量子力学中的Hubbard模型

字数 2728 2025-12-07 06:03:47

量子力学中的Hubbard模型

好的，我们开始循序渐进地学习这个在凝聚态量子物理中极为重要的模型。

第一步：模型的目标与背景
Hubbard模型是一个在晶格上描述的量子多体模型，其核心目标是捕捉固体材料（特别是强关联电子系统）中电子两个最基本特征之间的相互作用：

动能（跳跃）： 电子可以在晶格格点之间移动（“跳跃”），这倾向于使电子离域，形成能带，通常用紧束缚模型描述。
势能（在位排斥）： 当两个电子（自旋相反）位于同一个晶格格点上时，它们会因为库仑排斥而产生很强的能量成本。

这个模型是理解从金属、绝缘体到磁性甚至超导等丰富物理现象的一个基本理论框架。

第二步：模型的哈密顿量构造
我们从一个最简单的情形出发：一个具有N个格点的周期性晶格。Hubbard模型的哈密顿量 \(\hat{H}\) 通常写作两项：

\[\hat{H} = \hat{T} + \hat{U} = -t \sum_{\langle i, j \rangle, \sigma} (\hat{c}_{i\sigma}^\dagger \hat{c}_{j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_i \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow} \]

让我们逐一细致拆解：

算符与符号：
\(i, j\) 标记晶格格点。
\(\sigma \in \{\uparrow, \downarrow\}\) 表示电子自旋。
\(\hat{c}_{i\sigma}^\dagger\) 和 \(\hat{c}_{i\sigma}\) 分别是格点 \(i\) 上自旋为 \(\sigma\) 的电子的产生算符和湮灭算符。它们满足费米子的反对易关系。
\(\hat{n}_{i\sigma} = \hat{c}_{i\sigma}^\dagger \hat{c}_{i\sigma}\) 是格点 \(i\) 上自旋 \(\sigma\) 的电子粒子数算符，本征值为0或1。
动能项 \(\hat{T}\)：
\(t > 0\) 是跳跃积分，表示电子从一个格点跳到相邻格点的能量幅度。它决定了电子的动能或能带宽度。
\(\sum_{\langle i, j \rangle}\) 表示对所有最近邻格点对求和。\(\hat{c}_{i\sigma}^\dagger \hat{c}_{j\sigma}\) 表示湮灭格点 \(j\) 的一个电子并在格点 \(i\) 产生一个电子，即从 \(j\) 跳到 \(i\)。
这项描述了电子在晶格中的离域运动。如果只有这一项（\(U=0\)），就是简单的紧束缚模型，电子形成布洛赫波，系统是金属。
势能项 \(\hat{U}\)：
\(U\) 是在位库仑排斥能。它是一个能量标度。
\(\hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}\) 只有当格点 \(i\) 上同时存在一个自旋向上和一个自旋向下的电子（即“双占据”）时，其期望值才为1，否则为0。
因此，\(U \sum_i \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}\) 给出了系统所有双占据格点的总能量惩罚。如果 \(U > 0\)，则排斥使双占据能量升高；如果 \(U < 0\)（吸引Hubbard模型），则倾向于双占据。

第三步：模型的核心物理与竞争
哈密顿量中仅包含两个参数：跳跃强度 \(t\) 和排斥能 \(U\)。模型的全部物理都源于这两项的竞争：

当 \(U/t \ll 1\)（弱关联）时： 动能项主导。电子可以相对自由地运动，系统表现为金属。基态波函数是遍布整个晶格的布洛赫波的斯莱特行列式。
当 \(U/t \gg 1\)（强关联）时： 势能项主导。双占据的能罚 \(U\) 非常高，电子被强烈地限制在各自格点上以避免双占据。这会导致两种重要现象：
1. 莫特绝缘体： 考虑半满填充（每个格点平均一个电子）。强排斥使得电子即使有可用的能级（能带未满），也因巨大的运动能量成本而被“钉扎”在格点上，无法导电。这与能带理论预测的金属相矛盾，是强关联物理的标志。

反铁磁交换： 在半满情况下，相邻格点上自旋相反的电子可以通过虚拟跳跃过程降低能量：一个电子可以短暂地跳到已被相反自旋电子占据的邻格点（产生高能的双占据中间态），然后再跳回。二阶微扰论给出一个有效的海森堡模型描述：\(J \sum_{\langle i,j \rangle} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j\)，其中 \(J = 4t^2/U > 0\)，倾向于相邻自旋反平行排列（反铁磁序）。

第四步：模型的扩展与复杂性
基础模型可以推广以描述更真实的材料：

交错化学势： 加入 \(\sum_i \epsilon_i \hat{n}_i\) 可以模拟离子晶格的不同原子。
非最近邻跳跃： 包括 \(t’\) 等，影响能带结构。
外场： 加入磁场或势场。
扩展Hubbard模型： 加入格点间的库仑排斥 \(V \sum_{\langle i,j \rangle} \hat{n}_i \hat{n}_j\)，以描述更长的相互作用。
多轨道Hubbard模型： 每个格点有多个电子轨道（如d轨道），耦合更复杂，用于描述过渡金属氧化物。

第五步：模型的数学与求解挑战
Hubbard模型看似形式简单，但求解极其困难，是数学物理的前沿挑战。

精确可解性： 在一维情况下，可以通过Bethe拟设精确求解，这由Elliott Lieb和吴咏时等人完成。高维情况无一般精确解。
近似方法： 广泛使用数值方法，如量子蒙特卡洛（但存在“符号问题”）、密度矩阵重整化群、动力学平均场理论等。
基态问题： 即使在一维，某些填充下的基态性质也极为复杂。著名的“Lieb-Mattis定理”对一维基态自旋给出了严格结果。
相图： 二维模型在特定填充（如半满）附近，是否存在d波超导相、赝能隙相等，是凝聚态物理中长期悬而未决的核心问题，与高温超导机制密切相关。

总结来说，Hubbard模型以最经济的方式（仅 \(t\) 和 \(U\) 两个参数）封装了电子关联效应的核心竞争，成为连接可解的能带理论和复杂真实强关联材料之间的关键理论桥梁，其数学结构和物理解是当代数学物理研究的核心课题之一。

量子力学中的Hubbard模型好的，我们开始循序渐进地学习这个在凝聚态量子物理中极为重要的模型。第一步：模型的目标与背景 Hubbard模型是一个在晶格上描述的量子多体模型，其核心目标是捕捉固体材料（特别是强关联电子系统）中电子两个最基本特征之间的相互作用：动能（跳跃）：电子可以在晶格格点之间移动（“跳跃”），这倾向于使电子离域，形成能带，通常用紧束缚模型描述。势能（在位排斥）：当两个电子（自旋相反）位于同一个晶格格点上时，它们会因为库仑排斥而产生很强的能量成本。这个模型是理解从金属、绝缘体到磁性甚至超导等丰富物理现象的一个基本理论框架。第二步：模型的哈密顿量构造我们从一个最简单的情形出发：一个具有N个格点的周期性晶格。Hubbard模型的哈密顿量 \( \hat{H} \) 通常写作两项： \[ \hat{H} = \hat{T} + \hat{U} = -t \sum_ {\langle i, j \rangle, \sigma} (\hat{c} {i\sigma}^\dagger \hat{c} {j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_ i \hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} \] 让我们逐一细致拆解：算符与符号： \( i, j \) 标记晶格格点。 \( \sigma \in \{\uparrow, \downarrow\} \) 表示电子自旋。 \( \hat{c} {i\sigma}^\dagger \) 和 \( \hat{c} {i\sigma} \) 分别是格点 \(i\) 上自旋为 \(\sigma\) 的电子的产生算符和湮灭算符。它们满足费米子的反对易关系。 \( \hat{n} {i\sigma} = \hat{c} {i\sigma}^\dagger \hat{c}_ {i\sigma} \) 是格点 \(i\) 上自旋 \(\sigma\) 的电子粒子数算符，本征值为0或1。动能项 \( \hat{T} \)： \( t > 0 \) 是跳跃积分，表示电子从一个格点跳到相邻格点的能量幅度。它决定了电子的动能或能带宽度。 \( \sum_ {\langle i, j \rangle} \) 表示对所有最近邻格点对求和。\( \hat{c} {i\sigma}^\dagger \hat{c} {j\sigma} \) 表示湮灭格点 \(j\) 的一个电子并在格点 \(i\) 产生一个电子，即从 \(j\) 跳到 \(i\)。这项描述了电子在晶格中的离域运动。如果只有这一项（\(U=0\)），就是简单的紧束缚模型，电子形成布洛赫波，系统是金属。势能项 \( \hat{U} \)： \( U \) 是在位库仑排斥能。它是一个能量标度。 \( \hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} \) 只有当格点 \(i\) 上同时存在一个自旋向上和一个自旋向下的电子（即“双占据”）时，其期望值才为1，否则为0。因此，\( U \sum_ i \hat{n} {i\uparrow} \hat{n} {i\downarrow} \) 给出了系统所有双占据格点的总能量惩罚。如果 \(U > 0\)，则排斥使双占据能量升高；如果 \(U < 0\)（吸引Hubbard模型），则倾向于双占据。第三步：模型的核心物理与竞争哈密顿量中仅包含两个参数：跳跃强度 \(t\) 和排斥能 \(U\)。模型的全部物理都源于这两项的竞争：当 \(U/t \ll 1\)（弱关联）时：动能项主导。电子可以相对自由地运动，系统表现为金属。基态波函数是遍布整个晶格的布洛赫波的斯莱特行列式。当 \(U/t \gg 1\)（强关联）时：势能项主导。双占据的能罚 \(U\) 非常高，电子被强烈地限制在各自格点上以避免双占据。这会导致两种重要现象：莫特绝缘体：考虑半满填充（每个格点平均一个电子）。强排斥使得电子即使有可用的能级（能带未满），也因巨大的运动能量成本而被“钉扎”在格点上，无法导电。这与能带理论预测的金属相矛盾，是强关联物理的标志。反铁磁交换：在半满情况下，相邻格点上自旋相反的电子可以通过虚拟跳跃过程降低能量：一个电子可以短暂地跳到已被相反自旋电子占据的邻格点（产生高能的双占据中间态），然后再跳回。二阶微扰论给出一个有效的海森堡模型描述：\( J \sum_ {\langle i,j \rangle} \vec{S}_ i \cdot \vec{S}_ j \)，其中 \( J = 4t^2/U > 0 \)，倾向于相邻自旋反平行排列（反铁磁序）。第四步：模型的扩展与复杂性基础模型可以推广以描述更真实的材料：交错化学势：加入 \( \sum_ i \epsilon_ i \hat{n}_ i \) 可以模拟离子晶格的不同原子。非最近邻跳跃：包括 \( t’ \) 等，影响能带结构。外场：加入磁场或势场。扩展Hubbard模型：加入格点间的库仑排斥 \( V \sum_ {\langle i,j \rangle} \hat{n}_ i \hat{n}_ j \)，以描述更长的相互作用。多轨道Hubbard模型：每个格点有多个电子轨道（如d轨道），耦合更复杂，用于描述过渡金属氧化物。第五步：模型的数学与求解挑战 Hubbard模型看似形式简单，但求解极其困难，是数学物理的前沿挑战。精确可解性：在一维情况下，可以通过 Bethe拟设精确求解，这由Elliott Lieb和吴咏时等人完成。高维情况无一般精确解。近似方法：广泛使用数值方法，如量子蒙特卡洛（但存在“符号问题”）、密度矩阵重整化群、动力学平均场理论等。基态问题：即使在一维，某些填充下的基态性质也极为复杂。著名的“Lieb-Mattis定理”对一维基态自旋给出了严格结果。相图：二维模型在特定填充（如半满）附近，是否存在d波超导相、赝能隙相等，是凝聚态物理中长期悬而未决的核心问题，与高温超导机制密切相关。总结来说，Hubbard模型以最经济的方式（仅 \(t\) 和 \(U\) 两个参数）封装了电子关联效应的核心竞争，成为连接可解的能带理论和复杂真实强关联材料之间的关键理论桥梁，其数学结构和物理解是当代数学物理研究的核心课题之一。