好的，我注意到您提供的已讲词条列表中包含“ 平行投影的几何不变量 ”和“ 平行投影的几何不变量（续） ”，但未包含“平行投影”本身的基本概念。为了确保您能系统性地理解，我将为您构建“ 平行投影 ”这个几何学基础且重要的词条，从其最基础的概念开始讲解。 平行投影 让我为您循序渐进地讲解“平行投影”这个概念。 第一步：从“投影”的最直观理解出发 在日常生活中，当我们站在阳光下，身体会在地面投下一个影子。这个“影子”就是一种 投影 。在几何学中，我们将产生影子的光源（如太阳）抽象为“投影中心”，将被投影的物体抽象为一个几何图形（如点、线、面），将影子所在的平面（如地面）称为“投影平面”。 太阳光（在我们日常经验中）可以近似看作是 平行 的。因此，由平行光线产生的投影，就称为 平行投影 。与之相对的是“中心投影”（比如点光源发出的光线），但那是另一个话题了。 第二步：平行投影的严格几何定义 现在，我们给出在数学，特别是在画法几何和工程制图中的精确定义。 核心元素 ： 投影方向 (d) : 一组具有确定方向的平行直线，代表了“光线”的方向。 空间物体 (Ω) : 三维空间中的一个点、一条曲线、一个曲面或一个立体。 投影平面 (π) : 一个预先选定的平面。 投影规则 ： 对于空间中的任意一点 P ，过点 P 作一条与给定 投影方向 (d) 平行的直线，这条直线被称为 投射线 。 这条投射线与 投影平面 (π) 相交，得到的交点 P' ，就称为点 P 在平面 π 上的 平行投影 。 整体概念 ： 将一个空间物体 Ω 上所有点，按照相同的规则（即沿同一方向 d）投影到平面 π 上，所有这些投影点构成的图形 Ω‘，就称为物体 Ω 在平面 π 上的平行投影。 第三步：平行投影的核心性质 理解其性质是掌握其应用的关键。平行投影有两个最根本的几何性质： 保线性 (保持共线性和比例) ： 如果空间中有三个点 A, B, C 在同一条直线上，那么它们的投影 A', B', C' 也必然在同一条直线上。 更重要的推论是，它 保持简单比例 。即如果点 C 在线段 AB 上，且满足 AC : CB = m : n，那么在投影中，这个比例关系保持不变：A'C' : C'B' = m : n。这是一个 非常重要的几何不变量 。 保平行性 ： 如果空间中有两条直线 L1 和 L2 互相平行，那么它们的投影 L1' 和 L2' 也互相平行（除非其中一条直线的投影退化为一个点，即该直线与投影方向平行）。 这个性质是平行投影独有的，中心投影不具备。 第四步：平行投影的分类 根据 投影方向 (d) 与 投影平面 (π) 的夹角，平行投影可分为两大类： 正投影 (Orthographic Projection) ： 定义 ：投影方向 d 与投影平面 π 垂直。 特点 ：投影线垂直于投影面。它能最真实地反映物体在垂直于视线方向的那个平面上的形状和大小。工程制图中的“三视图”（主视图、俯视图、侧视图）就是最典型的正投影应用。 斜投影 (Oblique Projection) ： 定义 ：投影方向 d 与投影平面 π 不垂直（即倾斜的）。 特点 ：虽然也能反映物体的立体感，但与正投影相比，它在平行于投影面的方向上会产生“缩短”或视觉变形。常见的“轴测图”（如斜二测图）就是一种斜投影，它在某些方向上保持了线段的实际长度。 第五步：平行投影与“几何不变量”的关联 您已学过的“平行投影的几何不变量”正是基于以上性质发展而来的深入探讨。简单来说，正是因为平行投影具有“保线性、保比例、保平行性”这些基本性质，才使得我们能够在二维图纸上研究和表达三维空间中那些在投影下保持不变的几何关系，如： 平行线段投影后仍平行。 线段中点投影后仍为投影线段的中点。 平面图形的相似关系在特定条件下得以保持。 这些不变量是工程绘图、计算机图形学和机器视觉等领域进行度量和识别的基础。 总而言之， 平行投影 是从三维空间到二维平面的一种核心几何变换方式，它以方向固定的平行线为投射媒介，其保持线性和平行性的基本特性，使其成为连接空间与平面、抽象与表达之间的一座坚实桥梁。