等于二阶偏导向量在单位法向量上的投影：
\[ \begin{aligned} L &= \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n} = 0 \\ M &= \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n} = (0, 0, 2) \cdot \frac{(bv, -au, -ab)}{\sqrt{\cdots}} = \frac{-2ab}{\sqrt{b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2}} \\ N &= \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n} = 0 \end{aligned} \]
为了简化书写，我们记分母 \(D = \sqrt{b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2}\)。则 \(M = -\frac{2ab}{D}\)。
第三步：计算高斯曲率K和平均曲率H
主曲率 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\) 是描述曲面在某一点处沿主方向弯曲程度的两个极值。它们可以通过高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\) 求出。
高斯曲率和平均曲率的公式为：
\[K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}, \quad H = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)} \]
代入我们计算出的系数：
\[\begin{aligned} EG - F^2 &= (a^2+b^2+4v^2)(a^2+b^2+4u^2) - (a^2-b^2+4uv)^2 \\ &= 4a^2b^2 + 4a^2u^2 + 4b^2v^2 + 16u^2v^2 - 16u^2v^2 \\ &= 4(a^2b^2 + a^2u^2 + b^2v^2) = 4D^2 \end{aligned} \]
这里用到了多项式展开和合并，最终得到简洁结果 \(4D^2\)。
然后计算：
\[LN - M^2 = 0 \cdot 0 - \left( -\frac{2ab}{D} \right)^2 = -\frac{4a^2b^2}{D^2} \]
\[ EN - 2FM + GL = E \cdot 0 - 2F \cdot \left( -\frac{2ab}{D} \right) + G \cdot 0 = \frac{4abF}{D} \]
因此：
\[K = \frac{-4a^2b^2 / D^2}{4D^2} = -\frac{a^2b^2}{D^4} = -\frac{a^2b^2}{(b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2)^2} \]
\[ H = \frac{4abF / D}{2 \cdot 4D^2} = \frac{abF}{2D^3} = \frac{ab(a^2 - b^2 + 4uv)}{2(b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2)^{3/2}} \]
关键观察：高斯曲率 \(K\) 总是负数（除了当 \(a\) 或 \(b\) 为零的退化情况）。这印证了双曲抛物面是处处为负曲率的马鞍面。平均曲率 \(H\) 则一般不为零，说明它不是极小曲面（除非在特定参数下 \(F=0\)）。
第四步：求解主曲率 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\)
主曲率 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\) 是下面特征方程的根：
\[\kappa^2 - 2H\kappa + K = 0 \]
其解为：
\[\kappa_{1,2} = H \pm \sqrt{H^2 - K} \]
由于 \(K < 0\)，所以根号下的 \(H^2 - K > H^2\) 恒为正。这意味着两个主曲率一正一负（除非 \(H=0\) 时互为相反数），这是马鞍点的典型特征：在一个主方向上向上弯曲，在另一个主方向上向下弯曲。
将我们求得的 \(H\) 和 \(K\) 代入上式，即可得到主曲率的具体表达式：
\[\kappa_{1,2}(u, v) = \frac{ab(a^2 - b^2 + 4uv)}{2D^3} \pm \sqrt{ \left[ \frac{ab(a^2 - b^2 + 4uv)}{2D^3} \right]^2 + \frac{a^2b^2}{D^4} } \]
其中 \(D^2 = b^2v^2 + a^2u^2 + a^2b^2\)。这个表达式清晰地表明，双曲抛物面上不同点的主曲率是不同的，它们依赖于点的位置 \((u, v)\)。
总结
通过以上步骤，我们完成了双曲抛物面主曲率的计算：
- 参数化曲面。
- 计算一阶、二阶偏导，得到第一、第二基本形式的系数。
- 利用系数公式算出高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\)。我们发现 \(K<0\)，证实了其双曲（马鞍）性质。
- 通过二次方程 \(\kappa^2 - 2H\kappa + K = 0\) 解出主曲率 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\)。它们异号，且是点位置的函数。
这个过程是微分几何中计算曲面主曲率的一个标准而完整的范例。理解它，你就掌握了分析任意参数曲面弯曲特性的核心方法。