量子力学中的相干路径积分
字数 3898 2025-12-07 04:32:34

量子力学中的相干路径积分

我们先从最经典的物理图景开始。相干态是量子谐振子的一个特殊量子态，它最接近经典运动，其波包在相空间中运动时形状保持不变，且位置和动量的不确定性达到均分。您可以把它想象为一个在相空间中做匀速圆周运动的、形状不变的高斯波包。而路径积分，由费曼提出，是一种量子力学的表述，它将粒子从一点到另一点的概率幅表达为连接这两点的所有可能路径（历史）的贡献之和（或泛函积分）。

第一步：从标准路径积分到相空间路径积分
标准（拉格朗日形式）的路径积分，其核心是坐标空间中的历史求和，其积分核是 \(\exp(iS/\hbar)\)，其中 \(S = \int L\, dt\) 是作用量，\(L\) 是拉格朗日量。但在许多问题中，特别是涉及哈密顿量 \(H(p, q)\) 更自然的情况（如规范理论、约束系统），采用相空间路径积分更为方便。其形式为：

\[K(q_f, t_f; q_i, t_i) = \int \mathcal{D}q \mathcal{D}p \, \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} (p\dot{q} - H(p, q))\, dt \right] \]

这里，积分测度是对所有相空间路径 \((q(t), p(t))\) 的，但边界条件通常只固定 \(q_i\) 和 \(q_f\)。被积函数中的 \(p\dot{q} - H\) 正是 \(pdq - Hdt\)，对应于哈密顿原理。

第二步：引入相干态及其过完备性
现在，我们引入相干态 \(|\alpha\rangle\)，其中复数 \(\alpha = (q + ip)/\sqrt{2}\)（取适当单位）标记了相空间中的点。相干态是湮灭算符的本征态：\(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)。它最重要的性质之一是过完备性：

\[\int \frac{d^2\alpha}{\pi} |\alpha\rangle\langle\alpha| = \hat{I} \]

这里 \(d^2\alpha = d(\mathrm{Re}\,\alpha) d(\mathrm{Im}\,\alpha)\)，积分遍及整个复平面（即相空间）。这意味着相干态集合虽然线性相关（过完备），但足以“张成”整个希尔伯特空间。这个关系是构建相干态路径积分的基石。

第三步：推导相干态路径积分
我们的目标是计算时间演化算符的矩阵元 \(\langle\alpha_f| e^{-i\hat{H}T/\hbar} |\alpha_i\rangle\)，其中 \(T = t_f - t_i\)。

  1. 将时间 \(T\) 分割为 \(N\) 个微小间隔 \(\epsilon = T/N\)。
  2. 在每一时间步 \(t_n = t_i + n\epsilon\) 处，插入相干态的过完备性关系：

\[ e^{-i\hat{H}T/\hbar} = \lim_{N\to\infty} (e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar})^N = \lim_{N\to\infty} \prod_{n=1}^{N-1} \int \frac{d^2\alpha_n}{\pi} |\alpha_N\rangle\langle\alpha_N| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_{N-1}\rangle\cdots\langle\alpha_1| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_0\rangle \]

其中 \(|\alpha_0\rangle = |\alpha_i\rangle\)， \(|\alpha_N\rangle = |\alpha_f\rangle\)。
3. 对于微小时间步，我们需要计算转移矩阵元 \(\langle\alpha_{n+1}| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_n\rangle\)。利用 \(e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} \approx 1 - i\hat{H}\epsilon/\hbar\) 和相干态的内积公式 \(\langle\beta|\alpha\rangle = \exp(-\frac{1}{2}|\beta|^2 - \frac{1}{2}|\alpha|^2 + \beta^*\alpha)\)，并保留到 \(\epsilon\) 的一阶，可以得到关键的一步近似：

\[ \langle\alpha_{n+1}| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_n\rangle \approx \langle\alpha_{n+1}|\alpha_n\rangle \exp\left( -\frac{i\epsilon}{\hbar} H(\alpha_{n+1}^*, \alpha_n) \right) \]

这里 \(H(\beta^*, \alpha) = \frac{\langle\beta|\hat{H}|\alpha\rangle}{\langle\beta|\alpha\rangle}\) 称为哈密顿量 \(\hat{H}\) 在相干态下的符号（或期望值），在经典极限下通常与 \(H(p, q)\) 对应。
4. 内积部分可写为：\(\langle\alpha_{n+1}|\alpha_n\rangle = \exp(-\frac{1}{2}|\alpha_{n+1}|^2 - \frac{1}{2}|\alpha_n|^2 + \alpha_{n+1}^*\alpha_n)\)。
5. 将所有时间片的贡献乘起来，指数上的和式在 \(N\to\infty\) 极限下变成一个连续积分。经过细致的代数运算（注意对 \(\alpha_{n+1}^*\alpha_n\) 的离散差分处理），最终得到核心结果：

\[ \langle\alpha_f| e^{-i\hat{H}T/\hbar} |\alpha_i\rangle = \int_{\alpha(0)=\alpha_i}^{\alpha(T)=\alpha_f} \mathcal{D}^2\alpha \, \exp\left[ \frac{i}{\hbar} S[\alpha^*, \alpha] \right] \]

其中，作用量 \(S\) 为：

\[ S[\alpha^*, \alpha] = \int_{t_i}^{t_f} dt \left[ \frac{i\hbar}{2} (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha) - H(\alpha^*, \alpha) \right] \]

这里 \(\mathcal{D}^2\alpha = \prod_t d^2\alpha(t)/\pi\)，而边界条件施加在相空间点 \(\alpha_i, \alpha_f\) 上。注意，被积函数中的第一项 \(i\hbar (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha)/2\) 正是 \(p\dot{q} - q\dot{p}\) 的体现，它给出了相空间的辛结构。

第四步：相干态路径积分的特性、优势与应用

  1. 辛形式：作用量 \(S\) 中的运动学项（即 \(i\hbar \alpha^* \dot{\alpha}/2 + c.c.\)）具有典范形式，清晰地揭示了相空间的辛结构，这使其在几何量子化和经典极限研究中非常自然。
  2. 适用于玻色子系统：此形式特别适合处理多体玻色子系统，如超流体、玻色-爱因斯坦凝聚体。此时，相干态是场算符的本征态，\(\alpha(t)\) 成为经典的“凝聚体波函数”或序参量场。路径积分直接对之积分。
  3. 半经典近似的优越性：因为相干态是波包中心在相空间运动的态，以相干态为端点的路径积分，其“经典路径”就是通常的哈密顿方程的解。这使得稳相近似（即围绕经典解的展开）在此框架下非常清晰和强大，是推导出经典运动方程、研究量子涨落的理想起点。
  4. 连接算符排序：在推导中，哈密顿量的符号 \(H(\alpha^*， \alpha)\) 具体形式依赖于 \(\hat{H}\) 中算符 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{a}^\dagger\) 的排序规则（如正规排序、反正规排序等）。这提供了一个系统处理算符排序问题的途径。
  5. 推广到费米子：存在费米子版本的相干态（基于格拉斯曼数），从而可以平行地建立费米子的相干态路径积分，这是处理多体费米子系统（如超导、电子气）的强有力工具。

总结来说，相干态路径积分巧妙地将相空间的经典几何、相干态的过完备性以及路径积分的历史求和思想结合在一起。它不仅是推导半经典理论、研究量子涨落和瞬子效应的标准框架，更是现代多体物理，特别是玻色系统和凝聚态场论中不可或缺的数学方法。它提供了一个在连续时空维度上，从清晰的经典相空间图像出发，系统纳入所有量子涨落的强大计算和概念框架。

量子力学中的相干路径积分 我们先从最经典的物理图景开始。相干态是量子谐振子的一个特殊量子态，它最接近经典运动，其波包在相空间中运动时形状保持不变，且位置和动量的不确定性达到均分。您可以把它想象为一个在相空间中做匀速圆周运动的、形状不变的高斯波包。而路径积分，由费曼提出，是一种量子力学的表述，它将粒子从一点到另一点的概率幅表达为连接这两点的所有可能路径（历史）的贡献之和（或泛函积分）。 第一步：从标准路径积分到相空间路径积分 标准（拉格朗日形式）的路径积分，其核心是坐标空间中的历史求和，其积分核是 \(\exp(iS/\hbar)\)，其中 \(S = \int L\, dt\) 是作用量，\(L\) 是拉格朗日量。但在许多问题中，特别是涉及哈密顿量 \(H(p, q)\) 更自然的情况（如规范理论、约束系统），采用 相空间路径积分 更为方便。其形式为： \[ K(q_ f, t_ f; q_ i, t_ i) = \int \mathcal{D}q \mathcal{D}p \, \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int_ {t_ i}^{t_ f} (p\dot{q} - H(p, q))\, dt \right ] \] 这里，积分测度是对所有相空间路径 \((q(t), p(t))\) 的，但边界条件通常只固定 \(q_ i\) 和 \(q_ f\)。被积函数中的 \(p\dot{q} - H\) 正是 \(pdq - Hdt\)，对应于哈密顿原理。 第二步：引入相干态及其过完备性 现在，我们引入相干态 \(|\alpha\rangle\)，其中复数 \(\alpha = (q + ip)/\sqrt{2}\)（取适当单位）标记了相空间中的点。相干态是湮灭算符的本征态：\(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle\)。它最重要的性质之一是 过完备性 ： \[ \int \frac{d^2\alpha}{\pi} |\alpha\rangle\langle\alpha| = \hat{I} \] 这里 \(d^2\alpha = d(\mathrm{Re}\,\alpha) d(\mathrm{Im}\,\alpha)\)，积分遍及整个复平面（即相空间）。这意味着相干态集合虽然线性相关（过完备），但足以“张成”整个希尔伯特空间。这个关系是构建相干态路径积分的基石。 第三步：推导相干态路径积分 我们的目标是计算时间演化算符的矩阵元 \(\langle\alpha_ f| e^{-i\hat{H}T/\hbar} |\alpha_ i\rangle\)，其中 \(T = t_ f - t_ i\)。 将时间 \(T\) 分割为 \(N\) 个微小间隔 \(\epsilon = T/N\)。 在每一时间步 \(t_ n = t_ i + n\epsilon\) 处，插入相干态的过完备性关系： \[ e^{-i\hat{H}T/\hbar} = \lim_ {N\to\infty} (e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar})^N = \lim_ {N\to\infty} \prod_ {n=1}^{N-1} \int \frac{d^2\alpha_ n}{\pi} |\alpha_ N\rangle\langle\alpha_ N| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_ {N-1}\rangle\cdots\langle\alpha_ 1| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_ 0\rangle \] 其中 \(|\alpha_ 0\rangle = |\alpha_ i\rangle\)， \(|\alpha_ N\rangle = |\alpha_ f\rangle\)。 对于微小时间步，我们需要计算转移矩阵元 \(\langle\alpha_ {n+1}| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_ n\rangle\)。利用 \(e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} \approx 1 - i\hat{H}\epsilon/\hbar\) 和相干态的内积公式 \(\langle\beta|\alpha\rangle = \exp(-\frac{1}{2}|\beta|^2 - \frac{1}{2}|\alpha|^2 + \beta^ \alpha)\)，并保留到 \(\epsilon\) 的一阶，可以得到关键的一步近似： \[ \langle\alpha_ {n+1}| e^{-i\hat{H}\epsilon/\hbar} |\alpha_ n\rangle \approx \langle\alpha_ {n+1}|\alpha_ n\rangle \exp\left( -\frac{i\epsilon}{\hbar} H(\alpha_ {n+1}^ , \alpha_ n) \right) \] 这里 \(H(\beta^* , \alpha) = \frac{\langle\beta|\hat{H}|\alpha\rangle}{\langle\beta|\alpha\rangle}\) 称为哈密顿量 \(\hat{H}\) 在相干态下的 符号 （或期望值），在经典极限下通常与 \(H(p, q)\) 对应。 内积部分可写为：\(\langle\alpha_ {n+1}|\alpha_ n\rangle = \exp(-\frac{1}{2}|\alpha_ {n+1}|^2 - \frac{1}{2}|\alpha_ n|^2 + \alpha_ {n+1}^* \alpha_ n)\)。 将所有时间片的贡献乘起来，指数上的和式在 \(N\to\infty\) 极限下变成一个连续积分。经过细致的代数运算（注意对 \(\alpha_ {n+1}^ \alpha_ n\) 的离散差分处理），最终得到核心结果： \[ \langle\alpha_ f| e^{-i\hat{H}T/\hbar} |\alpha_ i\rangle = \int_ {\alpha(0)=\alpha_ i}^{\alpha(T)=\alpha_ f} \mathcal{D}^2\alpha \, \exp\left[ \frac{i}{\hbar} S[ \alpha^ , \alpha] \right ] \] 其中，作用量 \(S\) 为： \[ S[ \alpha^ , \alpha] = \int_ {t_ i}^{t_ f} dt \left[ \frac{i\hbar}{2} (\alpha^ \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha) - H(\alpha^ , \alpha) \right ] \] 这里 \(\mathcal{D}^2\alpha = \prod_ t d^2\alpha(t)/\pi\)，而边界条件施加在相空间点 \(\alpha_ i, \alpha_ f\) 上。注意，被积函数中的第一项 \(i\hbar (\alpha^ \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha)/2\) 正是 \(p\dot{q} - q\dot{p}\) 的体现，它给出了相空间的辛结构。 第四步：相干态路径积分的特性、优势与应用 辛形式 ：作用量 \(S\) 中的运动学项（即 \(i\hbar \alpha^* \dot{\alpha}/2 + c.c.\)）具有典范形式，清晰地揭示了相空间的辛结构，这使其在几何量子化和经典极限研究中非常自然。 适用于玻色子系统 ：此形式特别适合处理多体 玻色子系统 ，如超流体、玻色-爱因斯坦凝聚体。此时，相干态是场算符的本征态，\(\alpha(t)\) 成为经典的“凝聚体波函数”或序参量场。路径积分直接对之积分。 半经典近似的优越性 ：因为相干态是波包中心在相空间运动的态，以相干态为端点的路径积分，其“经典路径”就是通常的哈密顿方程的解。这使得 稳相近似 （即围绕经典解的展开）在此框架下非常清晰和强大，是推导出经典运动方程、研究量子涨落的理想起点。 连接算符排序 ：在推导中，哈密顿量的符号 \(H(\alpha^* ， \alpha)\) 具体形式依赖于 \(\hat{H}\) 中算符 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{a}^\dagger\) 的排序规则（如正规排序、反正规排序等）。这提供了一个系统处理算符排序问题的途径。 推广到费米子 ：存在费米子版本的相干态（基于格拉斯曼数），从而可以平行地建立 费米子的相干态路径积分 ，这是处理多体费米子系统（如超导、电子气）的强有力工具。 总结来说， 相干态路径积分 巧妙地将相空间的经典几何、相干态的过完备性以及路径积分的历史求和思想结合在一起。它不仅是推导半经典理论、研究量子涨落和瞬子效应的标准框架，更是现代多体物理，特别是玻色系统和凝聚态场论中不可或缺的数学方法。它提供了一个在连续时空维度上，从清晰的经典相空间图像出发，系统纳入所有量子涨落的强大计算和概念框架。